Lecția 3
Mediana este înjumătățită de aria unui triunghi.
Cele două triunghiuri sunt numite egal... Dacă au aceeași zonă.
Teorema 1. Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri egale.
dovezi:
Fie BM să fie mediana triunghiului ABC. Să dovedim asta
https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg "width \u003d" 289 "înălțime \u003d" 227 "\u003e
Să desenăm înălțimea BH a triunghiului ABC. Apoi
,
https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif "width \u003d" 136 "înălțime \u003d" 34 src \u003d "\u003e.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif "width \u003d" 217 "înălțime \u003d" 55 src \u003d "\u003e.
Quod erat demonstrandum
Teorema 2... Medianele unui triunghi îl împart în șase triunghiuri egale.
Din teoremă, în special, rezultă că dacă punctul de intersecție al medianelor unui triunghi este conectat la toate vârfurile sale, atunci triunghiul este împărțit în Trei părti egale.
Problema 1 Cele două mediane ale triunghiului sunt reciproc perpendiculare și, respectiv, 3 și 4. Găsiți aria triunghiului.
Decizie.
Fie medianele AM \u200b\u200bși BE în triunghiul ABC să fie egale cu 3 și respectiv 4, iar K este punctul de intersecție a medianelor.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif "width \u003d" 120 "înălțime \u003d" 47 src \u003d "\u003e.
Deoarece triunghiul ABK este dreptunghiular cu unghi dreapta VKA, atunci 
.
Deoarece medianele împart triunghiul în 6 părți egale, atunci.
Răspuns: 8
Problema 2 Medianele triunghiului sunt 6, 8 și 10, găsesc aria triunghiului.
Decizie.
Lasă-i pe medieni ȘIM, FI și CD din acest triunghi sunt respectiv egale cu 6, 8 și 10, K este punctul intersecției lor. Amânăm continuarea fasciculului BE dincolo de punctul E a segmentului EF= KE... Să conectăm punctele C, F și A.
Luați în considerare un triunghi KAF.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif "width \u003d" 152 "înălțime \u003d" 41 src \u003d "\u003e
https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif "width \u003d" 67 "înălțime \u003d" 19 src \u003d "\u003e, deoarece CKAE este un paralelogram (pe baza unui paralelogram: dacă diagonalele patrulaterului sunt împărțite la punctul de intersecție pe jumătate, până când un cadran dat este o paralelogramă), obținem 
.
De la https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif "width \u003d" 125 "înălțime \u003d" 20 src \u003d "\u003e, apoi prin teorema pitagoreică inversă (dacă pătratul unei părți a triunghiului este egal cu suma pătratelor alte două laturi, triunghiul este unghi drept) triunghi KAF este unghi drept și.
Să calculăm aria triunghiului AKF:
https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif "width \u003d" 104 "înălțime \u003d" 41 src \u003d "\u003e. gif" width \u003d "104" înălțime \u003d "41 src \u003d"\u003e.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif "width \u003d" 16 înălțime \u003d 41 "înălțime \u003d" 41 "\u003e din zona triunghiului în sine.
Dovada poate fi văzută, de exemplu, în manualul metodologic „Sarcini de referință pentru planimetrie”.
Întrebări pentru autotest:
1. Ce triunghiuri se numesc egale?
2. Zona unui triunghi este S. Care este aria fiecăruia dintre triunghiuri în care mediana desenată de o parte și de alta a acestui triunghi o împarte?
3. În câte părți egale se repartizează triunghiul în trei?
4. Zona triunghiului este S. Centrul de greutate al acestui triunghi este conectat la vârfurile sale. Care este aria fiecărui triunghi rezultat?
5. Suprafața unui triunghi este 48, care este aria unui triunghi format din medianele acestui triunghi?
6. Zona unui triunghi format din mediile unui triunghi este 24, care este aria unui triunghi?
Vizualizați răspunsurile.
Sarcini pentru o soluție independentă:
1. Două mediane ale unui triunghi sunt reciproc perpendiculare și, respectiv, 6 și 8. Găsiți aria triunghiului.
Vizualizați soluția.
2. Medianele triunghiului sunt 3, 4 și 5 găsesc aria triunghiului.
Vizualizați soluția.
3. Triunghiul ABC, ale cărui laturi sunt de 13 cm, 14 cm și 15 cm, este împărțit în trei triunghiuri prin segmente care leagă punctul M intersecția medianelor triunghiului cu vârfurile triunghiului. Găsiți zona unui triunghi Navy.
Vizualizați soluția.
4. Cele două laturi ale triunghiului sunt 10 și 12, iar mediana la a treia este 5. Găsiți aria triunghiului.
Vizualizați soluția.
Mediana este segmentul desenat de la vârful triunghiului până la mijlocul laturii opuse, adică îl împarte la jumătate prin punctul de intersecție. Punctul în care mediana traversează partea opusă vertexului din care iese se numește bază. Fiecare mediană a triunghiului trece printr-un punct, numit punct de intersecție. Formula sa de lungime poate fi exprimată în mai multe moduri.
Formule pentru exprimarea lungimii medianei
- Adesea, în probleme de geometrie, elevii trebuie să se ocupe de un astfel de segment precum mediana unui triunghi. Formula lungimii sale este exprimată prin laturile:
unde a, b și c sunt laturi. Mai mult, c este partea în care cade mediana. Aceasta este cea mai simplă formulă. Mediile unui triunghi sunt uneori necesare pentru calcule auxiliare. Există și alte formule.
- Dacă în timpul calculului sunt cunoscute două laturi ale triunghiului și un anumit unghi α situat între ele, atunci lungimea mediană a triunghiului, coborâtă la a treia parte, va fi exprimată după cum urmează.
Proprietăți de bază
- Toți medianii au un punct comun de intersecție O și sunt împărțiți de ea în raport de la doi la unu, dacă socotim de sus. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului.
- Mediana împarte triunghiul în alte două, ale căror zone sunt egale. Astfel de triunghiuri se numesc cu suprafață egală.
- Dacă atrageți toate medianele, atunci triunghiul va fi împărțit în 6 forme egale, care vor fi, de asemenea, triunghiuri.
- Dacă într-un triunghi toate cele trei laturi sunt egale, atunci în el fiecare dintre medieni va fi, de asemenea, o înălțime și o bisectoare, adică perpendicular pe latura de la care este desenată și înjumătățește unghiul din care pleacă.
- Într-un triunghi izoscel, mediana a căzut dintr-un vertex care este opus unei părți care nu este egală cu oricare altul va fi, de asemenea, înălțimea și bisectoarea. Medianele căzute de la alte vârfuri sunt egale. Aceasta este, de asemenea, o condiție necesară și suficientă pentru izosceluri.
- Dacă triunghiul este baza unei piramide obișnuite, atunci înălțimea scăzută pe această bază este proiectată până la punctul de intersecție a tuturor medianelor.
- Într-un triunghi cu unghi drept, mediana desenată pe partea cea mai lungă este jumătate din lungimea sa.
- Fie O punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Formula de mai jos va fi corectă pentru orice punct M.
- Mediana unui triunghi are încă o proprietate. Formula pentru pătratul lungimii sale prin pătratele laturilor este prezentată mai jos.
Proprietățile laturilor la care este desenată mediana
- Dacă conectați oricare dintre cele două puncte de intersecție ale medianelor cu laturile pe care sunt aruncate, atunci segmentul rezultat va fi linia de mijloc a triunghiului și va alcătui o secundă din partea triunghiului cu care nu are puncte comune.
- Bazele înălțimilor și medianelor din triunghi, precum și punctele mijlocii ale segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu punctul de intersecție a înălțimilor se află pe același cerc.
În concluzie, este logic să spunem că unul dintre cele mai importante segmente este tocmai mediana triunghiului. Formula sa poate fi folosită pentru a găsi lungimile celorlalte părți ale sale.
Conținând acest segment. Se numește punctul de intersecție al medianei cu latura triunghiului baza medianei.
- Puteți introduce și conceptul mediana externă triunghi.
YouTube enciclopedic
1 / 3
✪ MEDIANELE bisectoarei și înălțimii triunghiului - gradul 7
✪ Mediana triunghiului. Constructie. Proprietăți.
✪ bisectoare, mediană, înălțimea triunghiului. Gradul de geometrie 7
Subtitrare
Proprietăți
Proprietatea principală
Toate cele trei medii ale unui triunghi se intersectează într-un punct, care se numește centroid sau centrul de greutate al triunghiului și sunt împărțite prin acest punct în două părți într-un raport de 2: 1, numărând din vertex.
Proprietățile medianelor unui triunghi izoscel
- Într-un triunghi izoscel, cele două medii trase pe laturile egale ale triunghiului sunt egale, iar a treia mediană este simultan bisectoarea și înălțimea.
- Opusul este valabil și: dacă două mediane dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este izoscel, iar a treia mediană este simultan bisectoarea și înălțimea unghiului de la vârful său.
- Pentru un triunghi echilateral, toți cei trei medieni sunt egali.
Proprietăți mediane ale bazei
- Teorema lui Euler pentru un cerc de nouă puncte: bazele celor trei înălțimi ale unui triunghi arbitrar, punctele de mijloc ale celor trei laturi ale sale ( bazele medianelor sale) și punctele medii ale trei segmente care leagă vârfurile cu ortocentrul, toate se află pe un singur cerc (așa-numitul cerc de nouă puncte).
- Segmentul desenat prin motive orice două mediane ale unui triunghi este a sa linie mijlocie ... Linia mijlocie a unui triunghi este întotdeauna paralelă cu latura triunghiului cu care nu are puncte comune.
- Corolar (teorema lui Thales pe paralel segmente). Linia mijlocie a unui triunghi este jumătate din lungimea laturii triunghiului la care este paralel.
Alte proprietăți
- Dacă triunghiul multilateral (scalen), atunci bisectoarea sa extrasă de pe orice vertex se află între mediana și înălțimea trasă din același vertex.
- Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri egale (în zonă).
- Triunghiul este împărțit de trei mediane în șase triunghiuri egale.
- Din segmentele care formează medianele, puteți face un triunghi, a cărui suprafață va fi 3/4 din întregul triunghi. Lungimile medianelor satisfac inegalitatea triunghiului.
- Într-un triunghi cu unghi drept, mediana trasă dintr-un vertex într-un unghi drept este jumătate din ipotenuză.
- Latura mai mare a triunghiului corespunde medianei mai mici.
- Segment drept, simetric sau conjugat izogonal mediana interioară în raport cu bisectoarea interioară se numește simedianul triunghiului. Trei symedians trece printr-un punct - punctul Lemoine.
- Mediana unghiului triunghiului conjugat izotomic la ea însăși.
Relații de bază
În special, suma pătratelor medianelor unui triunghi arbitrar este 3/4 din suma pătratelor laturilor sale: ma 2 + mb 2 + mc 2 \u003d 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\\ displaystyle m_ (a) ^ (2) + m_ (b) ^ (2) + m_ (c) ^ (2) \u003d (\\ frac (3) (4)) (a ^ (2) + b ^ (2) + c ^ (2))).
- În schimb, puteți exprima lungimea unei părți arbitrare a unui triunghi prin medianele:
Proprietăți
- Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care se numește centroid și sunt împărțite prin acest punct în două părți într-un raport de 2: 1, numărând de sus.
- Triunghiul este împărțit de trei mediane în șase triunghiuri egale.
- Latura mai mare a triunghiului corespunde medianei mai mici.
- Din vectorii care formează medanele, puteți face un triunghi.
- Odată cu transformările afine, mediana trece la mediană.
- Mediana triunghiului o împarte în două părți egale.
Formulele
- Formula mediană în termeni de laturi (derivată prin teorema Stewart sau extinzând la un paralelogram și folosind egalitatea în paralelogramul sumei pătratelor laturilor și suma pătratelor diagonalelor):
- Formula părții în termeni de medieni:
Dacă cele două mediane sunt perpendiculare, atunci suma pătratelor laturilor pe care sunt aruncate este de 5 ori mai mare decât pătratul celei de-a treia laturi.
Regula memonică
Maimuță mediană,
care are un ochi aspru
sari chiar la mijloc
laturile de sus,
unde este acum.
notițe
Vezi si
Link-uri
Fundația Wikimedia 2010.
Vedeți ce este "Triangle Median" în alte dicționare:
Mediana: mediana unui triunghi în planimetrie, segmentul care conectează vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse în statistici, mediana este valoarea populației care împarte seria de date clasificate în jumătate mediană (statistici) ... ... Wikipedia
Mediană: mediană a unui triunghi în planimetrie, un segment care leagă vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse Median (statistici) cuantil 0,5 Median (urmă) este linia mediană a urmelor trase între dreapta și stânga ... Wikipedia
Triunghiul și medianele sale. Mediana unui triunghi este un segment din interiorul unui triunghi care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse, precum și o linie dreaptă care conține acest segment. Cuprins 1 Proprietăți 2 Formule ... Wikipedia
Linia care leagă partea superioară a triunghiului cu punctul mediu al bazei sale. Un dicționar complet de cuvinte străine care au fost utilizate în limba rusă. Popov M., 1907. mediana (lat.mediana medie) 1) geol. segmentul care leagă vârful triunghiului cu ... ... Dicționar de cuvinte străine din limba rusă
Mediană (din latină mediana mijloc) în geometrie, un segment care leagă unul dintre vârfurile unui triunghi cu mijlocul laturii opuse. Trei M. din triunghi se intersectează într-un punct, care este uneori numit „centrul de greutate” al triunghiului, deci ... Marea enciclopedie sovietică
Un triunghi este o linie dreaptă (sau un segment din interiorul triunghiului) care conectează vârful triunghiului la mijlocul laturii opuse. Trei M. din triunghi se intersectează într-un punct, spre paradis se numește centrul de greutate al triunghiului, centroidului sau ... ... Enciclopedia matematicii
- (din latina mediana mijloc) un segment care leagă vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse ... Mare dicționar enciclopedic
MEDIAN, mediani, neveste (Latină mediana, lit. mijloc). 1. O linie dreaptă trasă din vârful triunghiului spre mijlocul laturii opuse (mat.). 2. În statistici pentru mai multe date, o cantitate cu proprietatea pe care numărul de date, ... ... Dicționarul explicativ al lui Ushakov
MEDIAN, s, neveste. În matematică: un segment de linie dreaptă care leagă vârful unui triunghi la punctul mijlociu al laturii opuse. Dicționarul explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov
MEDIAN (din latina mediana mijloc), un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse ... Dicționar enciclopedic
Mediana unui triunghi este un segment care leagă vertexul unui triunghi cu mijlocul laturii opuse a acestui triunghi.
Proprietățile medianelor unui triunghi
1. Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de suprafață egală.
2. Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2: 1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului (centroid).
3. Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.
Lungimea mediană în lateral: (dock completând construcția la paralelogram și folosind egalitatea în paralelogram de două ori suma pătratelor laturilor și suma pătratelor diagonalelor )
T1. Cele trei mediane ale triunghiului se intersectează într-un punct M, care împarte fiecare dintre ele într-un raport 2: 1, numărând de la vârfurile triunghiului. Date: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - mediani
∆ABC... Dovedește: și
D-in: Fie M punctul de intersecție al medianelor CC 1, AA 1 a triunghiului ABC. Să marcăm A 2 - mijlocul segmentului AM și C 2 - mijlocul segmentului CM. Apoi, A 2 C 2 este linia de mijloc a triunghiului AMC. Prin urmare, A 2 C2|| LA FEL DE
și A2C2 \u003d 0,5 * AC. DIN 1 ȘI 1 - linia de mijloc a triunghiului ABC. De aici, A 1 DIN 1 || AC și A 1 DIN 1 \u003d 0,5 * AC.
Patrulater A 2 C 1 A 1 C 2 - paralelogram, deoarece laturile sale opuse A 1 DIN 1 și A 2 C2 sunt egale și paralele. Prin urmare, A 2 M \u003d MA 1 și C2 M \u003d MC 1 . Aceasta înseamnă că punctele A 2 și M împărtășiți mediana AA 2 în trei părți egale, adică AM \u003d 2MA2. În mod similar CM \u003d 2MC 1 ... Deci, punctul M de intersecție a două mediane AA 2 și CC 2 triunghiul ABC împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2: 1, numărând de la vârfurile triunghiului. Este dovedit exact în același mod că punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1 împarte fiecare dintre ele în raportul 2: 1, numărându-se de la vârfurile triunghiului.
Pe AA mediană, un astfel de punct este punctul M, deci, punctul M și există punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1.
Prin urmare, n
T2. Demonstrați că segmentele de linie care conectează centroidul la vârfurile triunghiului îl împart în trei părți egale. Date: ∆ABC, 
este mediana sa.
Dovedi: S AMB =S BMC =S AMC.Dovada. ÎN,au în comun. 
de cand motivele lor sunt egale 
și înălțimea trasă din vârf M,au în comun. Apoi
Este dovedit într-un mod similar ca S AMB \u003d S AMC.Prin urmare, S AMB \u003d S AMC \u003d S CMB.n
Teoreme bisectoare triunghi legate de bisectoare triunghi. Formule pentru găsirea bisectoarelor
Bisectorul unghiular- o rază cu originea la vârful unghiului, care împarte unghiul în două unghiuri egale.
Biserica unui unghi este locația punctelor din interiorul unghiului, echidistantă de laturile unghiului.
Proprietăți
1. Teorema bisectoarei: bisectoarea colțului interior al unui triunghi împarte partea opusă într-un raport egal cu raportul celor două laturi adiacente.
2. Bisectoarele unghiurilor interioare ale triunghiului se intersectează într-un punct - stimulatorul - centrul cercului înscris în acest triunghi.
3. Dacă două bisectoare dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este izoscel (teorema lui Steiner - Lemus).
Calcularea lungimii bisectoarei
l c - lungimea bisectoarei trase pe latura c,
a, b, c - laturile triunghiului față de vârfurile A, B, C, respectiv,
p - jumătatea perimetrului unui triunghi,
a l, b l - lungimile segmentelor în care bisectora l c împarte partea c,
α, β, γ sunt unghiurile interioare ale triunghiului la vârfurile A, B, C, respectiv,
h c - înălțimea triunghiului coborât la partea c.
Metoda zonei.
Descrierea metodei. Numele implică faptul că obiectul principal al acestei metode este zona. Pentru un număr de figuri, de exemplu, pentru un triunghi, zona este exprimată destul de simplu prin diferite combinații de elemente de figură (triunghi). Prin urmare, tehnica este foarte eficientă atunci când sunt comparate diferite expresii pentru aria unei cifre date. În acest caz, apare o ecuație care conține elementele cunoscute și căutate ale figurii, prin rezolvarea pe care o determinăm necunoscutul. Aici se manifestă caracteristica principală a metodei ariei - „face” o problemă algebrică dintr-o problemă geometrică, reducând totul la rezolvarea unei ecuații (și uneori un sistem de ecuații).
1) Metoda de comparație: asociată cu un număr mare de formule S din aceleași cifre
2) Metoda raportului S: bazată pe sarcini de referință de urmă
Teorema lui Cheva
Fie că punctele A ", B", C "se află pe liniile BC, CA, AB ale triunghiului. Liniile AA", BB ", CC" se întâlnesc la un moment dat dacă și numai dacă 
Dovada.
Să notăm prin punctul de intersecție al segmentelor și. Să aruncăm perpendicularele de la punctele C și A la linia BB 1 până când se intersectează cu ea la punctele K și respectiv L (a se vedea figura).
Deoarece triunghiurile și au o latură comună, zonele lor sunt denumite înălțimi trase către această latură, adică. AL și CK:
Ultima egalitate este adevărată, deoarece triunghiurile în unghi drept și sunt similare în unghi acut.
În mod similar, obținem 
și 
Să înmulțim aceste trei egalități:
quod erat demonstrandum
Cometariu. Un segment (sau continuarea unui segment) care leagă vârful unui triunghi cu un punct situat pe partea opusă sau extinderea acestuia se numește Cheviana.
Teorema (teorema inversă a lui Cheva)... Fie punctele A ", B", C "situate pe laturile BC, CA și respectiv AB ale triunghiului ABC. Fie relația 
Apoi segmentele AA ", BB", CC "și se intersectează la un moment dat.
Teorema lui Menelaus
Teorema lui Menelaus. Fie că linia se intersectează triunghiul ABC, iar C 1 este punctul de intersecție cu latura AB, A 1 este punctul de intersecție cu latura BC, iar B 1 este punctul de intersecție cu extensia laturii AC. Apoi
evidență
... Desenați o linie dreaptă prin punctul C paralel cu AB. Fie K punctul de intersecție cu linia B 1 C 1.
Triunghiurile AC 1 B 1 și CKB 1 sunt similare (∟C 1 AB 1 \u003d ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 \u003d ∟CKB 1). Prin urmare, 
Triunghiurile BC 1 A 1 și CKA 1 sunt de asemenea similare (∟BA 1 C 1 \u003d ∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 \u003d ∟CKA 1). Prin urmare,
Din fiecare egalitate exprimăm CK:
De unde 
Quod erat demonstrandum
Teorema (teorema inversă a lui Menelaus). Fie un triunghi ABC. Punctul C 1 se află pe partea AB, punctul A 1 pe partea BC și punctul B 1 pe extensia laturii AC și relația
Apoi punctele A 1, B 1 și C 1 sunt colineare.
Se încarcă ...