Linii de ordinul doi.
Elipsa și ecuația sa canonică. Cerc

După un studiu amănunțit linii drepte pe avion continuăm să studiem geometria lumii bidimensionale. Miza este dublată și vă invit să vizitați galeria pitorească a elipselor, hiperbolelor, parabolelor, reprezentanți tipici ai linii de ordinul doi... Turul a început deja și, mai întâi, informații succinte despre întreaga expunere pe diferite etaje ale muzeului:

Conceptul de linie algebrică și ordinea acesteia

Se numește o linie pe un avion algebric, dacă în sistem de coordonate afine ecuația sa are forma, unde este un polinom format din termeni ai formei (- un număr real, - numere întregi non-negative).

După cum puteți vedea, ecuația unei linii algebrice nu conține sinusuri, cosinusi, logaritmi și alte lumi funcționale. Doar „x” și „jocuri” din numere întregi non-negative grade.

Comanda de linie este egală cu valoarea maximă a termenilor incluși în ea.

Conform teoremei corespunzătoare, conceptul de linie algebrică, precum și ordinea acesteia, nu depind de alegere sistem de coordonate afinePrin urmare, pentru ușurința de a fi, presupunem că toate calculele ulterioare au loc coordonate carteziene.

Ecuație generală linia de ordinul doi are forma, unde - numere reale arbitrare ( se obișnuiește să se scrie cu un multiplicator - „două”)și coeficienții nu sunt simultan egali cu zero.

Dacă, atunci ecuația este simplificată la și dacă coeficienții nu sunt simultan egali cu zero, atunci acesta este exact ecuația generală a unei linii „plate”care este linie de primă comandă.

Mulți au înțeles semnificația noilor termeni, dar, cu toate acestea, pentru a asimila 100% materialul, lipim degetele în priză. Pentru a determina ordinea liniei, trebuie să repetați toți termenii ecuațiile sale și pentru fiecare dintre ele găsesc suma gradelor variabile de intrare.

De exemplu:

termenul conține „x” în gradul 1;
termenul conține „joc” în gradul 1;
nu există variabile în termen, deci suma puterilor lor este zero.

Acum să vedem de ce ecuația stabilește linia al doilea Ordin:

termenul conține „x” în gradul II;
summand-ul are suma gradelor variabilelor: 1 + 1 \u003d 2;
termenul conține „joc” în gradul II;
toți ceilalți termeni - mai puțin grad.

Valoarea maximă: 2

Dacă în plus, adăugăm, să spunem, la ecuația noastră, atunci se va stabili deja linia a treia de ordine... Evident, forma generală a ecuației liniei de ordinul al treilea conține un „set complet” de termeni, suma puterilor variabilelor în care este egală cu trei:
unde coeficienții nu sunt simultan egali cu zero.

În cazul în care adăugăm unul sau mai mulți termeni adecvați care conțin , atunci vom vorbi despre 4 linii de ordineetc.

Va trebui să ne ocupăm de liniile algebrice de ordinele 3, 4 și superioare de mai multe ori, în special, când vom face cunoștință cu sistem de coordonate polare.

Cu toate acestea, să revenim la ecuația generală și să ne amintim variațiile școlare cele mai simple. Ca exemple, se sugerează o parabolă, a cărei ecuație poate fi ușor redusă la o formă generală și o hiperbolă cu o ecuație echivalentă. Cu toate acestea, nu totul este atât de lin ...

Un dezavantaj semnificativ al ecuației generale este că aproape întotdeauna nu se știe ce linie stabilește. Chiar și în cel mai simplu caz, nu îți vei da seama imediat că acesta este un hiperbole. Astfel de machete sunt bune doar la mascaradă, deci o problemă tipică este luată în considerare în cursul geometriei analitice reducerea ecuației liniei de ordine a doua la forma canonică.

Care este forma canonică a ecuației?

Aceasta este o formă standard general acceptată a unei ecuații, când devine clar în câteva secunde ce obiect geometric definește. În plus, vederea canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor sarcini practice. Deci, de exemplu, conform ecuației canonice „Plat” dreptÎn primul rând, este imediat clar că aceasta este o linie dreaptă și, în al doilea rând, punctul care îi aparține și vectorul de direcție poate fi ușor văzut.

Evident, orice 1 linie de comandă reprezintă o linie dreaptă. La etajul doi, nu mai așteptăm un paznic, ci o companie mult mai diversă de nouă statui:

Clasificarea liniilor de ordin secund

Cu ajutorul unui set special de acțiuni, orice ecuație a unei linii de ordinul doi se reduce la unul dintre următoarele tipuri:

(și sunt numere reale pozitive)

1) - ecuația canonică a elipsei;

2) - ecuația canonică de hiperbolă;

3) - ecuația canonică a parabolei;

4) – imaginar elipsă;

5) - o pereche de linii drepte care se intersectează;

6) - pereche imaginar linii de intersecție (cu singurul punct de intersecție valabil la origine);

7) - o pereche de linii paralele;

8) - pereche imaginar linii paralele;

9) - o pereche de linii coincidente.

Unii cititori pot avea impresia că lista este incompletă. De exemplu, la punctul 7, ecuația stabilește perechea direct paralel cu axa și apare întrebarea: unde este ecuația care determină liniile drepte paralele cu axa ordonată? Raspunde nu este considerat canonic... Liniile drepte reprezintă același caz standard, rotit cu 90 de grade, iar intrarea suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nu poartă nimic fundamental nou.

Astfel, există nouă și doar nouă tipuri diferite de linii de ordinul 2, dar în practică, cele mai frecvente elipsa, hiperbola și parabola.

Să ne uităm mai întâi la o elipsă. Ca de obicei, mă concentrez asupra acelor puncte care sunt de o importanță deosebită pentru rezolvarea problemelor și, dacă aveți nevoie de o derivare detaliată de formule, dovezi de teoreme, vă rugăm să vă referiți, de exemplu, la manualul lui Bazylev / Atanasyan sau Aleksandrov.

Elipsa și ecuația sa canonică

Ortografie ... vă rugăm să nu repetați greșelile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de „cum să construiți o elipsă”, „diferența dintre o elipsă și ovală” și „excentricitatea unei elebsis”.

Ecuația canonică a elipsei are forma, unde sunt numere reale pozitive și. Voi formula chiar mai târziu însăși definiția unei elipse, dar deocamdată este timpul să facem o pauză de la magazinul care vorbește și să rezolv o problemă comună:

Cum construiesc o elipsă?

Da, ia-l și doar desenează-l. Sarcina este deseori întâmpinată și o parte semnificativă a studenților nu face față destul de competent desenului:

Exemplul 1

Construiți elipsa dată de ecuație

Decizie: mai întâi aducem ecuația la forma canonică:

De ce plumb? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfuri de elipsăadică în puncte. Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația.

În acest caz :


Secțiune denumit axa majoră elipsă;
secțiune – axa minoră;
număr denumit axa semi-majoră elipsă;
număr – axa semi-minoră.
în exemplul nostru:.

Pentru a ne imagina rapid cum arată aceasta sau acea elipsă, este suficient să privim valorile „a” și „bs” ale ecuației sale canonice.

Totul este bine, pliabil și frumos, dar există o singură atenție: am făcut desenul folosind programul. Și puteți completa desenul folosind orice aplicație. Cu toate acestea, în realitatea aspră, pe masă există o bucată de hârtie pătrată, iar șoarecii dansează în cercuri pe mâinile noastre. Oamenii cu talent artistic, desigur, pot certa, dar aveți și șoareci (deși mai mici). Nu degeaba umanitatea a inventat un conducător, busole, protector și alte dispozitive simple pentru desen.

Din acest motiv, este puțin probabil să putem desena cu precizie o elipsă, cunoscând doar vârfurile. Totuși bine, dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semi-axe. În mod alternativ, puteți reduce scala și, în consecință, dimensiunile desenului. Dar, în cazul general, este foarte de dorit să găsim puncte suplimentare.

Există două abordări pentru a construi o elipsă - geometric și algebric. Nu-mi place construcția cu o busolă și o riglă din cauza algoritmului nu atât de scurt și a dezordinării semnificative a desenului. În caz de urgență, vă rugăm să consultați manualul, dar în realitate este mult mai rațional să folosiți instrumentele algebrei. Din ecuația elipsei asupra pescajului, exprimați rapid:

În plus, ecuația se împarte în două funcții:
- definește arcul superior al elipsei;
- definește arcul inferior al elipsei.

Elipsa specificată de ecuația canonică este simetrică cu privire la axele coordonate, precum și la origine. Și asta este grozav - simetria este aproape întotdeauna o preocupare a freebies-ului. Evident, este suficient să ne ocupăm de primul trimestru de coordonate, deci avem nevoie de funcție ... Găsirea de puncte suplimentare cu abscise sugerează de la sine ... Am lovit trei sms-uri pe calculator:

Desigur, este, de asemenea, frumos că, dacă se face o eroare gravă în calcule, aceasta va deveni imediat clară în timpul construcției.

Marcați punctele de pe desen (roșu), puncte simetrice pe arcurile rămase (albastru) și conectați cu atenție întreaga companie cu o linie:


Este mai bine să desenați schița inițială subțire și abia apoi să dați presiune creionului. Rezultatul ar trebui să fie o elipsă decentă. Apropo, doriți să știți care este această curbă?

Definiția elipse. Foliile de elipsă și excentricitatea elipsei

O elipsă este un caz special al unui oval. Cuvântul „oval” nu trebuie înțeles în sens filistin („un copil a desenat oval” etc.). Acesta este un termen matematic cu o formulare extinsă. Scopul acestei lecții nu este de a lua în considerare teoria ovalelor și diferitele tipuri ale acestora, care sunt aproape trecute cu vederea în cursul standard al geometriei analitice. Și, în conformitate cu nevoile mai relevante, sărim direct la definiția strictă a unei elipse:

Elipsă Este mulțimea tuturor punctelor planului, suma distanțelor până la fiecare dintre ele este de la două puncte date, numite trucuri elipsa, - este o valoare constantă, numerică egală cu lungimea axei majore a acestei elipse:.
În acest caz, distanța dintre focare este mai mică decât această valoare:.

Acum totul va deveni mai clar:

Imaginați-vă că punctul albastru „conduce” o elipsă. Deci, indiferent de punctul elipsei luăm, suma lungimilor segmentelor va fi întotdeauna aceeași:

Să ne asigurăm că, în exemplul nostru, valoarea sumei este într-adevăr egală cu opt. Plasați mental punctul „em” în vertexul drept al elipsei, apoi :, care este ceea ce ați dorit să verificați.

Un alt mod de desenare este bazat pe definiția unei elipse. Matematica superioară, uneori, este cauza tensiunii și a stresului, așa că este timpul să aveți o altă sesiune de descărcare. Vă rugăm să luați o hârtie Whatman sau o bucată mare de carton și fixați-o pe masă cu două știfturi. Acestea vor fi trucuri. Legați un fir verde de capetele unghiilor proeminente și trageți-l până la capăt cu un creion. Capul de creion va fi la un moment dat care aparține elipsei. Acum începe să-ți urmărești creionul pe foaia de hârtie, păstrând firul verde întins. Continuați procesul până când reveniți la punctul de plecare ... grozav ... desenul poate fi transmis medicului pentru verificarea profesorului \u003d)

Cum găsesc accentele unei elipse?

În exemplul dat, am descris punctele focale „gata făcute” și acum vom învăța cum să le extragem din adâncimea geometriei.

Dacă elipsa este dată de ecuația canonică, atunci punctele ei au coordonate , unde este distanța de la fiecare focalizare la centrul de simetrie al elipsei.

Calculele sunt mai ușoare decât un navet aburit:

! Coordonatele concrete ale focarelor nu pot fi identificate cu semnificația „tse”!Repet că acesta este DISTANȚĂ de la fiecare focalizare la centru (care, în cazul general, nu trebuie să fie localizat exact la origine).
Și, prin urmare, distanța dintre focare nu poate fi legată nici de poziția canonică a elipsei. Cu alte cuvinte, elipsa poate fi mutată într-un alt loc, iar valoarea va rămâne neschimbată, în timp ce focurile își vor schimba în mod natural coordonatele. Vă rugăm să rețineți acest lucru în timp ce explorați subiectul în continuare.

Excentricitatea unei elipse și sensul ei geometric

Excentricitatea unei elipse este un raport care poate lua valori în interior.

În cazul nostru:

Să aflăm cum depinde forma elipsei de excentricitatea ei. Pentru asta fixați vertexurile stânga și dreapta elipsa considerată, adică valoarea axei semi-majore va rămâne constantă. Atunci formula de excentricitate va lua forma:.

Să începem să apropiem valoarea de excentricitate de unitate. Acest lucru este posibil numai dacă. Ce înseamnă? ... amintindu-mi de trucuri ... Aceasta înseamnă că stâlpii elipsei se vor „deplasa” de-a lungul axei abscisei spre vârfurile laterale. Și, întrucât „segmentele verzi nu sunt cauciuc”, elipsa va începe inevitabil să se aplatizeze, transformându-se într-un cârnat mai subțire și mai subțire, înfipt pe o axă.

Prin urmare, cu cât valoarea excentricității elipsei este mai apropiată de una, cu atât elipsa este mai alungită.

Acum să simulăm procesul opus: focare de elipsă s-au îndreptat unul spre celălalt, apropiindu-se de centru. Aceasta înseamnă că valoarea „tse” devine din ce în ce mai mică și, în consecință, excentricitatea tinde spre zero:.
În acest caz, „segmentele verzi” vor fi, dimpotrivă, „aglomerate” și vor începe să „împingă” linia elipsei în sus și în jos.

Prin urmare, cu cât valoarea excentricității este mai aproape de zero, cu atât elipsa arată mai mult... uită-te la cazul extrem în care focarele sunt reunite cu succes la origine:

Un cerc este un caz special al elipsei

Într-adevăr, în cazul egalității semiaxurilor, ecuația canonică a elipsei ia forma, care se transformă reflexiv în binecunoscutul din ecuația școlară a unui cerc cu un centru la originea coordonatelor razei „a”.

În practică, adesea se folosește înregistrarea cu „scrisoarea” vorbitoare „er”:. Raza se numește lungimea segmentului, fiecare punct al cercului fiind îndepărtat din centru de distanța razei.

Rețineți că definiția elipsei rămâne complet corectă: accentele au coincis și suma lungimilor segmentelor coincidente pentru fiecare punct al cercului este o valoare constantă. De la distanța dintre focuri, atunci excentricitatea oricărui cerc este zero.

Un cerc este construit ușor și rapid, este suficient să vă înarmați cu o busolă. Cu toate acestea, uneori este necesar să aflăm coordonatele unora dintre punctele sale, în acest caz mergem pe calea familiară - aducem ecuația într-o formă Matan rapidă:

- funcția semicercului superior;
- funcția semicercului inferior.

Apoi găsim valorile cerute, diferențiată, integra și făcând alte lucruri bune.

Articolul, desigur, este doar pentru referință, dar cum se poate trăi fără iubire în lume? Sarcină creativă pentru soluție independentă

Exemplul 2

Scrieți ecuația canonică a unei elipse dacă una dintre focalizarea ei și axa semi-minoră sunt cunoscute (centrul este la origine). Găsiți vârfuri, puncte suplimentare și trasați o linie în desen. Calculați excentricitatea.

Soluție și desen la sfârșitul lecției

Să adăugăm o acțiune:

Traducere rotativă și paralelă a unei elipse

Să revenim la ecuația canonică a elipsei, și anume, la condiția, ghicitoarea căreia a chinuit mințile curioase încă de la prima mențiune a acestei curbe. Aici am examinat elipsa , dar în practică, ecuația nu poate ? Până la urmă, totuși, aici pare să fie și elipsa!

Această ecuație este rară, dar se întâlnește. Și chiar definește o elipsă. Să eliminăm misticismul:

Ca urmare a construcției, elipsa noastră autohtonă este obținută, rotită cu 90 de grade. adică, - aceasta este notație non-canonică elipsă . Record! - ecuația nu definește nicio altă elipsă, deoarece nu există puncte (puncte) pe axa care să satisfacă definiția unei elipse.

Introducere

Pentru prima dată, curbele de ordinul doi au fost studiate de unul dintre studenții lui Platon. Opera sa a fost următoarea: dacă luați două linii drepte care se intersectează și le rotiți în jurul bisectoarei unghiului format de ele, obțineți o suprafață conică. Dacă traversăm această suprafață cu un plan, atunci în secțiune se obțin diferite forme geometrice, și anume, o elipsă, un cerc, o parabolă, o hiperbolă și mai multe figuri degenerate.

Cu toate acestea, aceste cunoștințe științifice și-au găsit aplicabilitate abia în secolul al XVII-lea, când a fost cunoscut faptul că planetele se deplasează de-a lungul traiectoriilor eliptice, iar proiectilul tunului zboară de-a lungul căii parabolice. A devenit cunoscut chiar mai târziu că, dacă corpului i se oferă prima viteză cosmică, atunci se va deplasa într-un cerc în jurul Pământului, cu o creștere a acestei viteze - de-a lungul unei elipse, iar la atingerea celei de-a doua viteze cosmice, corpul va părăsi câmpul gravitațional al Pământului într-o parabolă.

Elipsa și ecuația sa

Definiție 1. O elipsă este un set de puncte pe un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre acestea la două puncte date, numite focoase, este o valoare constantă.

Câștigurile elipsei sunt notate cu litere și, distanța dintre focare este trecută, iar suma distanțelor de la orice punct al elipsei până la focar este parcursă. Mai mult, 2a\u003e 2c.

Ecuația canonică a elipsei este:

unde sunt legate de egalitatea a 2 + b 2 \u003d c 2 (sau b 2 - a 2 \u003d c 2).

Cantitatea se numește axa principală, iar axa minoră a elipsei.

Definiție 2. Excentricitate elipsa se numește raportul dintre distanța dintre focare și lungimea axei majore.

Este indicat printr-o scrisoare.

Întrucât, prin definiție, 2a\u003e 2c, excentricitatea este întotdeauna exprimată ca o fracție regulată, adică. ...

Prelegeri despre algebră și geometrie. Semestrul 1.

Lectură 15. Elipsă.

Capitolul 15. Elipsa.

articolul 1 Definiții de bază.

Definiție. O elipsă se numește GMT-ul planului, suma distanțelor dintre care două puncte fixe ale planului, numite focoase, este o valoare constantă.

Definiție. Distanța de la un punct arbitrar M al planului până la focalizarea elipsei se numește raza focală a punctului M.

Legendă:
- focuri de elipsă,
- razele focale ale punctului M.

Prin definiția unei elipse, un punct M este un punct al elipsei dacă și numai dacă
- valoare constantă. Această constantă este de obicei notată 2a:

. (1)

observa asta
.

Prin definiția unei elipse, punctele ei sunt puncte fixe, astfel încât distanța dintre ele este, de asemenea, o valoare constantă pentru o elipsă dată.

Definiție. Distanța dintre focarele elipsei se numește distanță focală.

Desemnare:
.

În afara triunghiului
urmează că
, adică

.

Fie b un număr egal cu
, adică

. (2)

Definiție. Atitudine

(3)

numită excentricitatea elipsei.

Să introducem un sistem de coordonate pe acest plan, pe care îl vom numi canonic pentru elipsă.

Definiție. Axa pe care se află focarele elipsei se numește axă focală.

Să construim un PDSC canonic pentru elipsă, vezi Fig. 2.

Selectăm axa focală ca axa abscisă și tragem ordonatul prin mijlocul segmentului
perpendicular pe axa focală.

Apoi focurile au coordonate
,
.

articolul 2 Ecuația canonică a unei elipse.

Teorema. În sistemul canonic de coordonate pentru elipsă, ecuația elipsei are forma:

. (4)

Dovada. Realizăm dovada în două etape. În prima etapă, vom demonstra că coordonatele oricărui punct care se află pe elipsă satisfac ecuația (4). În a doua etapă, vom demonstra că orice soluție la Eq. (4) dă coordonatele unui punct care se află pe o elipsă. De aici va rezulta că ecuația (4) este satisfăcută de acele și numai de acele puncte ale planului de coordonate care se află pe elipsă. Din aceasta și din definiția ecuației curbei va urma că ecuația (4) este ecuația unei elipse.

1) Fie punctul M (x, y) să fie punctul elipsei, adică. suma razelor sale focale este 2a:

.

Să folosim formula pentru distanța dintre două puncte de pe planul de coordonate și să găsim razele focale ale unui punct M folosind această formulă:

,
, de unde primim:

Să mutăm o rădăcină în partea dreaptă a egalității și să o pătrundem:

Reducând, obținem:

Dăm altele similare, le reducem cu 4 și izolăm radicalul:

.

cuadratura

Extindeți paranteza și scurtați la
:

de unde ajungem:

Folosind egalitatea (2), obținem:

.

Împărțirea ultimei egalități pe
, obținem egalitate (4), cap.d.

2) Acum permiteți o pereche de numere (x, y) să satisfacă ecuația (4) și să fie M (x, y) punctul corespunzător pe planul de coordonate Oxy.

Apoi din (4) rezultă:

.

Înlocuim această egalitate în expresia pentru razele focale ale punctului M:

.

Aici am folosit egalitatea (2) și (3).

Prin urmare,
... În mod similar,
.

Acum, rețineți că egalitatea (4) implică asta

sau
și de când
atunci inegalitatea rezultă din acest lucru:

.

Prin urmare, la rândul său, rezultă că

sau
și

,
. (5)

Din egalități (5) rezultă că
, adică punctul M (x, y) este un punct al elipsei, ch.d.

Teorema este dovedită.

Definiție. Ecuația (4) se numește ecuația canonică a elipsei.

Definiție. Axele de coordonate canonice pentru o elipsă sunt numite axe principale ale elipsei.

Definiție. Originea sistemului canonic de coordonate pentru elipsă se numește centrul elipsei.

p. 3. Proprietăți de elipsă.

Teorema. (Proprietățile elipsei.)

1. În sistemul canonic de coordonate pentru elipsă, toate

punctele elipsei sunt în dreptunghi

,
.

2. Punctele sunt pe

3. O elipsă este o curbă simetrică în raport cu

principalele lor axe.

4. Centrul elipsei este centrul simetriei sale.

Dovada. 1, 2) Urmează imediat din ecuația canonică a elipsei.

3, 4) Fie M (x, y) un punct arbitrar al elipsei. Atunci coordonatele sale satisfac ecuația (4). Dar apoi coordonatele punctelor satisfac și Eq. (4) și, prin urmare, sunt punctele elipsei, de unde urmează enunțurile teoremei.

Teorema este dovedită.

Definiție. Cantitatea 2a se numește axa principală a elipsei, cantitatea a se numește axa semi-majoră a elipsei.

Definiție. Cantitatea 2b se numește axa minoră a elipsei, cantitatea b se numește axa minoră a elipsei.

Definiție. Punctele de intersecție ale unei elipse cu axele sale principale sunt numite vertexurile elipsei.

Cometariu. O elipsă poate fi construită după cum urmează. În avion, în trucurile „ciocănim de-a lungul unghiei” și fixăm un fir de lungime
... Apoi luăm un creion și îl folosim pentru a trage firul. Apoi mutăm firul creionului de-a lungul planului, asigurându-ne că firul este tăiat.

Din definiția excentricității rezultă că

Să rezolvăm numărul a și să lăsăm numărul zero să tindă la zero. Apoi la
,
și
... În limita obținută

sau
- ecuația cercului.

Să ne străduim acum
... Apoi
,
și vedem că în limită elipsa degenerează într-un segment de linie
în notația din figura 3.

articolul 4. Ecuațiile parametrice ale unei elipse.

Teorema. Lasa
- numere reale arbitrare. Apoi sistemul de ecuații

,
(6)

este ecuațiile parametrice ale elipsei în sistemul de coordonate canonice pentru elipsă.

Dovada. Este suficient să se demonstreze că sistemul ecuațiilor (6) este echivalent cu ecuația (4), adică. au același set de soluții.

1) Fie (x, y) o soluție arbitrară a sistemului (6). Împărțiți prima ecuație la a, a doua la b, pătrați ambele ecuații și adăugați:

.

Acestea. orice soluție (x, y) a sistemului (6) satisface ecuația (4).

2) În schimb, lasă perechea (x, y) să fie o soluție la ecuația (4), adică.

.

Această egalitate implică faptul că punctul cu coordonate
se află pe un cerc cu raza unității centrat la origine, adică. este un punct al cercului trigonometric, care corespunde unui anumit unghi
:

Din definiția sinusului și cosinusului rezultă imediat că

,
Unde
, de unde rezultă că perechea (x, y) este o soluție pentru sistemul (6), ch.d.

Teorema este dovedită.

Cometariu. O elipsă poate fi obținută ca urmare a „compresiunii” uniforme a unui cerc cu raza a față de axa abscisă.

Lasa
- ecuația unui cerc centrat la origine. „Reducerea” unui cerc către axa abscisă nu este altceva decât o transformare a planului de coordonate, realizată conform următoarei reguli. Pentru fiecare punct M (x, y) punem în corespondență un punct din același plan
Unde
,
- "rata compresiei.

Cu această transformare, fiecare punct al cercului „merge” într-un alt punct al planului, care are aceeași abscisă, dar o ordonată mai mică. Să exprimăm vechea ordine a punctului prin noua:

și înlocuiți-l în ecuația cercului:

.

De aici obținem:

. (7)

De aici rezultă că, dacă înainte de transformarea „compresiunii”, punctul M (x, y) se afla pe un cerc, adică. coordonatele sale au satisfăcut ecuația cercului, apoi după transformarea „compresiei” acest punct „a trecut” în punct
ale cărui coordonate satisfac ecuația elipsei (7). Dacă dorim să obținem ecuația unei elipse cu axa semi-minoră b, atunci trebuie să luăm raportul de compresie

.

p. 5. Tangent la elipsă.

Teorema. Lasa
- punct arbitrar al elipsei

.

Apoi ecuația liniei tangente la această elipsă la punct
se pare ca:

. (8)

Dovada. Este suficient să luăm în considerare cazul în care punctul de tangență se află în primul sau al doilea sfert al planului de coordonate:
... Ecuația elipsei în jumătatea planului superior este:

. (9)

Folosim ecuația tangentei la graficul funcției
la punct
:

unde
- valoarea derivatului acestei funcții la punct
... Elipsa din primul trimestru poate fi privită ca un grafic al funcției (8). Să găsim derivatul și valoarea sa în punctul de tangență:

,

... Aici am folosit faptul că punctul de atingere
este un punct al unei elipse și, prin urmare, coordonatele sale satisfac ecuația unei elipse (9), adică.

.

Substituim valoarea găsită a derivatului în ecuația tangentă (10):

,

de unde ajungem:

Asta implică:

Împărțim această egalitate pe
:

.

Rămâne de remarcat că
de cand punct
aparține unei elipse și coordonatele sale îi satisfac ecuația.

Ecuația liniei tangente (8) în punctul tangent care se află în al treilea sau al patrulea sfert al planului de coordonate este dovedită într-un mod similar.

Și în sfârșit, vedem cu ușurință că ecuația (8) dă ecuația liniei tangente în puncte
,
:

sau
, și
sau
.

Teorema este dovedită.

p.6. Proprietate oglindă a unei elipse.

Teorema. Tangenta la elipsă are unghiuri egale cu razele focale ale punctului tangent.

Lasa
- punct de atingere,
,
Sunt razele focale ale punctului de tangență, P și Q sunt proiecțiile focarului asupra tangentei desenate pe elipă la punctul
.

Teorema afirmă că

. (11)

Această egalitate poate fi interpretată ca egalitatea unghiurilor de incidență și de reflectare a unei raze de lumină dintr-o elipsă emisă de focarul său. Această proprietate este numită proprietatea oglindă a unei elipse:

O rază de lumină emisă din focarul elipsei, după ce a fost reflectată din oglinda elipsei, trece printr-o altă focală a elipsei.

Dovada teoremei. Pentru a dovedi egalitatea unghiurilor (11), dovedim similaritatea triunghiurilor
și
în care laturile
și
va fi similar. Deoarece triunghiurile au unghi drept, este suficient să demonstrezi egalitatea

. (12)

Întrucât prin construcție
- distanța de focalizare până la tangenta L (vezi Fig. 7),
... Să folosim formula pentru distanța de la un punct la o linie dreaptă pe un avion:

Deoarece ecuația tangentei la elipsa din punct
are forma

,

,

.

Aici am folosit formule (5) pentru razele focale ale punctului elipsei.

Teorema este dovedită.

A doua dovadă a teoremei:

,
,
- vector normal al tangentei L.

... Prin urmare,
.

În mod similar, găsim
și
etc.

p. 7. Directiva elipsa.

Definiție. Direcțiile unei elipse sunt două linii drepte care în sistemul de coordonate canonice pentru elipsă au ecuațiile

sau
. (13)

Teorema. Fie M un punct arbitrar al elipsei, , - razele sale focale, - distanța de la punctul M la direcția stângă, - la dreapta. Apoi

, (14)

unde - excentricitatea elipsei.

Dovada.

Fie M (x, y) coordonatele unui punct arbitrar al elipsei. Apoi

,
,

de unde urmează egalitățile (14).

Teorema este dovedită.

p.8. Parametrul focal al elipsei.

Definiție. Parametrul focal al unei elipse este lungimea perpendicularului restaurat în focarul său înainte de a traversa elipsa.

Parametrul focal este notat de obicei prin litera p.

Din definiția rezultă că parametrul focal

.

Teorema. Parametrul focal al elipsei este

. (15)

Dovada. Deoarece punctul N (–c; p) este punctul elipsei
, atunci coordonatele sale își satisfac ecuația:

.

De aici găsim

,

de unde urmează (15).

Teorema este dovedită.

articolul 9 A doua definiție a unei elipse.

Teorema din secțiunea 7. poate servi drept definiție a unei elipse.

Definiție. O elipsă se numește GMT pentru care raportul dintre distanța și un punct fix al planului, numit focar, și distanța până la o linie dreaptă fixă, numită directrică, este o valoare constantă mai mică decât una și numită excentricitatea sa:

.

Desigur, în acest caz, prima definiție a eooips este o teoremă care trebuie dovedită.

Se poate arăta (nu facem acest lucru) că ecuația (2) este echivalentă cu ecuația (1), deși este obținută de la (1) de inegaltransformări. Aceasta înseamnă că ecuația (2) este ecuația elipsei date. Se numeste canonic (adică cea mai simplă).

Se poate observa că ecuația elipsei este o ecuație de ordinul doi, adică. linia elipsa de ordinul 2.

Pentru o elipsă, introducem conceptul excentricitate.Aceasta este amploarea. Pentru o elipsă, excentricitate. La fel de din și și cunoscut, este de asemenea cunoscut. Expresia pentru razele focale ale punctului M (x, y) al elipsei se obține cu ușurință din raționamentul anterior:. r 2 găsim din egalitate (3)

cometariuDacă conduceți două cuie (F1 și F2) în masă, legați-le o șir de ele cu ambele capete, a căror lungime este mai mare decât distanța dintre unghii ( 2a), trageți cordonul și duceți-l de-a lungul mesei cu o bucată de cretă, apoi va trasa o curbă de elipsă închisă, care este simetrică atât pe axe, cât și despre origine.

4. Studiul formei elipsei prin ecuația sa canonică.

În remarcă, din motive de claritate, am făcut o concluzie despre forma elipsei. Să studiem acum forma elipsei, analizând ecuația canonică a acesteia:

Găsiți punctele de intersecție cu axele de coordonate. Dacă, y \u003d 0, atunci, adică. avem două puncte A1 (-a, 0) și A2 (a, 0). Dacă x \u003d 0, atunci,. Acestea. avem două puncte В1 (0, -b) și B2 (0, b) (de atunci, de atunci). Se apelează punctele A1, A2, B1, B2 vârfurile elipsei.

2) Zona elipsei poate fi determinată din următoarele considerente:

a) rezultă din ecuația elipsei că, adică. , adică sau.

b) în mod similar, adică sau. Acest lucru arată că întreaga elipsă este situată într-un dreptunghi format din linii și.

3) Mai mult, variabilele x și y intră în ecuația elipsei numai în puteri paritare, ceea ce înseamnă că curba este simetrică cu privire la fiecare dintre axe și despre origine. D-dar, dacă punctul (x, y) aparține razei, atunci punctele (x, -y), (-x, y) și (-x, -y) îi aparțin. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare doar acea parte a elipsei care se află în primul trimestru, unde și.

4) Din ecuația elipsei pe care o avem și în primul sfert. Dacă x \u003d 0, atunci y \u003d b. Acesta este punctul B2 (0, b). Fie x să crească de la 0 la a, apoi y scade de la b la 0. Astfel, punctul M (x, y), pornind de la punctul B2 (0, b), care descrie arcul, ajunge la punctul A (a, 0). Se poate dovedi riguros că arcul convex este îndreptat în sus. Oglindind acest arc în axele coordonatelor și originea, obținem întreaga elipsă. Axele de simetrie ale elipsei se numesc axele acesteia, punctul O al intersecției lor este centrul elipsei. Lungimea segmentelor OA1 \u003d OA2 \u003d a se numește axa semi-majoră a elipsei, segmentele OB1, OB2 \u003d b-axa semi-minoră a elipsei, (a\u003e b), distanța c-semi-focală. Cantitatea este explicată simplu geometric.

Pentru a \u003d b obținem din ecuația canonică a elipsei - ecuația cercului. Pentru un cerc, adică F1 \u003d F2 \u003d 0. ...

Astfel, un cerc este un caz special al elipsei, când punctele sale coincid cu centrul și excentricitatea \u003d 0. Cu cât este mai mare excentricitatea, cu atât elipsa se va întinde.

Cometariu. Din ecuația canonică a elipsei este ușor să concluzionăm că elipsa poate fi specificată sub formă parametrică. x \u003d a cos t

y \u003d b sin t,unde a, b sunt semiaxe majore și minore, unghiul t.

5. Definiția și derivarea ecuației canonice de hiperbolă.

Hiperbolă numit plan HMT, pentru care diferența de distanțe de la două puncte fixe F1F2 ale planului, numite focare, este o valoare constantă (nu este egală cu 0 și mai mică decât distanța focală F1F2).

Vom indica, ca mai înainte, F1F2 \u003d 2c, iar diferența de distanțe este 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Fie M (x, y) punctul actual al hiperbolei. Prin definiție, MF1-MF2 \u003d sau r 1 -r 2 \u003d \u003d sau - (1). - aceasta este ecuația hiperbolei.

Scăpăm de iraționalitate în (1): vom retrage o rădăcină, vom pătra ambele părți, vom primi: sau, din nou, vom pătra:

De unde.

Să ne împărțim. Să introducem notația. Apoi - (2). Ecuația (2), după cum se poate arăta, este echivalentă cu ecuația (1) și, prin urmare, este ecuația acestei hiperbole. El este numit ecuația canonică de hiperbolă.Vedem că ecuația hiperbola este de asemenea de gradul doi, ceea ce înseamnă că hiperbola de ordinul doi.

Excentricitatea hiperbolei. Expresia pentru razele focale prin care este ușor de obținut de la cea anterioară, apoi găsim de la.

6. Investigarea formei hiperbolei prin ecuația sa canonică.

Argumentăm în același mod ca și atunci când studiem o elipsă.

1. Găsiți punctele de intersecție cu axele hiperbolei. Dacă x \u003d 0, atunci. Nu există puncte de intersecție cu axa OY. Dacă y \u003d 0, atunci. Puncte de intersecție,. Sunt chemați vârfurile hiperbolei.

2. Zona în care se află hiperbola:, adică sau. Prin urmare, hiperbola este situată în afara benzii delimitate de linii drepte x \u003d -ași x \u003d a.

3. Hiperbola are tot felul de simetrie, de atunci x și y intrăm în puteri uniforme. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare acea parte a hiperbolei, care se află în primul trimestru.

4. Din ecuația hiperbola (2) din primul trimestru avem. Pentru x \u003d a, y \u003d 0 avem un punct; o cravată. curba urcă spre dreapta. Pentru a prezenta mișcarea mai clar, luați în considerare două linii auxiliare care trec prin origine și sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile 2a și 2b: BCB'C '. Au ecuații și. Să demonstrăm că punctul actual al hiperbolei M (x, y), mergând la infinit, se apropie de linia dreaptă fără limită. Luati un punct arbitrar x și comparați ordonatele corespunzătoare ale punctului hiperbolei și a liniei. Este evident că Y\u003e y... MN \u003d Y-y \u003d.

Vedem asta pentru, adică curba se apropie de linia dreaptă la nesfârșit pe măsură ce se îndepărtează de origine. Acest lucru dovedește că linia este asimptota hiperbolei. Mai mult, hiperbola nu intersectează asimptotul. Acest lucru este suficient pentru a construi o parte a hiperbolei. Este orientat în sus. Restul pieselor sunt completate în funcție de simetrie. Rețineți că axele de simetrie ale hiperbolei (axe de coordonate) sunt numite sale osii, punctul de intersecție a axelor centru hiperbolă. O axă traversează hiperbola (axa reală), cealaltă nu (imaginară). Secțiune și numit semiaxisul real, segmentul b-imajină semi-axă. Dreptunghiul BCB'C' se numește dreptunghiul principal al hiperbolei.

În cazul în care un a \u003d b, atunci asimptotele formează unghiuri de-a lungul axelor coordonatelor. Atunci hiperbola este fie numită echilateral sau izoscel.Dreptunghiul principal se transformă într-un pătrat. Asimptotele sale sunt perpendiculare între ele.

Cometariu.

Uneori este considerată o hiperbolă, a cărei ecuație canonică este (3). O cheamă conjuga în raport cu hiperbola (2). Hyperbola (3) are o adevărată axă verticală, imaginar-orizontală. Aspectul său este stabilit imediat prin rearanjare x și la, și și b (se întoarce). Dar apoi hiperbola (3) are forma:

Încercă-l.

5. După cum sa menționat deja, ecuația unei hiperbole echilaterale ( a \u003d b), când axele coordonate coincid cu axele hiperbola, are forma. (4)

pentru că asimptotele unei hiperbole echilaterale sunt perpendiculare, apoi pot fi luate și ca axe de coordonate OX 1 și OU 1. Acest lucru este echivalent cu transformarea vechiului sistem OXY printr-un unghi. Formulele de rotație sunt următoarele:

Apoi, în noul sistem de coordonate OX 1 Y 1, ecuația (4) va fi rescrisă:

Sau sau . Notând, obținem sau (5) este ecuația hiperbola echilaterală, referit la asimptote (acest tip de hiperbolă a fost considerat la școală).

cometariu: Din ecuația rezultă că aria oricărui dreptunghi construit pe coordonatele oricărui punct al hiperbolei M (x, y) este aceeași: S \u003d k 2 .

7. Definiția și derivarea ecuației canonice a parabolei.

Parabolănumit planul HMT, pentru fiecare dintre care se numește distanța dintr-un punct fix al planului F concentra, este egală cu distanța de la o linie dreaptă fixă \u200b\u200bnumită directoarea (concentrați în afara regizorului).

Vom indica distanța de la F la direcția cu p și o vom numi parametrul parabolei. Să alegem sistemul de coordonate după cum urmează: trasați axa ОХ prin punctul F perpendicular pe direcția NP. Selectăm originea coordonatelor din mijlocul segmentului FP.

În acest sistem:.

Luați un punct arbitrar M (x, y) cu coordonatele actuale (x, y). prin urmare

Prin urmare, (1) este ecuația parabolei. Să simplificăm:

Sau (2) este ecuația canonică a unei parabole.Se poate demonstra că (1) și (2) sunt echivalente.

Ecuația (2) este o ecuație de ordinul doi, adică parabola-linia ordinului 2.

8. Studiul formei unei parabole prin ecuația sa canonică.

(p\u003e 0).

1) x \u003d 0, y \u003d 0 parabola trece prin punctul de origine O. Se numește vertexul parabolei.

2), adică parabola este situată în dreapta axei OY, în jumătatea dreaptă.

3) la intră într-o putere uniformă, deoarece parabola este simetrică față de axa OX, prin urmare, este suficient să se construiască în primul trimestru.

4) în 1 trimestru la, adică. parabola urcă spre dreapta. Se poate demonstra că convexitatea este în sus. Construim mai jos prin simetrie. Axa OY este tangentă cu parabola.

Evident, raza focală este -. Relația se numește excentricitate:. Axa de simetrie a parabolei (aici OX) se numește axa parabolei.

Rețineți că ecuația este de asemenea o parabolă, dar direcționată în sens invers. Ecuațiile definesc, de asemenea, parabolele, a căror axă este axa OY.

sau într-o formă mai familiară, unde.

Ecuația definește o parabolă de compensare a vertexului normal.

Observații. 1) Există o relație strânsă între cele patru linii de ordinul 2 - toate sunt secțiuni conice... Dacă luăm un con din două cavități, atunci când îl tăiem cu un plan perpendicular pe axa conului, obținem un cerc, dacă înclinăm ușor planul secțiunii obținem o elipsă; dacă planul este paralel cu generatoria, atunci în secțiunea-parabolă, dacă planul intersectează ambele

cavitate-hiperbolă.

2) Se poate dovedi că dacă o rază de lumină provenită din focarul unei parabole este reflectată din ea, atunci raza reflectată merge paralel cu axa parabolei - aceasta este folosită în acțiunea luminilor de căutare - un reflector parabolic, iar în focar - o sursă de lumină. Se dovedește un flux de lumină direcționat.

3) Dacă ne imaginăm lansarea unui satelit Pământ dintr-un punct T aflat în afara atmosferei în direcția orizontală, atunci dacă viteza inițială v 0 este insuficient, satelitul nu va orbita Pământul. La atingerea primei viteze cosmice, satelitul se va roti în jurul Pământului pe o orbită circulară centrată în centrul Pământului. Dacă viteza inițială este crescută, atunci rotația va avea loc de-a lungul unei elipse, centrul Pământului se va afla într-unul din focus. La atingerea celei de-a doua viteze cosmice, traiectoria va deveni parabolică, iar satelitul nu va reveni la punctul T, ci va fi în interiorul sistemului solar. Acestea. o parabolă este o elipsă cu un singur focar la infinit. Odată cu o creștere suplimentară a vitezei inițiale, traiectoria va deveni hiperbolică și a doua focalizare va apărea pe cealaltă parte. Centrul Pământului va fi în centrul orbitei tot timpul. Satelitul va părăsi sistemul solar.

Elipsă

Elipsă. Trucuri magice. Ecuația elipsei. Distanta focala.

Axe majore și minore ale elipsei. Excentricitate. Ecuația

tangent cu elipsa. Starea tangenței unei linii drepte și a unei elipse.

Elipsă (fig. 1 ) se numește locusul punctelor, suma distanțelor de la care până la două puncte date F 1 și F 2 sunat trucuri elipsă, există o valoare constantă.

Ecuația elipsei (fig. 1):

Aici origineeste centrul de simetrie al elipsei,și axe de coordonate - axele sale de simetrie. Canda > b focurile elipsei se află pe axă OH (Fig. 1), la a< b focurile elipsei se află pe axă DESPRE Y, și la a= b elipsa devine un cerc(focurile elipsei în acest caz coincid cu centrul cercului ). Prin urmare, un cerc este un caz special al elipsei .

Secțiune F 1 F 2 = 2 dinUnde se numește distanta focala ... Secțiune AB = 2 a denumit axa principală a elipsei , și segmentul CD = 2 b – axa minoră elipsă ... Număr e = c / a , e < 1 называется excentricitate elipsă .

Lasa R(x 1 , la 1 ) Este atunci punctul elipseiecuatie tangenta elipsa în