Cum de a găsi raza cercului circumscris pentru un trapez?
În funcție de condițiile date, acest lucru se poate face în moduri diferite. Nu există o formulă gata pregătită pentru raza unui cerc circumscrisă unui trapez.
I. Raza unui cerc circumscris unui trapez ca raza unui cerc circumscris unui triunghi, ale cărui vertexuri sunt vertexurile trapezului
Un cerc circumscris unui trapezoid trece prin toate vertexurile sale, prin urmare, este circumscris pentru oricare dintre triunghiuri, ale căror vertexuri sunt vertexurile trapezului.
În cazul general, acesta poate fi găsit printr-una din formule
unde a este latura triunghiului, α este unghiul opus față de acesta;
sau după formulă
unde a, b, c sunt laturi, S este aria triunghiului.
Pentru ABCD trapez, raza poate fi găsită, de exemplu, ca raza unui cerc în jurul triunghiului ABD:
unde sinusul unghiului A poate fi găsit dintr-un triunghi dreptunghic ABF:
III. Raza unui cerc circumscris unui trapez ca distanță până la punctul de intersecție a perpendicularelor medii
Raza cercului circumscris este punctul de intersecție a perpendicularelor medii cu laturile trapezului. (Puteți argumenta diferit: într-un triunghi isoscel AOD (AO \u003d OD \u003d R), înălțimea ON este și mediana. Pentru triunghiul BOC, este similară).
Dacă cunoașteți înălțimea trapezului KN \u003d h, baza AD \u003d a, BC \u003d b, puteți indica ON \u003d x.
Dacă centrul cercului se află în interiorul trapezului, OK \u003d h-x, din triunghiurile unghiul drept ANO și BKO putem exprima
și echivalează partea dreaptă
Rezolvând aceste ecuații pentru x, puteți găsi R.
IV. Dacă diagonala unui trapez este perpendiculară pe laterală, centrul cercului circumscris se află în mijlocul bazei mai mari, iar raza este jumătate din baza mai mare.
- (trapezion grecesc). 1) în geometrie, un patrulater în care două laturi sunt paralele, dar două nu sunt. 2) o figură adaptată pentru exerciții gimnastice. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov AN, 1910. TIPA DE CHEIE ... ... Dicționar de cuvinte străine din limba rusă
trapez - Trapez. CHEIE (din grecescul trapezion, literal tabel), un patrulater convex în care două părți sunt paralele (bazele trapezului). Zona trapezului este egală cu produsul jumătății sumei bazelor (liniei medii) și a înălțimii. ... Dicționar enciclopedic ilustrat
Quadrangle, proiectile, transvers Dicționar de sinonime rusești. trapezoid n., număr de sinonime: 3 traversă (21) ... Dicționar de sinonime
- (din grecescul trapezion, literal tabel), un patrulat convex în care două părți sunt paralele (bazele trapezului). Suprafața trapezului este egală cu produsul jumătății sumei bazelor (linia mijlocie) cu înălțimea ... Enciclopedie modernă
- (din grecescul trapezion literal. tabel), un patrulat în care două laturi opuse, numite bazele trapezului, sunt paralele (în figura AD și BC), iar celelalte două nu sunt paralele. Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului (la ... ... Mare dicționar enciclopedic
KEYSTONE, o figură plată în formă de patrulater în care două laturi opuse sunt paralele. Zona trapezului este egală cu jumătatea sumei laturilor paralele, înmulțită cu lungimea perpendiculară între ele ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic
CHEIE, trapez, femei (din tabelul grecesc trapeza). 1. Un patrulat cu două laturi paralele și două laturi non-paralele (mat.). 2. Aparat gimnastic, format dintr-o traversă suspendată pe două funii (sport). Acrobatic ... ... Dicționarul explicativ al lui Ushakov
CHEIE, și soții. 1. Un patrulater cu două laturi paralele și două non-paralele. Bazele trapezului (laturile sale paralele). 2. Aparat de circ sau gimnastică, o traversă suspendată din două cabluri. Dicționarul explicativ al lui Ozhegov. DE ... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov
Femeie, geom. un patrulat cu laturi inegale, dintre care două sunt montate pe perete (paralele). Un trapez, ca un patrulater, în care toate părțile se desprind. Trapezul, un corp tăiat de trapezi. Dicționarul explicativ al lui Dahl. IN SI. Dahl. 1863 1866 ... Dicționarul explicativ al lui Dahl
- (Trapeze), SUA, 1956, 105 min. Melodramă. Aspirantul acrobat Tino Orsini intră în trupa de circ, unde lucrează Mike Ribble, un celebru aerian în trecut. Odată Mike s-a descurcat cu tatăl lui Tino. Tânărul Orsini îl vrea pe Mike ... ... Enciclopedia cinematografiei
Un patrulater în care două laturi sunt paralele și celelalte laturi nu sunt paralele. Distanța între laturile paralele înălțime T. Dacă laturile paralele și înălțimea conțin metri a, b și h, atunci zona T. conține metri pătrați ... Enciclopedia Brockhaus și Efron
Dacă un cerc este înscris în trapezoid, în problemă apar mai multe căi de-a lungul cărora se poate conduce raționamentul.
1. Un cerc poate fi înscris într-un patrulater dacă și numai dacă sumele lungimilor laturilor sale opuse sunt egale. De aici rezultă că dacă un cerc este înscris într-un trapez, atunci baza bazelor sale este egală cu suma laturilor.
AB + CD \u003d AD + BC
2. Segmentele de tangente trase dintr-un punct sunt egale. De aici rezultă că
3. Înălțimea trapezului este egală cu lungimea diametrului cercului înscris sau a două dintre razele sale.
MK este înălțimea trapezului, MK \u003d 2r, unde r este raza cercului înscris în trapez.
4. Centrul cercului înscris este punctul de intersecție al bisectoarelor colțurilor trapezului.
Să luăm în considerare o sarcină de bază.
Găsiți raza unui cerc înscris într-un trapez, dacă punctul de tangență împarte partea laterală în segmente de lungime m și n (CF \u003d m, FD \u003d n).
1) ∠ADC + ∠BCD \u003d 180º (ca sumă a unghiurilor laterale interioare cu linii paralele AD și BC și CD secant);
2) deoarece punctul O este punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor trapezului, atunci ∠ODF + ∠OCF \u003d 1/2 ∙ (∠ADC + ∠BCD) \u003d 90º;
3) deoarece suma unghiurilor triunghiului este de 180º, atunci COD ∠COD \u003d 90º în triunghi;
4) astfel, triunghiul COD este dreptunghiular, iar OF este înălțimea trasă de hipotenuză, CF și FD sunt proiecțiile piciorului OC și OD asupra hipotenuzei. Întrucât înălțimea atrasă de ipotenuză este între proiecțiile picioarelor pe hipotenuză,
Prin urmare, raza cercului înscris în trapez este exprimată prin lungimile segmentelor, astfel încât latura laterală este divizată de punctul de tangență, ca
Și întrucât înălțimea trapezului este egală cu diametrul său, atunci înălțimea trapezului poate fi exprimată în ceea ce privește lungimile acestor segmente.
Un trapez este un caz special al unui patrulater în care o pereche de laturi este paralelă. Termenul "trapez" provine din cuvântul grecesc τράπεζα, care înseamnă "masă", "masă". În acest articol vom analiza tipurile de trapez și proprietățile acestuia. În plus, vom descoperi cum să calculăm elementele individuale ale acestui exemplu. De exemplu, diagonala unui trapez isoscel, linia centrală, zona etc. Materialul este prezentat în stilul geometriei populare elementare, adică într-o formă ușor accesibilă.
Informatii generale
Mai întâi, să ne dăm seama ce este un patrulater. Această formă este un caz special al unui poligon cu patru laturi și patru vârfuri. Două vârfuri ale unui patrulater care nu sunt adiacente sunt numite opuse. La fel se poate spune și pentru cele două părți care nu sunt adiacente. Principalele tipuri de patrulate sunt paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul, trapezul și deltoidul.
Deci, înapoi la trapezi. După cum am spus, această cifră are două laturi paralele. Se numesc baze. Celelalte două (non-paralele) sunt laturile. În materialele examene și diverse teste, puteți găsi foarte des sarcini legate de trapeze, a căror soluție necesită adesea studentul să aibă cunoștințe care nu sunt prevăzute de program. Cursul de geometrie școlară introduce elevii proprietățile unghiurilor și diagonalelor, precum și linia mediană a unui trapez isoscel. În plus, figura geometrică menționată are și alte caracteristici. Dar despre ei un pic mai târziu ...
Tipuri de trapez
Există multe tipuri ale acestei cifre. Cu toate acestea, cel mai adesea este obișnuit să avem în vedere două dintre ele - izoscel și dreptunghiular.
1. Un trapez dreptunghiular este o figură în care una dintre laturile laterale este perpendiculară pe baze. Cele două unghiuri ale sale sunt întotdeauna egale cu nouăzeci de grade.
2. Un trapez isoscel este o figură geometrică ale cărei laturi sunt egale între ele. Aceasta înseamnă că unghiurile de la baze sunt, de asemenea, perechi egale.
Principiile principale ale metodologiei de studiu a proprietăților trapezului
Principiul principal este utilizarea așa-numitei abordări a sarcinilor. De fapt, nu este necesară introducerea de noi proprietăți ale acestei figuri în cursul teoretic al geometriei. Ele pot fi deschise și formulate în procesul de soluționare a diferitelor probleme (mai bune decât cele ale sistemului). În același timp, este foarte important ca profesorul să știe ce sarcini trebuie acordate elevilor la un moment sau altul al procesului educațional. Mai mult, fiecare proprietate trapezoidală poate fi reprezentată ca o sarcină cheie în sistemul de sarcini.
Al doilea principiu este așa-numita organizare spirală a studiului proprietăților „remarcabile” ale trapezului. Aceasta implică o revenire a procesului de învățare la caracteristicile individuale ale unei figuri geometrice date. Acest lucru facilitează memorarea cursanților. De exemplu, proprietatea a patru puncte. Poate fi dovedit atât studiind similaritatea, cât și ulterior folosind vectori. Și dimensiunea egală a triunghiurilor adiacente laturilor laterale ale figurii poate fi dovedită prin aplicarea nu numai a proprietăților triunghiurilor cu înălțimi egale desenate pe laturile care se află pe o linie dreaptă, ci și folosind formula S \u003d 1/2 (ab * sinα). În plus, puteți lucra la un trapez sau un triunghi în unghi drept pe un trapez descris etc.
Utilizarea caracteristicilor „extra-curriculare” ale unei figuri geometrice în conținutul unui curs școlar este o tehnologie de sarcină pentru predarea acestora. Apelarea constantă la proprietățile studiate în timp ce completează alte subiecte permite studenților să obțină o înțelegere mai profundă a trapezului și asigură succesul rezolvării sarcinilor atribuite. Așadar, hai să studiem această figură minunată.
Elemente și proprietăți ale unui trapez isoscel
După cum am observat deja, această figură geometrică are laturi egale. Este, de asemenea, cunoscut ca un trapezoid obișnuit. Și de ce este atât de remarcabil și de ce a primit un astfel de nume? Particularitățile acestei figuri includ faptul că are egal nu numai laturile și unghiurile la baze, ci și diagonalele. În plus, suma unghiurilor unui trapez isoscel este de 360 \u200b\u200bde grade. Dar asta nu este tot! Dintre toate trapezele cunoscute, numai în jurul unui izoscel se poate descrie un cerc. Acest lucru se datorează faptului că suma unghiurilor opuse ale acestei cifre este de 180 de grade și numai în această condiție se poate descrie un cerc în jurul unui patrulater. Următoarea proprietate a figurii geometrice considerate este aceea că distanța de la vârful bazei până la proiecția vârfului opus pe linia dreaptă care conține această bază va fi egală cu linia centrală.
Acum să ne dăm seama cum să găsim unghiurile unui trapez isoscel. Luați în considerare o soluție la această problemă, cu condiția să se cunoască dimensiunile laturilor figurii.
Decizie
De obicei, patrulaterul este notat de obicei cu literele A, B, C, D, unde BS și AD sunt bazele. Într-un trapez isoscel, laturile sunt egale. Vom presupune că dimensiunea lor este egală cu X, iar dimensiunile bazelor sunt egale cu Y și Z (respectiv mai mici și mai mari). Pentru a efectua calculul, este necesar să tragem înălțimea N. din unghiul B. Rezultatul este un triunghi dreptunghic ABN, unde AB este hipotenuză, iar BN și AN sunt picioarele. Calculăm dimensiunea piciorului AH: scădem cel mai mic din baza mai mare și împărțim rezultatul cu 2. Îl scriem sub forma formulei: (Z-Y) / 2 \u003d F. Acum, pentru a calcula unghiul acut al triunghiului, folosim funcția cos. Obținem următoarea înregistrare: cos (β) \u003d X / F. Acum calculăm unghiul: β \u003d arcos (X / F). Mai departe, cunoscând un unghi, putem determina al doilea, pentru aceasta efectuăm o operație aritmetică elementară: 180 - β. Toate unghiurile sunt definite.
Există, de asemenea, oa doua soluție la această problemă. La început coborâm înălțimea N. de la colț. Calculați valoarea piciorului BN. Știm că pătratul hipotenuzei unui triunghi unghi drept este egal cu suma pătratelor picioarelor. Obținem: BN \u003d √ (X2-F2). În continuare, folosim funcția trigonometrică tg. Drept urmare, avem: β \u003d arctan (BN / F). S-a găsit un colț ascuțit. Mai departe, definim în același mod ca și în prima metodă.
Proprietatea diagonalelor trapezice isoscele
În primul rând, să notăm patru reguli. Dacă diagonalele dintr-un trapez isoscel sunt perpendiculare, atunci:
Înălțimea cifrei va fi egală cu suma bazelor împărțite la două;
Înălțimea și linia mediană sunt egale;
Centrul cercului este punctul în care se intersectează;
Dacă partea laterală este împărțită de punctul de atingere în segmente H și M, atunci aceasta este egală cu rădăcina pătrată a produsului acestor segmente;
Quadrilaterul, care este format din punctele de contact, partea superioară a trapezului și centrul cercului înscris, este un pătrat a cărui latură este egală cu raza;
Suprafața unei cifre este egală cu produsul bazelor și produsul jumătății sumei bazelor la înălțimea sa.
Trapez similar
Acest subiect este foarte convenabil pentru studierea proprietăților acestuia.De exemplu, diagonalele împart un trapez în patru triunghiuri, iar cele adiacente bazelor sunt similare, iar laturile laterale sunt egale. Această afirmație poate fi numită o proprietate a triunghiurilor în care un trapez este împărțit la diagonalele sale. Prima parte a acestei afirmații este dovedită prin semnul similarității în două unghiuri. Pentru a dovedi a doua parte, este mai bine să folosiți metoda de mai jos.
Dovada teoremei
Presupunem că cifra ABSD (BP și BS stau la baza trapezului) este împărțită la diagonalele VD și AS. Punctul intersecției lor este O. Obținem patru triunghiuri: AOS - la baza inferioară, BOS - la baza superioară, ABO și SOD în părțile laterale. Triunghiurile SOD și BFB au o înălțime comună dacă segmentele BO și OD sunt bazele lor. Obținem că diferența dintre zonele lor (P) este egală cu diferența dintre aceste segmente: PBOS / PSOD \u003d BO / OD \u003d K. Prin urmare, PSOD \u003d PBOS / K. De asemenea, triunghiurile BFB și AOB au o înălțime comună. Luăm segmentele SB și OA pentru bazele lor. Obținem PBOS / PAOB \u003d SO / OA \u003d K și PAOB \u003d PBOS / K. De aici rezultă că PSOD \u003d PAOB.
Pentru a consolida materialul, elevii sunt sfătuiți să găsească o relație între zonele triunghiurilor rezultate, în care trapezul este împărțit prin diagonalele sale, rezolvând următoarea problemă. Se știe că zonele triunghiurilor biofeedback și AOD sunt egale, este necesar să se găsească zona trapezului. Deoarece PSOD \u003d PAOB, înseamnă că PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Din similitudinea triunghiurilor BFB și AOD rezultă că BO / OD \u003d √ (PBOS / PAOD). Prin urmare, PBOS / PSOD \u003d BO / OD \u003d √ (PBOS / PAOD). Obținem PSOD \u003d √ (PBOS * PAOD). Apoi PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) \u003d (√ PBOS + √ PAOD) 2.
Proprietăți de asemănare
Continuând să dezvolți această temă, puteți dovedi alte caracteristici interesante ale trapezilor. Deci, cu ajutorul asemănării, se poate dovedi proprietatea unui segment de linie care trece printr-un punct format prin intersecția diagonalelor acestei figuri geometrice, paralel cu bazele. Pentru a face acest lucru, vom rezolva următoarea problemă: este necesar să găsim lungimea segmentului RK, care trece prin punctul O. Din similitudinea triunghiurilor AOD și BFB, rezultă că AO / OS \u003d AD / BS. Din similitudinea triunghiurilor AOP și ASB rezultă că AO / AC \u003d RO / BS \u003d HELL / (BS + HELL). De aici obținem acel RO \u003d BS * HELL / (BS + HELL). În mod similar, din similitudinea triunghiurilor DOK și DBS, rezultă că OK \u003d BS * HELL / (BS + HELL). De aici obținem acel RO \u003d OK și RK \u003d 2 * BS * HELL / (BS + HELL). Segmentul care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor, paralel cu bazele și care leagă cele două laturi, este împărțit la punctul de intersecție în jumătate. Lungimea sa este media armonică a bazei figurii.
Luați în considerare următoarea calitate a trapezului, care se numește proprietatea în patru puncte. Punctele de intersecție ale diagonalelor (O), intersecția extensiei laturilor laterale (E), precum și punctele de mijloc ale bazelor (T și G) se află întotdeauna pe aceeași linie. Acest lucru este dovedit cu ușurință prin metoda asemănării. Triunghiurile rezultate BES și AED sunt similare, iar în fiecare dintre ele mediile ET și EZ împart unghiul de la vertexul E în părți egale. În consecință, punctele E, T și Ж se află pe o linie dreaptă. În același mod, punctele T, O și Zh sunt situate pe o linie dreaptă, toate acestea rezultând din similitudinea triunghiurilor BFB și AOD. Din aceasta ajungem la concluzia că toate cele patru puncte - E, T, O și F - se vor baza pe o linie dreaptă.
Folosind astfel de trapezi, elevii pot fi solicitați să găsească lungimea segmentului (LF) care împarte figura în două similare. Acest segment trebuie să fie paralel cu bazele. Deoarece trapezii obținuți ALPD și LBSF sunt similare, atunci BS / LF \u003d LF / HELL. Rezultă că LF \u003d √ (BS * HELL). Obținem că segmentul care împarte trapezul în două similare are o lungime egală cu media geometrică a lungimilor bazelor figurii.
Luați în considerare următoarea proprietate de asemănare. Se bazează pe un segment care împarte trapezul în două figuri de dimensiuni egale. Presupunem că trapezul ABSD este împărțit de segmentul ЕН în două similare. Din vertexul B, înălțimea este scăzută, care este împărțită de segmentul EH în două părți - B1 și B2. Obținem: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (HELL + EH) * B2 / 2 și PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. În continuare, compunem un sistem, a cărui prima ecuație este (BS + EH) * B1 \u003d (HELL + EH) * B2 și a doua (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Rezultă că B2 / B1 \u003d (BS + EH) / (HELL + EH) și BS + EH \u003d ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). Obținem că lungimea segmentului care împarte trapezul în două mărimi egale este egală cu pătratul mediu rădăcină al lungimilor bazelor: √ ((BS2 + AD2) / 2).
Descoperiri de asemănare
Astfel, am demonstrat că:
1. Segmentul care leagă mijlocul laturilor laterale la trapez este paralel cu BP și BS și este egal cu media aritmetică a BS și BP (lungimea bazei trapezului).
2. Linia care trece prin punctul O al intersecției diagonalelor paralele cu HELL și BS va fi egală cu media armonică a numerelor de HELL și BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL)).
3. Segmentul care împarte trapezul în altele similare are lungimea mediei geometrice a bazelor BS și BP.
4. Elementul care împarte cifra în două mărimi egale are lungimea numărului mediu pătrat de BP și BS.
Pentru a consolida materialul și a realiza conexiunea dintre segmentele considerate, elevul trebuie să le construiască pentru un trapez specific. El poate afișa cu ușurință linia de mijloc și segmentul care trece prin punctul O - intersecția diagonalelor figurii - paralel cu bazele. Dar unde vor fi localizate al treilea și al patrulea? Acest răspuns îl va conduce pe student să descopere relația dorită între medii.
Segmentul care leagă punctele mijlocii ale diagonalelor trapezoidale
Luați în considerare următoarea proprietate a acestei cifre. Presupunem că segmentul ML este paralel cu bazele și împarte diagonalele la jumătate. Punctele de intersecție vor fi numite Ш și Ш. Acest segment va fi egal cu jumătatea diferenței bazelor. Să analizăm mai detaliat acest lucru. MSh - linia de mijloc a triunghiului ABS, este egală cu BS / 2. MCh este linia de mijloc a triunghiului ABD, este egală cu BP / 2. Atunci obținem că SHSH \u003d MSH-MSH, prin urmare, SHSH \u003d HELL / 2-BS / 2 \u003d (HELL + VS) / 2.
Centrul de greutate
Să vedem cum este definit acest element pentru o figură geometrică dată. Pentru a face acest lucru, este necesar să extindeți bazele în direcții opuse. Ce înseamnă? Este necesar să adăugați cea inferioară la baza superioară - de o parte sau de alta, de exemplu, spre dreapta. Și extindeți-o pe cea inferioară cu lungimea superioară spre stânga. În continuare, le conectăm cu o diagonală. Punctul de intersecție al acestui segment cu linia de mijloc a figurii este centrul de greutate al trapezului.
Trapezoizi înscriși și descriși
Să enumerăm caracteristicile unor astfel de forme:
1. Un trapez poate fi înscris într-un cerc numai dacă este izoscel.
2. Un trapez poate fi descris în jurul unui cerc, cu condiția ca suma lungimilor bazelor lor să fie egală cu suma lungimilor laturilor laterale.
Consecințe de cerc înscrise:
1. Înălțimea trapezului descris este întotdeauna egală cu două raze.
2. Latura laterală a trapezului descris este observată din centrul cercului într-un unghi drept.
Primul corolar este evident, dar pentru a dovedi al doilea, este necesar să se stabilească că unghiul SOD este corect, ceea ce, de fapt, nu va fi, de asemenea, dificil. Cunoașterea acestei proprietăți va permite utilizarea unui triunghi în unghi drept atunci când rezolvați probleme.
Să concretizăm acum aceste consecințe pentru un trapez isoscel, care este înscris într-un cerc. Obținem că înălțimea este media geometrică a bazei figurii: H \u003d 2R \u003d √ (BS * HELL). În timp ce practică tehnica de bază a rezolvării problemelor pentru trapezii (principiul deținerii a două înălțimi), elevul trebuie să rezolve următoarea sarcină. Acceptăm că BT este înălțimea cifrei de izoscel din ABSD. Este necesar să găsiți segmente AT și TD. Folosind formula descrisă mai sus, acest lucru nu va fi dificil.
Acum să ne dăm seama cum să determinăm raza unui cerc folosind zona trapezului descris. Coborâm înălțimea de la vârful B la baza HELL. Deoarece cercul este înscris într-un trapez, atunci BS + HELL \u003d 2AB sau AB \u003d (BS + HELL) / 2. Din triunghiul ABN găsim sinα \u003d BN / AB \u003d 2 * BN / (BS + HELL). PABSD \u003d (BS + HELL) * BN / 2, BN \u003d 2R. Obținem PABSD \u003d (BS + HELL) * R, rezultă că R \u003d PABSD / (BS + HELL).
Toate formulele pentru linia mediană a unui trapez
Acum este timpul să treci la ultimul element al acestei forme geometrice. Să ne dăm seama care este linia de mijloc a trapezului (M):
1. Prin bazele: M \u003d (A + B) / 2.
2. Prin înălțime, bază și colțuri:
M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;
M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.
3. Prin înălțime, diagonale și unghiul dintre ele. De exemplu, D1 și D2 sunt diagonalele trapezului; α, β - unghiuri între ele:
M \u003d D1 * D2 * sinα / 2H \u003d D1 * D2 * sinβ / 2H.
4. Prin zonă și înălțime: M \u003d P / N.
Lucrări de proiect „Proprietăți interesante ale trapezului” Finalizate: elevi de clasa a X-a Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MKOU Școala gimnazială p. N. Batako Șef: A. O. Gagieva 20 noiembrie 2015
Scopul lucrării: Pentru a lua în considerare proprietățile trapezului, care nu sunt studiate în cursul de geometrie școlară, dar atunci când rezolvați probleme geometrice ale examenului din partea extinsă a C 4, este uneori necesar să cunoașteți și să puteți aplica aceste proprietăți.
Proprietăți ale trapezului: Dacă un trapez este împărțit printr-o linie dreaptă paralelă cu bazele sale, egală cu a și b, în \u200b\u200bdouă trapezoide egale. Apoi, segmentul de la această linie, închis între laturile laterale, este egal cu un B pentru
Proprietatea segmentului de linie care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezoidale. Un segment paralel cu bazele care trec prin punctul de intersecție al diagonalelor este: a în c
Proprietățile trapezului: un segment de linie dreaptă paralel cu bazele trapezului, închis în interiorul trapezului, este împărțit de diagonalele sale în trei părți. Apoi, segmentele adiacente laturilor sunt egale între ele. MR \u003d OK R M O K
Proprietățile unui trapez isoscel: Dacă un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci raza cercului este media proporțională cu segmentele în care punctul tangent împarte partea laterală. O S V A D. E O
Proprietățile unui trapez isoscel: Dacă centrul cercului circumscris se află pe baza trapezului, atunci diagonala sa este perpendiculară pe partea laterală О А В С Д
Proprietățile unui trapez isoscel: un cerc poate fi înscris într-un trapez isoscel dacă partea laterală este egală cu linia mediană. C B A D h
1) Dacă afirmația problemă spune că un cerc este înscris într-un trapez dreptunghiular, puteți utiliza următoarele proprietăți: 1. Suma bazelor trapezului este egală cu suma laturilor. 2. Distanțele de la vârful trapezului până la punctele de tangență ale cercului înscris sunt egale. 3. Înălțimea unui trapez dreptunghiular este egală cu latura laterală mai mică și este egală cu diametrul cercului înscris. 4. Centrul cercului înscris este punctul de intersecție al bisectoarelor colțurilor trapezului. 5. Dacă punctul de tangență împarte partea laterală în segmentele m și n, atunci raza cercului înscris este
Proprietățile unui trapez dreptunghiular în care este înscris un cerc: 1) Un patrulater format din centrul cercului înscris, punctele de contact și vârful trapezului - un pătrat a cărui latură este egală cu raza. (AMOE și BKOM sunt pătrate cu r). 2) Dacă un cerc este înscris într-un trapez dreptunghiular, atunci zona trapezului este egală cu produsul bazelor sale: S \u003d AD * BC
Dovadă: suprafața unui trapez este egală cu produsul jumătății sumei bazelor sale și înălțimii: Notă CF \u003d m, FD \u003d n. Deoarece distanțele de la vârfurile la punctele de tangență sunt egale, înălțimea trapezului este egală cu două raze ale cercului înscris și
I. Bisectoarele unghiurilor din partea laterală a trapezului se intersectează cu un unghi de 90 °. 1) ∠ABC + ∠BAD \u003d 180º (sub formă internă cu AD internalBC și secant AB). 2) ∠ABK + ∠KAB \u003d (∠ABC + ∠BAD): 2 \u003d 90º (deoarece bisectoarele împart unghiurile în jumătate). 3) Deoarece suma unghiurilor triunghiului este de 180º, în triunghiul ABK avem: ∠ABK + ∠KAB + ∠AKB \u003d 180º, deci ∠AKB \u003d 180-90 \u003d 90º. Concluzie: bisectoarele colțurilor din partea laterală a trapezului se intersectează în unghi drept. Această afirmație este utilizată la rezolvarea problemelor pe un trapez în care este înscris un cerc.
I I. Punctul de intersecție a bisectoriilor trapezului, adiacent lateralului, se află pe linia mediană a trapezului. Lăsați bisectoarea unghiului ABC să intersecteze latura AD în punctul S. Atunci triunghiul ABS este izoscel cu baza BS Deci, bisectoarea sa AK este și mediana, adică punctul K este punctul mediu al BS. Dacă M și N sunt punctele medii ale laturilor trapezului, atunci MN este linia mediană a trapezului și MN∥AD. Deoarece M și K sunt punctele medii ale AB și BS, MK este linia mediană a triunghiului ABS și MK∥AS. Deoarece prin punctul M puteți desena o singură linie dreaptă paralelă cu cea dată, punctul K se află pe linia mediană a trapezului.
III. Punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor acute la baza trapezului aparține unei baze diferite. În acest caz, triunghiurile ABK și DCK sunt izoscelele cu bazele AK și respectiv DK. Deci BC \u003d BK + KC \u003d AB + CD. Concluzie: Dacă bisectoarele colțurilor ascuțite ale trapezului se intersectează într-un punct aparținând bazei mai mici, atunci baza mai mică este egală cu suma laturilor trapezului. Într-un trapez isoscel, în acest caz, baza mai mică este de două ori mai laterală.
I V. Punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor obtuze la baza trapezului aparține unei alte baze. În acest caz, triunghiurile ABF și DCF sunt izoscelele cu bazele BF și respectiv CF. De aici AD \u003d AF + FD \u003d AB + CD. Concluzie: Dacă bisectoarele unghiurilor obtuse ale trapezului se intersectează într-un punct aparținând bazei mai mari, atunci baza mai mare este egală cu suma laturilor trapezului. Într-un trapez izoscel, în acest caz, baza mai mare este de două ori mai laterală.
Dacă un trapez isoscel cu laturile a, b, c, d pot fi înscrise și cercurile pot fi descrise în jurul lui, atunci zona trapezului este
Se încarcă ...