Teorema sinusului - o teoremă care stabilește relația: laturile unui triunghi sunt unghiurile opuse.
Teorema sinusului:Laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinele unghiurilor opuse.
Există 2 subspecii ale teoremei: teorema sinusoidală ordinară și extinsă.
Teorema obișnuită a sinelor:
Laturile triunghiului sunt proporționale păcat colțuri opuse.
Teorema sinusoidală extinsă pentru un triunghi arbitrar:
unde a, b, c - laturile unui triunghi, , β, γ Sunt unghiurile opuse acestor părți și R Este raza cercului descrisă în jurul triunghiului.
Dovada teoremei sinusoidale.
Să existe un triunghi înscris într-un cerc. Să o denotăm ca ABC.
Pentru a dovedi întreaga teoremă, deoarece un triunghi are dimensiuni arbitrare, nu se poate dovedi decât că raportul dintre o latură arbitrară și unghiul opus corespunde 2R... Să spunem că o va face 2R \u003d a / păcat, adică dacă te uiți la desen 2R \u003d BC / sin A.
Să desenăm diametrul | BG| pentru cercul circumscris. Din proprietatea unghiurilor care sunt înscrise într-un cerc, unghiul GCB va fi corect, iar unghiul CGB egală cu oricare când punctele A și G sunt pe o parte a unei linii drepte BC, sau − în cazul opus. La fel de păcat(-) \u003d păcat, în ambele cazuri obținem.
Teorema zonei pentru un triunghi
Teorema 1
Zona unui triunghi este jumătate din produsul a două laturi prin sinusul unghiului dintre aceste laturi.
Dovada.
Să ni se ofere un triunghi arbitrar $ ABC $. Să notăm lungimile laturilor acestui triunghi ca $ BC \u003d a $, $ AC \u003d b $. Introducem un sistem de coordonate carteziene astfel încât punctul $ C \u003d (0,0) $, punctul $ B $ se află pe semiaxisul corect $ Ox $, iar punctul $ A $ se află în primul trimestru de coordonate. Să atragem înălțimea $ h $ din punctul $ A $ (Fig. 1).
Figura 1. Ilustrarea teoremei 1
Înălțimea de $ h $ este egală cu ordonanța punctului $ A $
Teorema sinusului
Teorema 2
Laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinele unghiurilor opuse.
Dovada.
Să ni se ofere un triunghi arbitrar $ ABC $. Notăm lungimile laturilor acestui triunghi ca $ BC \u003d a $, $ AC \u003d b, $ $ AC \u003d c $ (Fig. 2).
Figura 2.
Să dovedim asta
Prin teorema 1, avem
Echivalându-le în perechi și obținem asta
Teorema cosinusului
Teorema 3
Pătratul laturii unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale triunghiului, fără de două ori produsul acestor părți de cosinusul unghiului dintre aceste laturi.
Dovada.
Să ni se ofere un triunghi arbitrar $ ABC $. Să denotăm lungimile laturilor sale ca $ BC \u003d a $, $ AC \u003d b, $ $ AB \u003d c $. Să introducem un sistem de coordonate carteziene, astfel încât punctul $ A \u003d (0,0) $, punctul $ B $ se află pe semiaxisul pozitiv $ Ox $, iar punctul $ C $ se află în primul trimestru de coordonate (Fig. 3).
Figura 3.
Să dovedim asta
În acest sistem de coordonate, obținem asta
Găsiți lungimea laturii $ BC $ după formula pentru distanța dintre puncte
Un exemplu de problemă folosind aceste teoreme
Exemplul 1
Demonstrați că diametrul cercului circumscris al unui triunghi arbitrar este egal cu raportul oricărei părți a triunghiului și sinusul colțului opus acestei părți.
Decizie.
Să ni se ofere un triunghi arbitrar $ ABC $. $ R $ este raza cercului circumscris. Să atragem diametrul $ BD $ (Fig. 4).
Teorema sinusului
Teorema sinusurilor stabilește relația dintre mărimea unghiurilor unui triunghi și laturile opuse acestuia.Formularea teoremei sinusoidale:
Laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinele unghiurilor opuse.
Unde
R - raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi
a, b, c - laturile unui triunghi
α, β, γ
- valorile unghiurilor opuse acestor laturi
Dovada teoremei sinusoidale
Dovada teoremei sinusoidale se face folosind construcții suplimentare.
Să construim un triunghi arbitrarînscris într-un cerc. Să-l desemnăm ca ABC.
În plus, construiți diametrul cercului, în care este înscris un triunghi arbitrar, dar astfel încât să treacă prin unul dintre colțurile sale. Diametrul este egal cu dublul razei cercului (2R).
Să luăm în considerare faptul că una dintre proprietățile unui triunghi unghi drept inscripționat într-un cerc este faptul că ipotenuză este diametrul cercului în care este înscris.
Să denotăm diametrul cercului circumscris ca BD. Triunghiul rezultat BCD este dreptunghiular, deoarece hipotenuză se află pe diametrul cercului circumscris (o proprietate a unghiurilor înscrise într-un cerc).
Astfel, un triunghi construit suplimentar, care are o latură comună cu triunghiul arbitrar construit anterior și ipotenuză coincide cu diametrul cercului - este dreptunghiulară... Adică triunghiul DBC este dreptunghiular.
Pentru a dovedi întreaga teoremă, deoarece dimensiunile triunghiului ABC sunt alese arbitrar, este suficient să demonstrezi că raportul dintre o parte arbitrară și colțul opus este egal cu 2R.
Fie 2R \u003d a / sin αadică dacă luăm din desenul 2R \u003d BC / păcatul A.
În măsura în care, unghiurile înscrise într-un cerc bazat pe același arc sunt egale, atunci unghiul CDB este fie egal cu unghiul CAB (dacă punctele A și D se află pe aceeași parte a liniei BC), fie egal cu π - CAB (altfel).
Să ne întoarcem la proprietățile funcțiilor trigonometrice. În măsura în care sin (π - α) \u003d sin α, atunci opțiunile indicate pentru construirea unui triunghi vor duce în continuare la același rezultat.
Calculăm valoarea 2R \u003d a / sin α, conform desenului 2R \u003d BC / sin A. Pentru a face acest lucru, înlocuiți păcatul A cu raportul laturilor corespunzătoare ale unui triunghi dreptunghic.
2R \u003d BC / sin A
2R \u003d BC / (BC / DB)
2R \u003d DB
Și, din moment ce DB a fost construit ca diametrul unui cerc, egalitatea este satisfăcută.
Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem:
Teorema sinusoidală este dovedită.
Laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinele unghiurilor opuse.
dovezi:
Fie triunghiul ABC, latura AB \u003d c, latura BC \u003d a, latura CA \u003d b.
Să încercăm să dovedim că a / păcat (A) \u003d b / sin (B) \u003d c / sin (C). Să folosim teorema zonei triunghiului și să o notăm pentru fiecare pereche de laturi și unghiul corespunzător:
S \u003d (1/2) * a * b * sin (C),
S \u003d (1/2) * b * c * sin (A),
S \u003d (1/2) * c * a * păcat (B).
Deoarece laturile stângi ale primelor două egalități sunt aceleași, laturile drepte pot fi echivalate între ele. Obținem (1/2) * a * b * sin (C) \u003d (1/2) * b * c * sin (A). Putem reduce această egalitate cu ½ * b, obținem:
a * păcat (C) \u003d c * păcat (A).
a / sin (A) \u003d c / sin (C).
Deoarece laturile stângi ale celei de-a doua și a treia egalități sunt aceleași, părțile drepte pot fi egalate între ele. Obținem (1/2) * b * c * sin (C) \u003d (1/2) * c * a * păcat (B). Reducem această egalitate cu 1/2 * c, obținem:
b * sin (A) \u003d a * păcat (B).
Prin proprietatea proporției, obținem:
a / păcat (A) \u003d b / păcat (B).
Combinând cele două rezultate obținute: obținem: a / sin (A) \u003d b / sin (B) \u003d c / sin (C). Quod erat demonstrandum
Soluția problemei
Puteți dovedi și următorul fapt. Raportul oricărei laturi a triunghiului și sinusul unghiului opus este egal cu diametrul cercului circumscris în jurul triunghiului.
Cu alte cuvinte, pentru orice triunghi ABC cu latura AB \u003d c, latura BC \u003d a, latura CA \u003d b, se mențin următoarele egalități: a / sin (A) \u003d b / sin (B) \u003d c / sin (C) \u003d 2 * R Aici R este raza unui cerc circumscris unui triunghi.
Ai nevoie de ajutor pentru studiile tale?
Subiect anterior: a sin \u2061 α \u003d b sin \u2061 β \u003d c sin \u2061 γ \u003d 2 R, (\\ displaystyle (\\ frac (a) (\\ sin \\ alpha)) \u003d (\\ frac (b) (\\ sin \\ beta)) \u003d ( \\ frac (c) (\\ sin \\ gamma)) \u003d 2R,)
unde a (\\ displaystyle a), b (\\ displaystyle b), c (\\ displaystyle c) - laturile unui triunghi, α, β, γ (\\ displaystyle \\ alpha, \\ beta, \\ gamma) sunt unghiurile respectiv opuse lor și R (\\ displaystyle R) - raza cercului circumscris în jurul triunghiului.
evidență
Dovadă a teoremei sinusoidale obișnuite
Vom folosi doar definiția înălțimii h b (\\ displaystyle h_ (b)) triunghi coborât în \u200b\u200blateral bși sinus pentru două unghiuri:
h b \u003d a sin \u2061 γ \u003d c sin \u2061 α (\\ displaystyle h_ (b) \u003d a \\ sin \\ gamma \u003d c \\ sin \\ alpha)... Prin urmare, a sin \u2061 α \u003d c sin \u2061 γ (\\ displaystyle (\\ frac (a) (\\ sin \\ alpha)) \u003d (\\ frac (c) (\\ sin \\ gamma))), după cum este necesar să dovedească. Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem versiunea finală comun teoreme sinusoidale.Dovada teoremei sinusoidale extinse
evidență
Este suficient să demonstrezi asta
un păcat \u2061 α \u003d 2 R. (\\ displaystyle (\\ frac (a) (\\ sin \\ alpha)) \u003d 2R.)Să desenăm diametrul | B G | (\\ displaystyle | BG |) pentru cercul circumscris. Prin proprietatea unghiurilor înscrise într-un cerc, unghiul G C B (\\ displaystyle GCB) drept, și unghiul C G B (\\ displaystyle CGB) egală cu oricare α (\\ displaystyle \\ alpha)dacă punctează A (\\ displaystyle A) și G (\\ displaystyle G) întindeți-vă pe o parte a unei linii drepte B C (\\ displaystyle BC)sau π - α (\\ displaystyle \\ pi - \\ alpha) in caz contrar. În măsura în care sin \u2061 (π - α) \u003d sin \u2061 α (\\ displaystyle \\ sin (\\ pi - \\ alpha) \u003d \\ sin \\ alpha), în ambele cazuri obținem
a \u003d 2 R sin \u2061 α (\\ displaystyle a \u003d 2R \\ sin \\ alpha).Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem:
a sin \u2061 α \u003d b sin \u2061 β \u003d c sin \u2061 γ \u003d 2 R. (\\ displaystyle (\\ frac (a) (\\ sin \\ alpha)) \u003d (\\ frac (b) (\\ sin \\ beta)) \u003d (\\ frac (c) (\\ sin \\ gamma)) \u003d 2R.)Variații și generalizări
Într-un triunghi, opus colțului mai mare se află latura mai mare, iar opus laturii mai mari unghiul mai mare.
În simplex V n \u003d n - 1 n V n - 1 i V n - 1 j V n - 2 i, jsin (A i, j) (\\ displaystyle V_ (n) \u003d (\\ frac (n-1) (n)) (\\ frac ((V_ (n-1) ^ (i)) (V_ (n-1) ^ (j))) (V_ (n-2) ^ (i, j))) (sin ((A_ ( i, j)))))
Unde A i, j (\\ displaystyle A_ (i, j)) - unghiul dintre fețe și; V n - 2 i, j (\\ displaystyle V_ (n-2) ^ (i, j)) - marginea comună V n - 1 i (\\ displaystyle V_ (n-1) ^ (i)) și V n - 1 j (\\ displaystyle V_ (n-1) ^ (j)); V n (\\ displaystyle V_ (n)) este volumul simplexului.
Se încarcă ...