Lungimea, așa cum sa menționat deja, este indicată de semnul modulului.
Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula
Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula
Notă:Formulele vor rămâne corecte dacă coordonatele corespunzătoare sunt schimbate: și , dar prima opțiune este mai standard
Exemplul 3
Soluţie: după formula corespunzătoare:
Răspuns:
Pentru claritate, voi face un desen
Secțiune - nu este un vector, și nu o poți muta nicăieri, desigur. În plus, dacă completați desenul la scară: 1 unitate. \u003d 1 cm (două celule tetrade), atunci răspunsul poate fi verificat cu o riglă obișnuită, măsurând direct lungimea segmentului.
Da, soluția este scurtă, dar mai are câteva Puncte importante As dori sa clarific:
În primul rând, în răspuns am stabilit dimensiunea: „unități”. Condiția nu spune CE este, milimetri, centimetri, metri sau kilometri. Prin urmare, formularea generală va fi o soluție competentă din punct de vedere matematic: „unități” - abreviat ca „unități”.
În al doilea rând, să repetăm materialul școlar, care este util nu numai pentru problema luată în considerare:
fi atent la truc tehnic important – scotând multiplicatorul de sub rădăcină. Ca rezultat al calculelor, am obținut rezultatul și un stil matematic bun implică scoaterea multiplicatorului de sub rădăcină (dacă este posibil). Procesul arată mai detaliat astfel: Bineînțeles, lăsarea răspunsului în formă nu va fi o greșeală - dar este cu siguranță un defect și un argument serios pentru ridicarea din partea profesorului.
Iată și alte cazuri comune:
Adesea se obține un număr suficient de mare sub rădăcină, de exemplu. Cum să fii în astfel de cazuri? Pe calculator, verificăm dacă numărul este divizibil cu 4:. Da, a fost complet împărțit, astfel: . Sau poate numărul poate fi împărțit din nou la 4? . În acest fel: . Ultima cifră a numărului este impară, deci împărțirea la 4 pentru a treia oară nu este în mod clar posibilă. Încercarea de a împărți la nouă: . Ca rezultat:
Gata.
Concluzie: dacă sub rădăcină obținem un număr întreg care nu poate fi extras, atunci încercăm să scoatem factorul de sub rădăcină - pe calculator verificăm dacă numărul este divizibil cu: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc.
În cursul rezolvării diverselor probleme se găsesc adesea rădăcini, încercați întotdeauna să extrageți factori de sub rădăcină pentru a evita un scor mai mic și probleme inutile la finalizarea soluțiilor conform observației profesorului.
Să repetăm în același timp pătrarea rădăcinilor și a altor puteri:
Regulile pentru acțiuni cu grade în formă generală se găsesc într-un manual școlar de algebră, dar cred că totul sau aproape totul este deja clar din exemplele date.
Sarcina pentru o soluție independentă cu un segment în spațiu:
Exemplul 4
Puncte date și . Aflați lungimea segmentului.
Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.
A măsura o linie înseamnă a-i găsi lungimea. Lungimea tăiată este distanța dintre capete.
Segmentele sunt măsurate prin compararea acestui segment cu un alt segment luat ca unitate de măsură. Segmentul luat ca unitate de măsură se numește un singur segment.
Dacă un centimetru este luat ca un singur segment, atunci pentru a determina lungimea acestui segment, trebuie să aflați de câte ori este plasat un centimetru în acest segment. În acest caz, este convenabil să măsurați folosind o riglă centimetru.
Să desenăm un segment ABși măsoară-i lungimea. Aplicați scara riglei centimetrice pe segment AB astfel încât punctul său zero (0) coincide cu punctul A:
Dacă se dovedește că ideea B coincide cu o anumită împărțire a scalei - de exemplu, 5, apoi se spune: lungimea segmentului AB egal cu 5 cm și scrieți: AB= 5 cm.
Proprietăți de măsurare a liniilor
Când un punct împarte un segment în două părți (două segmente), lungimea întregului segment este egală cu suma lungimilor acestor două segmente.
Luați în considerare segmentul AB:
Punct Cîl împarte în două segmente: ACși CB. Vedem asta AC= 3 cm, CB= 4 cm și AB= 7 cm. Astfel, AC + CB = AB.
Orice segment are o anumită lungime mai mare decât zero.
segment numiți partea unei drepte formată din toate punctele acestei linii care sunt situate între cele două puncte date - se numesc capete ale segmentului.
Să luăm în considerare primul exemplu. Fie dat un anumit segment în planul de coordonate prin două puncte. În acest caz, putem găsi lungimea ei prin aplicarea teoremei lui Pitagora.
Deci, în sistemul de coordonate, desenați un segment cu coordonatele date ale capetelor sale(x1; y1) și (x2; y2) . pe osie X și Y scăpați perpendiculare de la capetele segmentului. Marcați cu roșu segmentele care sunt proiecții față de segmentul original pe axa de coordonate. După aceea, transferăm segmentele de proiecție paralele cu capetele segmentelor. Obținem un triunghi (dreptunghiular). Ipotenuza acestui triunghi va fi însuși segmentul AB, iar catetele sale sunt proiecțiile transferate.
Să calculăm lungimea acestor proiecții. Deci pe axa Y lungimea proiecției este y2-y1 , și pe axă X lungimea proiecției este x2-x1 . Să aplicăm teorema lui Pitagora: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . În acest caz |AB| este lungimea segmentului.
Dacă utilizați această schemă pentru a calcula lungimea unui segment, atunci nici măcar nu puteți construi un segment. Acum calculăm care este lungimea segmentului cu coordonatele (1;3) și (2;5) . Aplicând teorema lui Pitagora, obținem: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Și asta înseamnă că lungimea segmentului nostru este egală cu 5:1/2 .
Luați în considerare următoarea metodă pentru a afla lungimea unui segment. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem coordonatele a două puncte dintr-un sistem. Luați în considerare această opțiune folosind un sistem de coordonate carteziene bidimensional.
Deci, într-un sistem de coordonate bidimensional, sunt date coordonatele punctelor extreme ale segmentului. Dacă trasăm linii drepte prin aceste puncte, acestea trebuie să fie perpendiculare pe axa de coordonate, atunci obținem triunghi dreptunghic. Segmentul inițial va fi ipotenuza triunghiului rezultat. Catele triunghiului formează segmente, lungimea lor este egală cu proiecția ipotenuzei pe axele de coordonate. Pe baza teoremei lui Pitagora, concluzionăm: pentru a găsi lungimea unui segment dat, trebuie să găsiți lungimile proiecțiilor pe două axe de coordonate.
Găsiți lungimile proiecției (X și Y) segmentul original la axele de coordonate. Le calculăm găsind diferența în coordonatele punctelor de-a lungul unei axe separate: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .
Calculați lungimea segmentului A , pentru aceasta găsim rădăcina pătrată:
A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Dacă segmentul nostru este situat între puncte ale căror coordonate 2;4 și 4;1 , atunci lungimea sa, respectiv, este egală cu √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
În acest articol, vom vorbi despre găsirea coordonatelor mijlocului unui segment din coordonatele capetelor acestuia. În primul rând, vom oferi conceptele necesare, apoi vom obține formule pentru găsirea coordonatelor mijlocului unui segment și, în concluzie, vom lua în considerare soluții la exemple și probleme tipice.
Navigare în pagină.
Conceptul de mijloc al unui segment.
Pentru a introduce conceptul de punct de mijloc al unui segment, avem nevoie de definiții ale unui segment și ale lungimii acestuia.
Conceptul de segment este dat la lecțiile de matematică din clasa a V-a de liceu astfel: dacă luăm două puncte arbitrare necoincidente A și B, lipim o riglă și trasăm o linie de la A la B (sau de la B). la A), atunci obținem segmentul AB(sau segmentul B A). Punctele A și B sunt numite capetele segmentului. Ar trebui să ținem cont de faptul că segmentul AB și segmentul BA sunt același segment.
Dacă segmentul AB este extins infinit în ambele direcții de la capete, atunci obținem linie dreaptă AB(sau VA direct). Segmentul AB este partea dreptei AB cuprinsă între punctele A și B. Astfel, segmentul AB este uniunea punctelor A, B și mulțimea tuturor punctelor dreptei AB situate între punctele A și B. Dacă luăm un punct arbitrar M al dreptei AB situat între punctele A și B, atunci se spune că punctul M minciuni pe segmentul AB.
Lungimea segmentului AB este distanța dintre punctele A și B la o scară dată (segment de unitate de lungime). Lungimea segmentului AB se va nota ca .
Definiție.
Punct C se numește mijlocul segmentului AB dacă se află pe segmentul AB și se află la aceeași distanță de capete.
Adică, dacă punctul C este punctul de mijloc al segmentului AB, atunci se află pe el și.
Mai mult, sarcina noastră va fi să găsim coordonatele mijlocului segmentului AB dacă coordonatele punctelor A și B sunt date pe linia de coordonate sau într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
Coordonata punctului mijlociu al segmentului pe linia de coordonate.
Să ni se dea o dreaptă de coordonate Ox și două puncte necoincidente A și B pe ea, care corespund numerelor reale și . Fie punctul C mijlocul segmentului AB. Să găsim coordonatele punctului C.
Deoarece punctul C este mijlocul segmentului AB, atunci egalitatea este adevărată. În secțiunea despre distanța de la un punct la un punct pe o dreaptă de coordonate, am arătat că distanța dintre puncte este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele lor, deci, . Atunci 
sau 
. Din egalitate 
găsiți coordonatele punctului mijlociu al segmentului AB pe linia de coordonate: 
- este egal cu jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului. Din a doua egalitate obținem , ceea ce este imposibil, deoarece am luat punctele A și B necoincidente.
Asa de, formula de aflare a coordonatei punctului mijlociu al segmentului AB cu capete si are forma .
Coordonatele punctului de mijloc al unui segment de linie.
Să introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Оxyz pe plan. Să ni se dau două puncte și știm că punctul C este mijlocul segmentului AB. Să găsim coordonatele și punctele C.
Prin construcție, drept 
paralele, precum și linii paralele 
, prin urmare, prin Teorema lui Thales din egalitatea segmentelor AC și CB rezultă egalitatea segmentelor și , precum și a segmentelor și . Prin urmare, punctul este punctul de mijloc al segmentului și punctul de mijloc al segmentului. Apoi, în virtutea paragrafului anterior al acestui articol și 
.
Conform acestor formule, este posibil să se calculeze coordonatele mijlocului segmentului AB în cazurile în care punctele A și B se află pe una dintre axele de coordonate sau pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate. Să lăsăm aceste cazuri fără comentarii și să dăm ilustrații grafice.
În acest fel, punctul de mijloc al segmentului AB pe un plan cu capete în puncte și are coordonate 
.
Coordonatele mijlocului segmentului în spațiu.
Să fie introdus un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu tridimensional și două puncte 
și 
. Obținem formule pentru găsirea coordonatelor punctului C, care este punctul de mijloc al segmentului AB.
Să luăm în considerare cazul general.
Fie și proiecțiile punctelor A, B și C pe axele de coordonate Ox, Oy și, respectiv, Oz.
Prin teorema lui Thales, prin urmare, punctele sunt punctele mijlocii ale segmentelor 
respectiv. Apoi (vezi primul paragraf al acestui articol). Deci am primit formule de calculare a coordonatelor mijlocului unui segment din coordonatele capetelor acestuia în spațiu.
Aceste formule pot fi aplicate și în cazurile în care punctele A și B se află pe una dintre axele de coordonate sau pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate și, de asemenea, dacă punctele A și B se află într-unul dintre planurile de coordonate sau într-un plan paralel cu una din axele de coordonate.plane.
Coordonatele mijlocului segmentului prin coordonatele vectorilor de rază ai capetelor acestuia.
Formulele pentru găsirea coordonatelor mijlocului unui segment sunt ușor de obținut prin referire la algebra vectorilor.
Fie dat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy pe plan și punctul C să fie punctul de mijloc al segmentului AB și și .
Conform definiției geometrice a operațiilor pe vectori, egalitatea 
(punctul C este punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram construit pe vectori și , adică punctul C este punctul de mijloc al diagonalei paralelogramului). În articolul coordonatele unui vector într-un sistem de coordonate dreptunghiular, am aflat că coordonatele vectorului rază a unui punct sunt egale cu coordonatele acestui punct, prin urmare, 
. Apoi, după efectuarea operațiilor corespunzătoare asupra vectorilor în coordonate, avem . Cum putem concluziona că punctul C are coordonate .
Absolut similar, coordonatele mijlocului segmentului AB pot fi găsite prin coordonatele capetelor sale în spațiu. În acest caz, dacă C este punctul de mijloc al segmentului AB și , atunci avem 
.
Găsirea coordonatelor mijlocului segmentului, exemple, soluții.
În multe probleme, trebuie să utilizați formule pentru a găsi coordonatele punctului de mijloc al unui segment. Să luăm în considerare soluțiile celor mai caracteristice exemple.
Să începem cu un exemplu care trebuie doar să aplice o formulă.
Exemplu.
Coordonatele a două puncte sunt date pe plan 
. Aflați coordonatele punctului mijlociu al segmentului AB.
Soluţie.
Fie punctul C mijlocul segmentului AB. Coordonatele sale sunt egale cu jumătățile sumelor coordonatelor corespunzătoare ale punctelor A și B: 
Astfel, punctul de mijloc al segmentului AB are coordonate.
Este posibil să se determine lungimea segmentului căi diferite. Pentru a afla cum să găsești lungimea unui segment, este suficient să ai la dispoziție o riglă sau să cunoști formule speciale de calcul.
Lungimea liniei cu riglă
Pentru a face acest lucru, aplicăm o riglă cu diviziuni milimetrice pe segmentul construit pe plan, iar punctul de plecare trebuie aliniat cu zeroul scării riglei. Apoi ar trebui să marcați pe această scară locația punctului final al acestui segment. Numărul rezultat de diviziuni întregi ale scalei va fi lungimea segmentului, exprimată în cm și mm.
Metoda coordonatelor plane
Dacă sunt cunoscute coordonatele segmentului (x1; y1) și (x2; y2), atunci lungimea acestuia trebuie calculată după cum urmează. Din coordonatele de pe planul celui de-al doilea punct, coordonatele primului punct trebuie scăzute. Rezultatul ar trebui să fie două numere. Fiecare dintre aceste numere trebuie să fie pătrat și apoi să găsiți suma acestor pătrate. Din numărul rezultat, trebuie extrasă rădăcina pătrată, care va fi distanța dintre puncte. Deoarece aceste puncte sunt capetele segmentului, această valoare va fi lungimea acestuia.
Luați în considerare un exemplu despre cum să găsiți lungimea unui segment după coordonate. Există coordonatele a două puncte (-1;2) și (4;7). La aflarea diferenței în coordonatele punctelor, obținem următoarele valori: x = 5, y = 5. Numerele rezultate vor fi coordonatele segmentului. Apoi pătratăm fiecare număr și aflăm suma rezultatelor, este 50. Din acest număr extragem rădăcina pătrată. Rezultatul este: 5 rădăcini din 2. Aceasta este lungimea segmentului.
Metoda coordonatelor în spațiu
Pentru a face acest lucru, luați în considerare cum să găsiți lungimea unui vector. El este cel care va fi un segment în spațiul euclidian. Se găsește aproape în același mod ca lungimea unui segment dintr-un plan. Construcția vectorului are loc în planuri diferite. Cum se află lungimea unui vector?
- Găsiți coordonatele vectorului, pentru aceasta, din coordonatele punctului său final, trebuie să scădeți coordonatele punctului său de început.
- După aceea, trebuie să pătrați fiecare coordonată a vectorului.
- Apoi adăugați pătratele coordonatelor.
- Pentru a găsi lungimea unui vector, trebuie să luați rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor.
Să luăm în considerare algoritmul de calcul folosind un exemplu. Este necesar să se găsească coordonatele vectorului AB. Punctele A și B au următoarele coordonate: A (1;6;3) și B (3;-1;7). Începutul vectorului se află în punctul A, sfârșitul este situat în punctul B. Astfel, pentru a-i găsi coordonatele, este necesar să se scadă coordonatele punctului A din coordonatele punctului B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 3) 7;4).
Acum pătratăm fiecare coordonată și le adunăm: 4+49+16=69. În cele din urmă, extrage rădăcina pătrată a numărului dat. Este dificil să-l extragem, așa că scriem rezultatul în acest fel: lungimea vectorului este egală cu rădăcina lui 69.
Dacă nu este important pentru dvs. să calculați singur lungimea segmentelor și a vectorilor, dar aveți nevoie doar de rezultat, atunci puteți utiliza un calculator online, de exemplu, acesta.
Acum, după ce am studiat aceste metode și ținând cont de exemplele prezentate, puteți găsi cu ușurință lungimea segmentului în orice problemă.
Se încarcă...