Definiție și notație
Arcsine (y \u003d arcsin x) este funcția de sinus invers (x \u003d păcat y -1 ≤ x ≤ 1 iar setul de valori -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.sin (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (sin x) \u003d x .
Arcsine este uneori notat după cum urmează:
.
Graficul funcției Arcsine
Graficul funcției y \u003d arcsin x
Graficul arcsinic este obținut din graficul sinusoidal prin schimbarea axelor abscisei și ordonate. Pentru a elimina ambiguitatea, gama de valori este limitată de intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește principala valoare a arcsinei.
Arccosine, arccos
Definiție și notație
Arccosine (y \u003d arccos x) este funcția inversă cosinusului (x \u003d pentru că). Are un domeniu de aplicare -1 ≤ x ≤ 1 și multe semnificații 0 ≤ y ≤ π.cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .
Arccosine este uneori notat după cum urmează:
.
Graficul funcției Arccosine
Graficul funcției y \u003d arccos x
Graficul arccosine se obține din graficul cosinusului prin schimbarea axelor de abscisă și ordonată. Pentru a elimina ambiguitatea, gama de valori este limitată de intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește principala valoare a arccosinei.
Paritate
Funcția arcsine este ciudată:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (sin (-arcsin x)) \u003d - arcsin x
Funcția cosinusului invers nu este pară sau impar:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x
Proprietăți - extrema, crește, scade
Funcțiile sinus invers și cosinus invers sunt continue pe domeniul lor de definiție (a se vedea dovada continuității). Principalele proprietăți ale arcsine și arcsine sunt prezentate în tabel.
| y \u003d arcsin x | y \u003d arccos x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Gama de valori | ||
| Măriți, micșorați | crește monoton | scade monoton |
| Înalte | ||
| Minimele | ||
| Zero, y \u003d 0 | x \u003d 0 | x \u003d 1 |
| Puncte de intersecție cu axa y, x \u003d 0 | y \u003d 0 | y \u003d π / 2 |
Masă arcsine și arccosine
Acest tabel prezintă valorile arcurilor și arcurilor, în grade și radiani, pentru unele valori ale argumentului.
| X | arcsin x | arccos x | ||
| grindină. | bucuros. | grindină. | bucuros. | |
| - 1 | - 90 ° | - | 180 ° | π |
| - | - 60 ° | - | 150 ° | |
| - | - 45 ° | - | 135 ° | |
| - | - 30 ° | - | 120 ° | |
| 0 | 0° | 0 | 90 ° | |
| 30 ° | 60 ° | |||
| 45 ° | 45 ° | |||
| 60 ° | 30 ° | |||
| 1 | 90 ° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formule
Vezi si: Derivarea formulelor pentru funcții trigonometrice inverseFormule de sumă și diferență
la sau
la și
la și
la sau
la și
la și
la
la
la
la
Expresii logaritmice, numere complexe
Vezi si: Formule derivateExpresii în termeni de funcții hiperbolice
Derivate
;
.
A se vedea Derivații arcsinei și derivaților arccosinei \u003e\u003e\u003e
Derivate de ordin superior:
,
unde este un polinom de grad. Este determinat de formulele:
;
;
.
Vezi Derivarea derivatelor de ordin superior ale arcsinei și arccosinei \u003e\u003e\u003e
Integrale
Înlocuirea x \u003d păcat t... Ne integrăm pe părți, ținând cont de faptul că -π / 2 ≤ t ≤ π / 2,
cos t ≥ 0:
.
Să exprimăm cosinusul invers prin sinusul invers:
.
Extinderea seriei
Pentru | x |< 1
are loc următoarea descompunere:
;
.
Funcții inverse
Inversele la arcsinus și arccosin sunt sinus și, respectiv, cosinus.
Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu:
sin (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .
Următoarele formule sunt valabile numai pentru setul de valori arcsine și arcsine:
arcsin (sin x) \u003d x la
arccos (cos x) \u003d x la.
Referințe:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor tehnice, "Lan", 2009.
Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, funcțiile lor inverse nu au o singură valoare. Deci, ecuația y \u003d păcat x, pentru un anumit dat, are infinit de multe rădăcini. Într-adevăr, datorită periodicității sinusului, dacă x este o astfel de rădăcină, atunci x + 2πn (unde n este un număr întreg) va fi, de asemenea, rădăcina ecuației. Prin urmare, funcțiile trigonometrice inverse sunt multivalorizate... Pentru a facilita lucrul cu ei, aceștia introduc conceptul principalelor lor semnificații. Luați în considerare, de exemplu, sinus: y \u003d păcat x... Dacă restrângem argumentul x cu un interval, atunci pe el funcția y \u003d păcat x crește monoton. Prin urmare, are o funcție inversă cu o singură valoare, care se numește arcsinus: x \u003d arcsin y.
Cu excepția cazului în care se specifică altfel, funcțiile trigonometrice inverse înseamnă valorile lor principale, care sunt determinate de următoarele definiții.
Arcsine ( y \u003d arcsin x) este funcția de sinus invers ( x \u003d păcat y
Arccosine ( y \u003d arccos x) este funcția inversă a cosinusului ( x \u003d pentru că), care are un domeniu și multe valori.
Arc tangent ( y \u003d arctg x) este funcția inversă a tangentei ( x \u003d tg y), care are un domeniu și multe valori.
Arccotangent ( y \u003d arcctg x) este funcția inversă a cotangentei ( x \u003d ctg y), care are un domeniu și multe valori.
Grafice cu funcții trigonometrice invers
Graficele funcțiilor trigonometrice inverse sunt obținute din graficele funcțiilor trigonometrice prin oglindire în raport cu linia dreaptă y \u003d x. A se vedea secțiunile Sin, Cosinus, Tangent, Cotangent.
y \u003d arcsin x
y \u003d arccos x
y \u003d arctg x
y \u003d arcctg x
Formule de bază
Aici trebuie să acordați o atenție specială intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
arcsin (sin x) \u003d x la
sin (arcsin x) \u003d x
arccos (cos x) \u003d x la
cos (arccos x) \u003d x
arctan (tg x) \u003d x la
tg (arctan x) \u003d x
arcctg (ctg x) \u003d x la
ctg (arcctg x) \u003d x
Formule care leagă funcții trigonometrice inverse
Vezi si: Derivarea formulelor pentru funcții trigonometrice inverseFormule de sumă și diferență
la sau
la și
la și
la sau
la și
la și
la
la
la
la
la
la
la
la
la
la
Referințe:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor tehnice, "Lan", 2009.
Sarcinile trigonometrice inverse sunt adesea oferite la examenele de absolvire a liceului și la examenele de admitere la unele universități. Un studiu detaliat al acestui subiect poate fi realizat numai în activități extracurriculare sau cursuri elective. Cursul propus este conceput pentru a dezvolta abilitățile fiecărui elev cât mai complet posibil, pentru a-și îmbunătăți pregătirea matematică.
Cursul este conceput pentru 10 ore:
1. Funcții arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ore).
2. Operații asupra funcțiilor trigonometrice inverse (4 ore).
3. Operații trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice (2 ore).
Lecția 1 (2 ore) Subiect: Funcții y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctan x, y \u003d arcctg x.
Scop: acoperire completă a acestui număr.
1. Funcția y \u003d arcsin x.
a) Pentru funcția y \u003d sin x pe segment există o funcție inversă (cu o singură valoare), pe care am convenit să o numim arcsine și o denotăm ca: y \u003d arcsin x. Graficul funcției inverse este simetric cu graficul funcției principale în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate I - III.
Proprietățile funcției y \u003d arcsin x.
1) Domeniul definiției: segmentul [-1; unu];
2) Zona de schimbare: segment;
3) Funcția y \u003d arcsin x este impar: arcsin (-x) \u003d - arcsin x;
4) Funcția y \u003d arcsin x crește monoton;
5) Graficul traversează axele Ox, Oy la origine.
Exemplul 1. Găsiți un \u003d arcsin. Acest exemplu poate fi formulat în detaliu după cum urmează: găsiți un argument a, variind de la până la, al cărui sinus este egal cu.
Decizie. Există nenumărate argumente al căror sinus este egal, de exemplu: 
etc. Dar ne interesează doar argumentul care se află pe segment. Un astfel de argument ar fi. Asa de, .
Exemplul 2. Găsiți 
.Decizie. Raționând în același mod ca în exemplul 1, obținem 
.
b) exerciții orale. Găsiți: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin 0. Exemplu de răspuns: 
de cand 
... Expresiile au sens :; arcsin 1,5; 
?
c) Aranjați în ordine crescătoare: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.
II. Funcții y \u003d arccos x, y \u003d arctan x, y \u003d arcctg x (similar).
Lecția 2 (2 ore) Subiect: Funcții trigonometrice inverse, graficele lor.
Scop: în această lecție este necesar să se exerseze abilități în determinarea valorilor funcțiilor trigonometrice, în trasarea funcțiilor trigonometrice inverse folosind D (y), E (y) și transformările necesare.
În această lecție, efectuați exerciții care includ găsirea domeniului definiției, domeniul valorilor funcțiilor de tipul: y \u003d arcsin, y \u003d arccos (x-2), y \u003d arctan (tg x), y \u003d arccos .
Este necesar să se construiască grafice de funcții: a) y \u003d arcsin 2x; b) y \u003d 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;
d) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; f) y \u003d arcsin; g) y \u003d | arcsin | ...
Exemplu.Plot y \u003d arccos
Puteți include următoarele exerciții în temele dvs.: creați grafice de funcții: y \u003d arccos, y \u003d 2 arcctg x, y \u003d arccos | x | ...
Grafice cu funcție inversă
Lecția numărul 3 (2 ore) Tema:
Operații asupra funcțiilor trigonometrice inverse.Scop: extinderea cunoștințelor matematice (acest lucru este important pentru solicitanții de specialități cu cerințe crescute de formare matematică) prin introducerea relațiilor de bază pentru funcțiile trigonometrice inverse.
Materialul lecției.
Unele dintre cele mai simple operații trigonometrice ale funcțiilor trigonometrice inverse: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? unu; cos (arсcos x) \u003d x, i xi? unu; tg (arctan x) \u003d x, x I R; ctg (arcctg x) \u003d x, x I R.
Exerciții.
a) tg (1,5 + arctan 5) \u003d - ctg (arctan 5) \u003d 
.
ctg (arctg x) \u003d; tg (arcctg x) \u003d.
b) cos (+ arcsin 0.6) \u003d - cos (arcsin 0.6). Fie arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;
cos (arcsin x) \u003d; sin (arccos x) \u003d.
Notă: luăm semnul plus în fața rădăcinii deoarece a \u003d arcsin x satisface.
c) păcat (1,5 + arcsin). Răspuns :;
d) ctg (+ arctan 3). Răspuns :;
e) tg (- arcctg 4) Răspuns:.
f) cos (0,5 + arccos). Răspuns:.
Calculati:
a) păcat (2 arctan 5).
Fie arctan 5 \u003d a, apoi păcat 2 a \u003d 
sau păcat (2 arctan 5) \u003d 
;
b) cos (+ 2 arcuri în 0,8). Răspuns: 0,28.
c) arctg + arctg.
Să a \u003d arctan, b \u003d arctan,
atunci tg (a + b) \u003d 
.
d) păcat (arcsin + arcsin).
e) Dovediți că pentru toate x I [-1; 1] arcsin x + arccos x \u003d este adevărat.
Dovezi:
arcsin x \u003d - arccos x
sin (arcsin x) \u003d sin (- arccos x)
x \u003d cos (arccos x)
Pentru o soluție independentă:sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).
Pentru o soluție de casă: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) păcat (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctan 0,5 - arctan 3.
Lecția № 4 (2 ore) Subiect: Operații asupra funcțiilor trigonometrice inverse.
Scop: în această lecție pentru a arăta utilizarea raporturilor în transformarea expresiilor mai complexe.
Materialul lecției.
ORAL:
a) sin (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);
b) tg (arcсtg 5), ctg (arctan 5);
c) sin (arctg -3), cos (arcсtg ());
d) tg (arccos), ctg (arccos ()).
SCRIS:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctan 5 - arccos 0.8) \u003d cos (arctan 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctan 5) sin (arccos 0.8) \u003d
3) tg (- arcsin 0.6) \u003d - tg (arcsin 0.6) \u003d 
4) 
Munca independentă va ajuta la identificarea nivelului de asimilare a materialului
| 1) tg (arctan 2 - arctg) 2) cos (- arctg2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) păcat (1.5 - arctan 3) 3) arcctg3 - arctg 2 |
Pentru teme, puteți oferi:
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctan 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctan + tg (arcsin)); 4) păcat (2 arctg); 5) tg ((arcsin))
Lecția № 5 (2 ore) Subiect: Operații trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice.
Scop: formarea unei idei a studenților despre operațiile trigonometrice inverse asupra funcțiilor trigonometrice, concentrarea pe creșterea sensului teoriei studiate.
Când se studiază acest subiect, se presupune că cantitatea de material teoretic de memorat este limitată.
Materialul lecției:
Puteți începe să învățați materiale noi examinând funcția y \u003d arcsin (sin x) și trasându-l.
3. Fiecare x I R este asociat cu y I, adică<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funcția este impar: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin (sin (-x)) \u003d - arcsin (sin x).
6. Grafic y \u003d arcsin (sin x) pe:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y \u003d sin (- x) \u003d sinx, 0<= - x <= .
Asa de, 
După ce am construit y \u003d arcsin (sin x) pe, continuăm simetric în legătură cu originea la [-; 0], având în vedere ciudățenia acestei funcții. Folosind periodicitatea, să continuăm cu întreaga axă numerică.
Apoi scrieți câteva rapoarte: arcsin (sin a) \u003d a if<= a <= ; arccos (cos A ) \u003d a dacă 0<= a <= ; arctan (tg a) \u003d a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Și efectuați următoarele exerciții: a) arccos (sin 2). Răspuns: 2 -; b) arcsin (cos 0,6). Răspuns: - 0,1; c) arctan (tg 2). Răspuns: 2 -;
d) arcctg (tg 0,6) Răspuns: 0,9; e) arccos (cos (- 2)) Răspuns: 2 -; f) arcsin (sin (- 0.6)). Răspuns: - 0,6; g) arctan (tg 2) \u003d arctan (tg (2 -)). Răspuns: 2 -; h) arcctg (tan 0.6). Răspuns: - 0,6; - arctg x; e) arccos + arccos
(funcții circulare, funcții arc) - funcții matematice care sunt inverse funcțiilor trigonometrice.
Arccosine, funcția inversă la cos (x \u003d cos y), y \u003d arccos x este definit pentru și are multe valori. Cu alte cuvinte, returnează unghiul după valoarea sa cos.
Arccosine (desemnare: arccos x; arccos x Este unghiul al cărui cosinus este x etc).
Funcţie y \u003d cos x continuu și delimitat pe întreaga sa linie numerică. Funcţie y \u003d arccos x este strict în scădere.
Proprietățile funcției arcsin.
Obținerea funcției arccos.
Funcția este dată y \u003d cos x... În întregul său domeniu de definiție, este monoton în bucăți și, prin urmare, corespondența inversă y \u003d arccos x nu este o funcție. Prin urmare, vom lua în considerare un segment pe care scade strict și își ia toate valorile -. Pe acest segment y \u003d cos x scade strict monoton și își ia toate valorile o singură dată, ceea ce înseamnă că există o funcție inversă pe interval y \u003d arccos xal cărui grafic este simetric față de grafic y \u003d cos x pe un segment relativ la o linie dreaptă y \u003d x.
Funcțiile sin, cos, tg și ctg sunt întotdeauna însoțite de sinus invers, cosinus invers, arctangent și cotangent invers. Una este o consecință a celeilalte, iar perechile de funcții sunt la fel de importante pentru lucrul cu expresii trigonometrice.
Luați în considerare un desen al unui cerc de unitate, care afișează grafic valorile funcțiilor trigonometrice.
Dacă calculați arcurile OA, arcurile OC, arctg DE și arcctg MK, atunci toate vor fi egale cu valoarea unghiului α. Formulele de mai jos reflectă relația dintre principalele funcții trigonometrice și arcurile corespunzătoare ale acestora.
Pentru a înțelege mai multe despre proprietățile arcului, trebuie să luați în considerare funcția acestuia. Programa are forma unei curbe asimetrice care trece prin centrul coordonatelor.
Proprietăți Arcsine:
Dacă comparați graficele păcat și arcsin, două funcții trigonometrice pot avea modele comune.
Arccosine
Arccos al numărului a este valoarea unghiului α, al cărui cosinus este egal cu a.
Curba y \u003d arcos x reflectă graficul arcsin x, cu singura diferență că trece prin punctul π / 2 pe axa OY.
Să luăm în considerare funcția arccosine în detaliu:
- Funcția este definită pe segmentul [-1; unu].
- ODZ pentru arccos -.
- Graficul este situat în întregime în sferturile I și II, iar funcția în sine nu este nici pară, nici impar.
- Y \u003d 0 pentru x \u003d 1.
- Curba scade pe toată lungimea sa. Unele proprietăți ale cosinusului invers sunt aceleași cu funcția de cosinus.
Unele proprietăți ale cosinusului invers sunt aceleași cu funcția de cosinus.
Poate că școlarii vor găsi superfluu un astfel de studiu „detaliat” al „arcurilor”. Cu toate acestea, în caz contrar, unele sarcini elementare tipice ale examenului pot duce elevii la un punct mort.
Exercitiul 1. Specificați funcțiile prezentate în figură.
Răspuns: smochin. 1 - 4, Fig. 2 - 1.
În acest exemplu, accentul se pune pe lucrurile mici. De obicei, elevii sunt foarte neatenți în ceea ce privește graficul și aspectul funcțiilor. Într-adevăr, de ce să memorați tipul unei curbe, dacă aceasta poate fi întotdeauna construită din punctele calculate. Nu uitați că, în condiții de testare, timpul necesar desenării pentru o sarcină simplă va fi necesar pentru a rezolva sarcini mai complexe.
Arctangent
Arctg a numărului a este o astfel de valoare a unghiului α încât tangenta sa este egală cu a.
Dacă luăm în considerare graficul arctangent, se pot distinge următoarele proprietăți:
- Graficul este infinit și definit pe interval (- ∞; + ∞).
- Arctangentul este o funcție ciudată, prin urmare arctan (- x) \u003d - arctan x.
- Y \u003d 0 la x \u003d 0.
- Curba crește pe întreaga zonă de definiție.
Iată o scurtă analiză comparativă a tg x și arctan x sub forma unui tabel.
Arccotangent
Arcctg al numărului a - ia o astfel de valoare α din intervalul (0; π) încât cotangenta sa este egală cu a.
Proprietățile funcției arc cotangente:
- Intervalul de definire a funcției este infinit.
- Gama de valori acceptabile este intervalul (0; π).
- F (x) nu este nici par, nici impar.
- Graficul funcției scade pe toată lungimea sa.
Este foarte ușor să comparați ctg x și arctan x, trebuie doar să desenați două imagini și să descrieți comportamentul curbelor.
Sarcina 2. Corelați graficul și forma de înregistrare a funcției.
În mod logic, graficele arată că ambele funcții sunt în creștere. Prin urmare, ambele figuri afișează unele funcții arctg. Din proprietățile arctangentei se știe că y \u003d 0 pentru x \u003d 0,
Răspuns: smochin. 1 - 1, fig. 2 - 4.
Identități trigonometrice arcsin, arcos, arctg și arcctg
Anterior, am identificat deja relația dintre arcuri și principalele funcții ale trigonometriei. Această dependență poate fi exprimată printr-o serie de formule care fac posibilă exprimarea, de exemplu, a sinusului unui argument prin arcsinusul său, arccozinul sau invers. Cunoașterea unor astfel de identități poate fi utilă în rezolvarea unor exemple specifice.
Există, de asemenea, rapoarte pentru arctg și arcctg:
O altă pereche utilă de formule, stabilește o valoare pentru suma valorilor arcsin și arcos și arcctg și arcctg cu același unghi.
Exemple de rezolvare a problemelor
Sarcinile de trigonometrie pot fi împărțite condiționat în patru grupuri: calculați valoarea numerică a unei expresii specifice, construiți un grafic al acestei funcții, găsiți domeniul său de definiție sau ODZ și efectuați transformări analitice pentru a rezolva un exemplu.
Când rezolvați primul tip de sarcini, este necesar să respectați următorul plan de acțiune:
Când lucrați cu grafice de funcții, principalul lucru este să cunoașteți proprietățile lor și aspectul curbei. Tabelele de identități sunt necesare pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice. Cu cât elevul își amintește mai multe formule, cu atât este mai ușor să găsiți răspunsul la sarcină.
Să spunem că la examen trebuie să găsiți un răspuns pentru o ecuație precum:
Dacă transformați corect expresia și o aduceți la forma dorită, atunci rezolvarea acesteia este foarte simplă și rapidă. În primul rând, să mutăm arcsin x în partea dreaptă a egalității.
Dacă vă amintiți formula arcsin (sin α) \u003d α, atunci căutarea răspunsurilor poate fi redusă la rezolvarea unui sistem de două ecuații:
Constrângerea asupra modelului x a apărut, din nou din proprietățile arcsin: ODZ pentru x [-1; unu]. Pentru а ≠ 0, o parte a sistemului este o ecuație pătratică cu rădăcini x1 \u003d 1 și x2 \u003d - 1 / a. Pentru a \u003d 0, x va fi egal cu 1.
Se încarcă ...