Una dintre problemele care provoacă o problemă școlarilor moderni, care sunt obișnuiți să folosească calculatoare integrate în gadgeturi într-un loc și într-un loc greșit, este să găsească cel mai mare divizor comun (MCD) a două sau mai multe numere.
Este imposibil să rezolvi orice problemă de matematică dacă nu știi despre ce este de fapt întrebarea. Pentru a face acest lucru, trebuie să știți ce înseamnă cutare sau cutare expresie. folosit în matematică.
Concepte și definiții generale
Trebuie să știți:
- Dacă un anumit număr poate fi folosit pentru a număra diverse obiecte, de exemplu, nouă stâlpi, șaisprezece case, atunci este firesc. Cel mai mic dintre acestea va fi unul.
- Când un număr natural este împărțit la un alt număr natural, atunci ei spun că numărul mai mic este divizorul celui mai mare.
- Dacă două sau mai multe numere diferite sunt divizibile cu un anumit număr fără rest, atunci ei spun că acesta din urmă va fi divizorul lor comun (OD).
- Cel mai mare dintre OD se numește Cel mai mare divizor comun (GCD).
- În acest caz, când un număr are doar doi divizori naturali (el însuși și unul), se numește prim. Cea mai mică dintre ei este doi și, în plus, ea este singura par din rândul lor.
- Dacă două numere au un divizor comun maxim, atunci ele vor fi prime reciproc.
- Un număr care are mai mult de doi divizori se numește număr compus.
- Procesul în care se găsesc toți factorii primi, care, atunci când sunt înmulțiți între ei, vor da o valoare inițială în produsul în matematică se numește factorizare prime. Mai mult, aceiași factori de expansiune pot apărea în mod repetat.
La matematică, sunt acceptate următoarele intrări:
- Divizori D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
- OD (8; 18) = (1; 2).
- GCD (8; 18) = 2.
Diverse moduri de a găsi GCD
Cel mai simplu mod de a răspunde la întrebare este cum să găsești gcdîn cazul în care numărul mai mic este divizorul celui mai mare. Într-un astfel de caz, acesta va fi cel mai mare divizor comun.
De exemplu, GCD (15; 45) = 15, GCD (48; 24) = 24.
Dar astfel de cazuri în matematică sunt foarte rare, prin urmare, pentru a găsi GCD, se folosesc tehnici mai complexe, deși este încă foarte recomandat să verificați această opțiune înainte de a începe lucrul.
Metoda de descompunere în factori simpli
Dacă trebuie să găsiți mcd-ul a două sau mai multe numere diferite, este suficient să descompuneți fiecare dintre ei în factori primi, apoi să efectuați procesul de înmulțire a celor dintre ei care se află în fiecare dintre numere.
Exemplul 1
Luați în considerare cum să găsiți GCD 36 și 90:
- 36 = 1*2*2*3*3;
- 90 = 1*2*3*3*5;
GCD (36; 90) = 1 * 2 * 3 * 3 = 18.
Acum să vedem cum să găsim același lucru în cazul a trei numere, luați de exemplu 54; 162; 42.
Știm deja cum să extindem 36, să ne ocupăm de restul:
- 162 = 1*2*3*3*3*3;
- 42 = 1*2*3*7;
Astfel, GCD (36; 162; 42) = 1 * 2 * 3 = 6.
Trebuie remarcat faptul că este complet inutil să scrieți unitatea în extensie.
Luați în considerare o cale cum să factorizezi simplu, pentru aceasta, în stânga, vom scrie numărul de care avem nevoie, iar în dreapta, vom scrie divizori primi.
Coloanele pot fi separate fie printr-un semn de divizare, fie printr-o linie verticală simplă.
- 36/2 vom continua procesul de divizare;
- 18/2 mai departe;
- 9/3 și din nou;
- 3/3 este acum destul de elementar;
- 1 - rezultatul este gata.
36 dorit = 2 * 2 * 3 * 3.
Calea euclidiană
Această versiune este cunoscută omenirii încă din timpurile civilizației grecești antice, este în multe privințe mai simplă și este atribuită marelui matematician Euclid, deși mai devreme au fost utilizați algoritmi foarte similari. Această metodă constă în utilizarea următorului algoritm, împărțim numărul mai mare cu restul la cel mai mic. Apoi împărțim divizorul nostru la rest și continuăm să acționăm în acest fel într-un cerc până când apare întreaga diviziune. Ultima valoare va fi cel mai mare factor comun dorit.
Să dăm un exemplu de utilizare a acestui algoritm.:
Să încercăm să aflăm ce este GCD pentru 816 și 252:
- 816/252 = 3 iar restul este 60. Acum împărțim 252 la 60;
- 252/60 = 4 în rest, de data aceasta va fi 12. Continuați procesul nostru circular, împărțind șaizeci la doisprezece;
- 60/12 = 5. Întrucât de data aceasta nu am primit niciun rest, avem rezultatul gata, doisprezece va fi valoarea pe care o căutăm.
Deci, la sfârșitul procesului nostru avem gcd (816;252) = 12.
Acțiuni dacă este necesar să se determine GCD dacă sunt specificate mai mult de două valori
Ne-am dat deja seama ce să facem în cazul în care există două numere diferite, acum vom învăța cum să acționăm dacă există. 3 sau mai multe.
Cu toată complexitatea aparentă, această sarcină nu ne va mai cauza probleme. Acum alegem oricare două numere și determinăm valoarea dorită pentru ele. Următorul pas este să găsiți GCD-ul rezultatului obținut și a treia dintre valorile date. Apoi, din nou, acționăm conform principiului deja cunoscut nouă pentru al patrulea, al cincilea și așa mai departe.
Concluzie
Deci, în ciuda complexității aparent mari a sarcinii puse în fața noastră, de fapt, totul este simplu, principalul lucru este să puteți efectua cu acuratețe procesul de divizareși rămâneți la oricare dintre cei doi algoritmi descriși mai sus.
Deși ambele metode sunt perfect acceptabile, în şcoală cuprinzătoare prima metodă este folosită mult mai des... Acest lucru se datorează faptului că factorizarea prime va fi necesară atunci când studiem următorul subiect tutorial - determinarea celui mai mare multiplu comun (LCM). Dar totuși, merită remarcat încă o dată - aplicarea algoritmului euclidian nu poate fi în niciun caz considerată eronată.
Video
Cu ajutorul videoclipului, puteți afla cum să găsiți cel mai mare factor comun.
A găsi cel mai mic multiplu comun(NOC) și cel mai mare factor comun(Gcd) două numere, utilizați calculatorul nostru online:
Introduceți numere: și
NOC:
GCD:
Defini
Doar introduceți numerele și obțineți rezultatul.
Cum se găsește LCM a două numere
Cel mai mic multiplu comun (LCM) două sau mai multe numere - acesta este cel mai mic număr care poate fi împărțit la fiecare dintre aceste numere fără rest.
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) a două numere, puteți folosi următorul algoritm (clasa 5):
- Ambele numere (cel mai mare număr mai întâi).
- Să comparăm factorii numărului mai mare cu factorii celui mai mic. Să selectăm toți factorii numărului mai mic pe care cel mai mare nu îi are.
- Să adăugăm factorii distinși ai numărului mai mic la factorii celui mai mare.
- Găsiți LCM prin înmulțirea unui număr de factori obținuți la pasul 3.
Exemplu
De exemplu, definim LCM al numerelor 8 și 22 .
1) Descompunem în factori primi:
2) Să selectăm toți factorii lui 8, pe care 22 nu îi are:
8 = 2⋅2 ⋅2
3) Să adăugăm factorii selectați de 8 la factorii de 22:
LCM (8; 22) = 2 11 2 · 2
4) Calculăm LCM:
LCM (8; 22)= 2 11 2 2 = 88
Cum să găsiți mcd-ul a două numere
Cel mai mare divizor comun (GCD) două sau mai multe numere - acesta este cel mai mare număr întreg natural prin care aceste numere pot fi împărțite fără rest.
Pentru a găsi cel mai mare numitor comun (MCD) a două numere, mai întâi trebuie să le descompuneți în factori primi. Apoi trebuie să selectați factorii comuni pe care îi au atât primul număr, cât și al doilea. Le înmulțim - acesta va fi GCD. Pentru a înțelege mai bine algoritmul, luați în considerare un exemplu:
Exemplu
De exemplu, să definim GCD-ul numerelor 20 și 30 .
20 = 2 ⋅2⋅5
30 = 2 ⋅3⋅5
GCD (20.30) = 2⋅5 = 10
Să rezolvăm problema. Avem două tipuri de cookie-uri. Unele sunt de ciocolată, iar altele sunt simple. Sunt 48 de ciocolate, si 36 simple.Este necesar sa se realizeze cat mai multe cadouri din aceste fursecuri, si trebuie folosite toate.
Mai întâi, să scriem toți divizorii fiecăruia dintre aceste două numere, deoarece ambele numere trebuie să fie divizibile cu numărul de cadouri.
Primim
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Să găsim printre divizori pe cei comuni pe care îi au atât primul cât și al doilea număr.
Factorii comuni sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Cel mai mare divizor comun dintre toate este 12. Acest număr se numește cel mai mare divizor comun dintre 36 și 48.
Pe baza rezultatului obținut, putem concluziona că din toate biscuiturile se pot face 12 cadouri. Un astfel de cadou va contine 4 fursecuri cu ciocolata si 3 fursecuri obisnuite.
Determinarea celui mai mare divizor comun
- Cel mai mare număr natural, prin care două numere a și b sunt divizibile fără rest, se numește cel mai mare divizor comun al acestor numere.
Uneori, abrevierea GCD este folosită pentru a prescurta înregistrarea.
Unele perechi de numere au unul ca cel mai mare divizor comun. Se numesc astfel de numere numere prime reciproce. De exemplu, numerele 24 și 35. Au GCD = 1.
Cum să găsiți cel mai mare factor comun
Pentru a găsi cel mai mare divizor comun, nu este necesar să scrieți toți divizorii acestor numere.
O poți face altfel. Mai întâi, factorizează ambele numere în factori primi.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Acum, din factorii care sunt incluși în descompunerea primului număr, îi ștergem pe toți cei care nu sunt incluși în descompunerea celui de-al doilea număr. În cazul nostru, acestea sunt două două.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Vor rămâne factorii 2, 2 și 3. Produsul lor este 12. Acest număr va fi cel mai mare divizor comun dintre 48 și 36.
Această regulă poate fi extinsă la cazul trei, patru etc. numerele.
Schema generală pentru găsirea celui mai mare divizor comun
- 1. Descompune numerele în factori primi.
- 2. Din factorii incluși în descompunerea unuia dintre aceste numere, ștergeți cei care nu sunt incluși în descompunerea altor numere.
- 3. Calculați produsul factorilor rămași.
Pentru a înțelege cum să calculați LCM, trebuie mai întâi să vă decideți asupra semnificației termenului „multiplu”.
Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A. Deci, multiplii lui 5 pot fi considerați 15, 20, 25 și așa mai departe.
Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există infiniti multipli.
Multiplu comun numere naturale- un număr care este divizibil cu ele fără rest.
Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor
Cel mai mic multiplu comun (LCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil egal cu toate aceste numere.
Există mai multe moduri de a găsi LCM.
Pentru numerele mici, este convenabil să notați toți multiplii acestor numere într-o linie până când există un comun între ei. Multiplii sunt desemnați în intrare cu litera K majusculă.
De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Astfel, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al lui 4 și 6 este 24. Această intrare se efectuează după cum urmează:
LCM (4, 6) = 24
Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă metodă pentru calcularea LCM.
Pentru a finaliza sarcina, trebuie să descompuneți numerele propuse în factori primi.
Mai întâi trebuie să scrieți descompunerea celui mai mare dintre numere într-o linie, iar sub ea - restul.
În extinderea fiecărui număr, poate exista un număr diferit de factori.
De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.
În extinderea unui număr mai mic, ar trebui să subliniați factorii care sunt absenți în extinderea primului număr cel mai mare și apoi să îi adăugați. În exemplul prezentat, un doi lipsește.
Acum puteți calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Deci, produsul factorilor primi ai unui număr mai mare și factorilor celui de-al doilea număr care nu sunt incluși în expansiunea unui număr mai mare va fi cel mai mic multiplu comun.
Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.
De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Deci, în factorizarea unui număr mai mare în factori, doar doi doi din factorizarea lui șaisprezece nu au fost incluși (unul este în factorizarea a douăzeci și patru).
Astfel, ele trebuie adăugate la extinderea numărului mai mare.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.
De exemplu, LCM de doisprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.
Dacă trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.
De exemplu, LCM (10, 11) = 110.
Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.
De exemplu:
Numărul 12 se împarte la 1, la 2, la 3, la 4, la 6, la 12;
Numărul 36 este divizibil cu 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Numerele cu care numărul este divizibil egal (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori... Divizorul numerelor naturale A este un număr natural care împarte un număr dat A fara rest. Se numește un număr natural care are mai mult de doi divizori compozit... Rețineți că numerele 12 și 36 au factori comuni. Acestea sunt numere: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12.
Divizor comun a două numere date Ași b- acesta este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest Ași b. Divizor comun al numerelor multiple (GCD) Este un număr care servește drept divizor pentru fiecare dintre ele.
Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b scrie asa:
Exemplu: GCD (12; 36) = 12.
Divizorii numerelor din înregistrarea soluției denotă majusculă"D"
Exemplu:
GCD (7; 9) = 1
Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere sunt numite reciproc simplechi slamy.
Numere prime reciproce- acestea sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. MCD-ul lor este egal cu 1.
Cel mai mare divizor comun (GCD), proprietăți.
- Proprietatea de bază: Cel mai mare divizor comun mși n este divizibil cu orice divizor comun al acestor numere. Exemplu: pentru numerele 12 și 18, cel mai mare divizor comun este 6; este divizibil cu toți divizorii comuni ai acestor numere: 1, 2, 3, 6.
- Corolarul 1: mulțimea divizorilor comuni mși n coincide cu setul de divizori ai MCD ( m, n).
- Corolarul 2: mulţimea multiplilor comuni mși n coincide cu setul de LCM-uri multiple ( m, n).
Aceasta înseamnă, în special, că pentru a reduce o fracție la o formă ireductibilă, este necesar să se împartă numărătorul și numitorul acesteia la GCD-ul lor.
- Cel mai mare divizor comun al numerelor mși n poate fi definit ca cel mai mic element pozitiv al mulțimii tuturor combinațiilor lor liniare:
și prin urmare poate fi reprezentat ca o combinație liniară de numere mși n:
Acest raport se numește Raportul Bezout, și coeficienții uși v — Coeficienții Bezout... Coeficienții Bezout sunt calculați eficient prin algoritmul euclidian extins. Această afirmație este generalizată la mulțimi de numere naturale - semnificația sa este că subgrupul grupului generat de mulțime este ciclic și este generat de un element: GCD ( A 1 , A 2 , … , un n).
Calcularea celui mai mare divizor comun (GCD).
Modalități eficiente de a calcula mcd-ul a două numere sunt algoritmul lui Euclidși binaralgoritm... În plus, valoarea mcd ( m,n) poate fi ușor de calculat dacă se cunoaște extinderea canonică a numerelor mși n prin factori primi:
unde sunt numere prime diferite și și sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător este absent în expansiune). Apoi gcd ( m,n) și LCM ( m,n) sunt exprimate prin formulele:
Dacă există mai mult de două numere:, GCD-ul lor este găsit conform următorului algoritm:
- acesta este GCD-ul dorit.
De asemenea, pentru a găsi cel mai mare factor comun, puteți descompune fiecare dintre numerele date în factori primi. Apoi notați separat doar acei factori care sunt incluși în toate numerele date. Apoi înmulțim numerele scrise împreună - rezultatul înmulțirii este cel mai mare divizor comun .
Să analizăm pas cu pas calculul celui mai mare divizor comun:
1. Descompuneți divizorii numerelor în factori primi:
Calculele sunt scrise convenabil folosind bara verticală. În stânga liniei, scrieți mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Apoi, în coloana din stânga, notați valorile coeficientilor. Să explicăm imediat cu un exemplu. Să împărțim numerele 28 și 64 în factori primi.
2. Subliniem aceiași factori primi în ambele numere:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Aflați produsul acelorași factori primi și scrieți răspunsul:
GCD (28; 64) = 2. 2 = 4
Răspuns: GCD (28; 64) = 4
Găsirea GCD se poate face în două moduri: într-o coloană (cum s-a făcut mai sus) sau într-o linie.
Prima modalitate de a scrie gcd:
Găsiți GCD 48 și 36.
GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
A doua modalitate de a scrie gcd:
Acum să scriem soluția la căutarea GCD într-o linie. Găsiți GCD 10 și 15.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)
Se încarcă ...