La lecțiile de geometrie din liceu ni s-a spus cu toții despre a avea un triunghi. Cu toate acestea, ca parte a curriculumului școlar, primim doar cele mai necesare cunoștințe și învățăm cele mai comune și standarde metode de calcul. Există modalități neobișnuite de a găsi această valoare?
Ca introducere, să ne amintim care triunghi este considerat dreptunghiular și să denotăm, de asemenea, conceptul de zonă.
Un triunghi dreptunghiular este o figură geometrică închisă, dintre care unul dintre colțuri este 90 0. Conceptele integrale din definiție sunt picioarele și hipotenuza. Picioarele sunt două laturi care formează un unghi drept în punctul de legătură. Hipotenuza este partea opusă unghiului drept. Un triunghi dreptunghiular poate fi izoscel (cele două laturi ale acestuia vor avea aceeași dimensiune), dar nu va fi niciodată echilateral (toate laturile sunt de aceeași lungime). Nu vom analiza în detaliu definițiile înălțimii, medianei, vectorilor și altor termeni matematici. Sunt ușor de găsit în cărțile de referință.
Aria unui triunghi dreptunghiular. Spre deosebire de dreptunghiuri, regula despre
produsul părților din definiție nu se aplică. Dacă vorbim într-un limbaj uscat de termeni, atunci aria unui triunghi înseamnă proprietatea acestei figuri de a ocupa o parte a planului, exprimată printr-un număr. Destul de greu de înțeles, trebuie să fii de acord. Să nu încercăm să aprofundăm definiția, acesta nu este scopul nostru. Să trecem la principalul lucru - cum să găsim aria unui triunghi dreptunghiular? Nu vom efectua singuri calculele, vom indica doar formulele. Pentru a face acest lucru, să definim denumirile: A, B, C - laturile triunghiului, picioarele - AB, BC. Unghiul ACB este drept. S este aria triunghiului, h n n este înălțimea triunghiului, unde nn este latura în care este coborât.
Metoda 1. Cum se găsește aria unui triunghi unghiular dacă dimensiunea picioarelor sale este cunoscută
Metoda 2. Găsiți aria unui triunghi dreptunghic isoscel
Metoda 3. Calculul zonei printr-un dreptunghi
Finalizăm construirea unui triunghi unghiular drept pătrat (dacă triunghiul
isoscel) sau dreptunghi. Obținem un patrulater simplu format din 2 triunghiuri unghiulare identice. În acest caz, valoarea ariei unuia dintre ele va fi egală cu jumătate din aria figurii rezultate. S al dreptunghiului este calculat de produsul laturilor. Să notăm această valoare cu M. Valoarea căutată a zonei va fi egală cu jumătatea M.
Metoda 4. „Pantaloni pitagorici”. Faimoasa teoremă a lui Pitagora
Ne amintim cu toții formularea ei: „suma pătratelor picioarelor ...”. Dar nu toată lumea poate
să spunem, unde face niște „pantaloni”. Faptul este că inițial Pitagora a studiat relația triunghiului dreptunghiular construit pe laturi. După ce a identificat tiparele în raportul de aspect al pătratelor, el a reușit să obțină formula cunoscută de noi toți. Poate fi folosit atunci când dimensiunea uneia dintre părți este necunoscută.
Metoda 5. Cum se găsește aria unui triunghi unghiular folosind formula lui Heron
De asemenea, un mod destul de simplu de calcul. Formula presupune exprimarea ariei unui triunghi prin valorile numerice ale laturilor sale. Pentru calcule, trebuie să cunoașteți valorile tuturor laturilor triunghiului.
S \u003d (p-AC) * (p-BC), unde p \u003d (AB + BC + AC) * 0,5
În plus față de cele de mai sus, există multe alte modalități de a găsi dimensiunea unei figuri atât de misterioase ca un triunghi. Printre acestea: calculul prin metoda cercului înscris sau circumscris, calculul utilizând coordonatele vârfurilor, folosind vectori, valori absolute, sinusuri, tangente.
În geometria elementară, un triunghi unghiular este o figură formată din trei segmente conectate în puncte, cu două colțuri ascuțite și o linie dreaptă (adică egală cu 90 °). Triunghi dreptunghic caracterizată printr-o serie de proprietăți importante, dintre care multe formează baza trigonometriei (de exemplu, relația dintre laturile și unghiurile sale). De la școală, știm cu toții să calculăm aria unui triunghi dreptunghiularsi in viata de zi cu zi ne întâlnim cu această figură geometrică destul de des, uneori fără să observăm. Este utilizat pe scară largă în tehnologie și, prin urmare, o astfel de problemă, de multe ori trebuie rezolvată de ingineri, designeri și arhitecți.
Arhitectului i se cere să determine această valoare atunci când proiectează clădiri cu frontoane, care sunt finalizarea fațadelor și au formă triunghiulară delimitat de o cornișă și pe laturi - de pantele acoperișului. Adesea unghiul dintre pante este drept și, în astfel de cazuri, frontonul are forma unui triunghi unghiular. Determinarea suprafeței sale este necesară pentru simplul motiv că este necesar să se cunoască exact cantitatea de material de construcție necesară pentru amenajarea sa. Trebuie remarcat faptul că frontoanele sunt elemente obligatorii ale clădirilor joase (case la țară, cabane, cabane de vară).
Găsirea ariei unui triunghi dreptunghiular
Formula pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghiular
| S | ab |
a - picior
b - picior
S - aria unui triunghi dreptunghiular
Formă triunghi dreptunghic au multe dintre detaliile din care este realizat mobilierul modern. După cum știți, pentru a utiliza cât mai eficient zona spațiilor, toate elementele situației ar trebui plasate în ea într-un mod optim. Este posibil să se utilizeze zone precum colțuri cu beneficii folosind mese triunghiulare, ale căror mese sunt în majoritatea cazurilor triunghiuri dreptunghiulare cu picioarele adiacente pereților. Atunci când proiectează și calculează aceste elemente, proiectanții producției de mobilier folosesc o formulă conform căreia găsirea ariei unui triunghi dreptunghiular se efectuează pe baza lungimii laturilor sale. În plus, deseori trebuie să dezvolte modele pentru mese care sunt atașate direct de pereți, care includ elemente de susținere care sunt, de asemenea triunghiuri dreptunghiulare.
Constructorii angajați în lucrări de confruntare, adesea în activitățile lor profesionale, trebuie să utilizeze plăci ceramice în formă de triunghi unghiular cu picioare de aceeași lungime sau diferite. De asemenea, trebuie să determine aria acestor elemente pentru a afla numărul necesar al acestora.
Formă triunghi dreptunghic are, de asemenea, un instrument de măsurare atât de important și necesar ca un pătrat. Cu ajutorul său, se realizează construcția și controlul unghiurilor drepte și este utilizat foarte larg și de mulți: de la școlari obișnuiți la lecții de geometrie până la proiectanții de tehnologie ultra-modernă.
Un triunghi este o formă geometrică plană cu un unghi egal cu 90 °. Mai mult, în geometrie este foarte des necesar să se calculeze aria unei astfel de figuri. Vă vom spune cum să faceți acest lucru mai jos.
Cea mai simplă formulă pentru determinarea ariei unui triunghi dreptunghiular
Date inițiale, unde: a și b sunt laturile triunghiului care iese din unghiul drept.
Adică aria este egală cu jumătate din produsul celor două laturi care ies din unghiul drept. Desigur, există formula lui Heron folosită pentru a calcula aria unui triunghi obișnuit, dar pentru a determina magnitudinea, trebuie să cunoașteți lungimea celor trei laturi. În consecință, va trebui să calculați hipotenuza și acesta este timp suplimentar.
Găsiți aria unui triunghi dreptunghiular folosind formula lui Heron
Aceasta este o formulă bine-cunoscută și originală, dar pentru aceasta va trebui să calculați hipotenuza de-a lungul a două picioare folosind teorema lui Pitagora.
În această formulă: a, b, c sunt laturile triunghiului, iar p este semiperimetrul.
Găsiți aria unui triunghi dreptunghiular după hipotenuză și unghi
Dacă niciunul dintre picioare nu este cunoscut în problema dvs., atunci nu puteți utiliza cea mai simplă metodă. Pentru a determina dimensiunea, trebuie să calculați lungimea picioarelor. Acest lucru se poate face pur și simplu prin ipotenuză și cosinusul unghiului inclus.
b \u003d c × cos (α)
După ce ați învățat lungimea uneia dintre picioare, conform teoremei pitagoreice, puteți calcula a doua latură ieșind dintr-un unghi drept.
b 2 \u003d c 2 -a 2
În această formulă, c și a sunt, respectiv, hipotenuza și piciorul. Acum puteți calcula aria folosind prima formulă. În același mod, puteți calcula una dintre picioare, având a doua și unghiul. În acest caz, una dintre laturile necesare va fi egală cu produsul piciorului și tangenta unghiului. Există alte modalități de a calcula suprafața, dar cunoscând teoremele și regulile de bază, puteți găsi cu ușurință valoarea dorită.
Dacă nu aveți niciuna dintre laturile triunghiului, ci doar mediana și unul dintre unghiuri, atunci puteți calcula lungimea laturilor. Pentru a face acest lucru, utilizați proprietățile medianei pentru a împărți triunghiul dreptunghiular la două. În consecință, poate acționa ca o hipotenuză dacă lasă un unghi acut. Utilizați teorema lui Pitagora și determinați lungimea laturilor unui triunghi care iese dintr-un unghi drept.
După cum puteți vedea, cunoscând formulele de bază și teorema lui Pitagora, puteți calcula aria unui triunghi unghiular, având doar unul dintre unghiuri și lungimea uneia dintre laturi.
Un triunghi unghiular este un triunghi al cărui unul dintre unghiuri este de 90 °. Zona sa poate fi găsită dacă sunt cunoscute două picioare. Desigur, puteți parcurge un drum lung - găsiți hipotenuza și calculați aria după, dar în majoritatea cazurilor va dura doar timp suplimentar. De aceea, formula pentru aria unui triunghi unghiular arată astfel:
Aria unui triunghi unghiular este jumătate din produsul picioarelor.
Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi unghiular.
Având în vedere un triunghi unghiular cu picioare a \u003d 8 cm, b \u003d 6 cm.
Calculăm aria: 
Suprafața este egală cu: 24 cm 2
Tot într-un triunghi unghiular se aplică teorema lui Pitagora. - suma pătratelor a două picioare este egală cu pătratul hipotenuzei.
Formula ariei pentru un triunghi dreptunghiular isoscel se calculează în același mod ca și pentru un triunghi dreptunghiular regulat.
Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi dreptunghiular isoscel:
Dat un triunghi cu picioare a \u003d 4 cm, b \u003d 4 cm. Calculați aria:
Calculăm aria: \u003d 8 cm 2
Formula pentru aria unui triunghi unghiular de către hipotenuză poate fi utilizată dacă este dat un picior în condiție. Din teorema lui Pitagora, găsim lungimea piciorului necunoscut. De exemplu, având în vedere ipotenuza c și picior a, picior b va fi egal cu:
Apoi, calculăm aria folosind formula obișnuită. Un exemplu de calcul al formulei ariei unui triunghi unghiular de către ipotenuză este identic cu cel descris mai sus.
Luați în considerare o problemă interesantă care va contribui la consolidarea cunoștințelor de formule pentru rezolvarea unui triunghi.
O sarcină: aria unui triunghi unghiular este de 180 mp. vezi găsiți piciorul mai mic al triunghiului dacă este cu 31 cm mai mic decât al doilea.
Decizie: denotați picioarele a și b... Acum înlocuim datele în formula zonei: știm, de asemenea, că un picior este mai mic decât celălalt a – b \u003d 31 cm
Din prima condiție obținem asta
Înlocuim această condiție în a doua ecuație: 
De când am găsit părțile laterale, eliminăm semnul minus.
Se pare că piciorul a \u003d 40 cm și b \u003d 9 cm.
Formula de zonă este necesar pentru a determina aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri în planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:
- Pozitivitate - Zona nu poate fi mai mică de zero;
- Normalizare - un pătrat cu latura unuia are o suprafață de 1;
- Congruență - Formele congruente au zonă egală;
- Aditivitate - aria uniunii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor figuri.
| Figura geometrică | Formulă | Desen |
|---|---|---|
|
Rezultatul adăugării distanțelor dintre punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater convex va fi egal cu semiperimetrul său. |
||
|
Sectorul cercului. Aria unui sector al unui cerc este egală cu produsul arcului său și jumătate din rază. |
|
|
|
Segment de cerc. Pentru a obține aria segmentului ASB, este suficient să scădem aria triunghiului AOB din zona sectorului AOB. |
S \u003d 1/2 R (s - AC) |
|
|
Aria unei elipse este egală cu produsul lungimilor semiaxelor majore și minore ale elipsei cu numărul pi. |
|
|
|
Elipsă. O altă modalitate de a calcula aria unei elipse este prin cele două raze ale acesteia. |
|
|
|
Triunghi. Prin bază și înălțime. Formula pentru aria unui cerc în funcție de raza și diametrul acestuia. |
||
|
Pătrat. Prin partea lui. Aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale. |
|
|
|
Pătrat. Prin diagonalele sale. Aria unui pătrat este jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale. |
||
|
Poligon regulat. Pentru a determina aria unui poligon regulat, este necesar să îl împărțiți în triunghiuri egale, care ar avea un vârf comun în centrul cercului înscris. |
S \u003d r p \u003d 1/2 r n a |
Se încarcă ...