Ecuația canonică a unei linii drepte de către un sistem dat de ecuații. Ecuațiile canonice și parametrice ale unei linii drepte. Drept în spațiu

Ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu sunt ecuațiile care definesc o linie dreaptă care trece printr-un punct dat colinear către vectorul de direcție.

Fie un punct și un vector de direcție. Un punct arbitrar se află pe o linie dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică, îndeplinesc condiția:

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

numere m , n și p sunt proiecțiile vectorului de direcție pe axe de coordonate. Deoarece vectorul este zero, toate numerele m , n și p nu poate fi egal cu zero. Dar unul sau două dintre ele se pot dovedi a fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea notare:

ceea ce înseamnă că proiecția vectorului pe axă Oy și oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul, cât și linia dreaptă dată de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axe Oy și oz , adică, avionul yOz .

Exemplul 1. Scrieți ecuațiile pentru o linie dreaptă în spațiu perpendicular pe plan și trecând prin punctul de intersecție al acestui plan cu axa oz .

Decizie. Găsiți punctul de intersecție al acestui plan cu axa oz ... Din moment ce orice punct se află pe axă oz , are apoi coordonate, setând în ecuația dată planul x \u003d y \u003d0, obținem 4 z - 8 \u003d 0 sau z \u003d 2. Prin urmare, punctul de intersecție al acestui plan cu axa oz are coordonate (0; 0; 2). Deoarece linia dreaptă necesară este perpendiculară pe plan, aceasta este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul normal un avion dat.

Acum notăm ecuațiile căutate ale dreptei care trece prin punct A \u003d (0; 0; 2) pe direcția vectorului:

Ecuațiile unei linii drepte care trec prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi specificată prin două puncte situate pe ea și În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi un vector. Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

Ecuațiile de mai sus determină linia dreaptă care trece prin două puncte date.

Exemplul 2. Faceți ecuația unei linii drepte în spațiul care trece prin puncte și.

Decizie. Să scriem ecuațiile căutate ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

De vreme ce linia căutată este perpendiculară pe axă Oy .

Drept ca linie de intersecție a planurilor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită drept linia de intersecție a două planuri non-paralele și, adică, ca un set de puncte care satisface un sistem de două ecuații liniare

Ecuațiile sistemului se mai numesc ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplul 3. Scrieți ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu date de ecuațiile generale

Decizie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii drepte sau, care este aceeași, ecuațiile unei linii drepte care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricărui două puncte ale dreptei. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două planuri de coordonate, de exemplu yOz și xOz .

Punctul de intersecție al unei linii drepte cu un plan yOz are o abscisă x \u003d 0. Prin urmare, setarea în acest sistem de ecuații x \u003d 0, obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z \u003d 6 împreună cu x \u003d 0 definește un punct A (0; 2; 6) linia dorită. Apoi, setarea în sistemul dat de ecuații y \u003d 0, obținem sistemul

Decizia ei x = -2 , z \u003d 0 împreună cu y \u003d 0 definește un punct B (-2; 0; 0) intersecții ale unei linii drepte cu un plan xOz .

Acum notăm ecuațiile dreptei care trece prin puncte A (0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

sau după împărțirea numitorilor cu -2:

UNGER ÎNTRE PLATURI

Luați în considerare două planuri α 1 și α 2, date de ecuații, respectiv:

Sub unghi între două planuri ne referim la unul dintre unghiurile diedre formate de aceste planuri. Evident, unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau ... prin urmare ... pentru că și apoi

Exemplu. Determinați unghiul dintre planuri x+2y-3z+ 4 \u003d 0 și 2 x+3y+z+8=0.

Starea paralelismului a două planuri.

Două planuri α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli, ceea ce înseamnă .

Deci, două planuri sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționale:

Starea perpendicularității avioanelor.

Este clar că două planuri sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculare și, prin urmare, sau.

Prin urmare, .

Exemple.

STRAIGHT IN SPACE.

ECHAȚIA LINIEI VECTORULUI

ECHAȚII PARAMETRICE ALE LINIEI

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată specificând oricare dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această linie.

Un vector paralel cu o linie dreaptă este numit călăuzitor vectorul acestei linii.

Asa ca lasa-l drept l trece prin prisma M 1 (x 1 , y 1 , z 1) întins pe o linie dreaptă paralelă cu vectorul.

Luați în considerare un punct arbitrar M (x, y, z) pe linie dreaptă. Figura arată că .

Vectori și sunt coliniare, deci există un astfel de număr t, ce, unde este factorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe linie dreaptă. Factor t numit parametru. Cu vectori de rază a punctelor M 1 și M respectiv, prin și, obținem. Această ecuație se numește vector ecuația unei linii drepte. Arată că pentru fiecare valoare a parametrului t corespunde vectorului de rază al unui anumit punct Mîntins pe o linie dreaptă.

Să scriem această ecuație în formă de coordonate. Observa asta , iar de aici

Ecuațiile rezultate sunt numite parametrice ecuațiile unei linii drepte.

La modificarea unui parametru t schimbarea coordonatelor x, y și z și punct M se deplasează în linie dreaptă.

ECHAȚII CANONICE ALE DIRECTULUI

Lasa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) este un punct situat pe o linie dreaptă l, și Este vectorul său de direcție. Ia din nou un punct arbitrar pe linia dreaptă M (x, y, z) și ia în considerare un vector.

Este clar că vectorii și sunt coliniare, deci coordonatele corespunzătoare trebuie să fie proporționale, deci

– canonic ecuații de linie dreaptă.

Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute de la cele parametrice prin excluderea parametrului t... Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei linii drepte în formă parametrică.

Denotăm , de aici x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observație 2. Fie că linia dreaptă să fie perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou... Atunci vectorul de direcție este perpendicular Bouprin urmare, m\u003d 0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei sub formă

Cu toate acestea, chiar și în acest caz, suntem de acord să scriem în mod formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă ... Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei linii drepte perpendicular pe axe Bou și Oy sau axa paralelă oz.

Exemple.

ECHAȚII GENERALE ALE UNEI LINII DE INTERESECȚIE A DOUĂ PLANE

Un număr infinit de planuri trec prin fiecare linie dreaptă în spațiu. Oricare dintre ele, care se intersectează, o definește în spațiu. În consecință, ecuațiile oricărui două astfel de planuri, luate în considerare împreună, reprezintă ecuațiile acestei linii drepte.

În general, oricare două plane non-paralele date de ecuațiile generale

definiți linia intersecției lor. Aceste ecuații sunt numite ecuații generale drept.

Exemple.

Construiți o linie dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsești oricare din punctele sale. Cel mai simplu este să selectați punctele de intersecție ale liniei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obținem din ecuațiile dreptei, setând z= 0:

După rezolvarea acestui sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, setarea y\u003d 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, puteți trece la ecuațiile canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al liniei.

Coordonatele punctului M 1 va fi obținut din acest sistem de ecuații prin atribuirea unei valori arbitrare uneia dintre coordonate. Pentru a găsi vectorul de direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali și ... Prin urmare, în spatele vectorului de direcție al liniei drepte l putem lua produsul încrucișat al vectorilor normali:

Exemplu. Dă ecuațiile generale ale dreptei la forma canonică.

Să găsim un punct întins pe o linie dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y\u003d 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc linia dreaptă au coordonate Prin urmare, vectorul de direcție va fi

... Prin urmare, l: .

UNGUL \u200b\u200bÎNTRE DREPTUL

Colţ între liniile drepte din spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două linii drepte trase printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să se dea două linii drepte în spațiu:

Evident, unghiul dintre liniile drepte poate fi luat ca unghiul dintre vectorii lor de direcție și. De vreme ce, prin formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori, obținem

Oxyz să fie fixat în spațiul tridimensional. Să stabilim o linie dreaptă în ea. Să alegem următoarea modalitate de definire a unei linii drepte în spațiu: indicăm punctul prin care trece linia dreaptă a și vectorul de direcție al dreptei a. Vom presupune că punctul se află pe linia dreaptă a și este vectorul direct al dreptei a.

Evident, setul de puncte ale spațiului tridimensional definește o linie dreaptă a dacă și numai dacă vectorii și sunt coliniare.

Vă rugăm să rețineți următoarele date importante:

Iată câteva exemple de ecuații canonice ale unei linii drepte în spațiu:

Întocmirea ecuațiilor canonice ale unei linii drepte în spațiu.

Deci, ecuațiile canonice ale unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular fix Oxyz în spațiul tridimensional al formei corespund unei drepte care trece printr-un punct, iar vectorul de direcție al acestei drepte este vectorul ... Astfel, dacă cunoaștem forma ecuațiilor canonice ale unei linii drepte în spațiu, atunci putem scrie imediat coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte și dacă coordonatele vectorului de direcție ale dreptei și coordonatele unui punct al acestei drepte sunt cunoscute, atunci putem scrie imediat ecuațiile canonice ale acesteia.

Să arătăm soluții la astfel de probleme.

Exemplu.

O linie dreaptă într-un sistem dreptunghiular de coordonare Oxyz în spațiul tridimensional este dat de ecuațiile canonice ale unei linii drepte a formei ... Notează coordonatele tuturor vectorilor de direcție ai acestei linii.

Decizie.

Numerele din numitorii ecuațiilor canonice ale dreptei sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului de direcție al acestei drepte, adică: - unul dintre vectorii de direcție ai liniei originale. Apoi setul tuturor vectorilor de direcție ai liniei poate fi specificat ca , unde este un parametru care acceptă orice valori valide, altele decât zero.

Răspuns:

Exemplu.

Scrieți ecuațiile canonice ale unei linii drepte care într-un sistem dreptunghiular de coordonate Oxyz în spațiu trece printr-un punct , iar vectorul de direcție al dreptei are coordonate.

Decizie.

Din starea pe care o avem. Adică avem toate datele pentru a scrie ecuațiile canonice necesare ale unei linii drepte în spațiu. În cazul nostru

.

Răspuns:

Am considerat cea mai simplă problemă de întocmire a ecuațiilor canonice ale unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat într-un spațiu tridimensional, atunci când sunt cunoscute coordonatele vectorului de direcție a dreptei și coordonatele unui punct de pe linia dreaptă. Cu toate acestea, problemele sunt mult mai frecvente în care trebuie să găsiți mai întâi coordonatele vectorului de direcție a unei linii drepte și abia apoi scrieți ecuațiile canonice ale unei drepte. Ca exemplu, putem cita problema găsirii ecuațiilor unei linii drepte care trece printr-un punct dat în spațiu paralel cu o linie dreaptă dată și problema găsirii ecuațiilor unei linii drepte care trece printr-un punct dat în spațiu perpendicular pe un plan dat.

Cazuri particulare de ecuații canonice ale unei linii în spațiu.

Am observat deja că unul sau două dintre numerele din ecuațiile canonice ale unei linii într-un spațiu al formei poate fi zero. Apoi intrarea este considerat formal (deoarece există numere de zero în numitorii uneia sau a două fracții) și ar trebui să fie înțeles ca: Unde.

Să aruncăm o privire mai atentă la toate aceste cazuri speciale de ecuații canonice ale unei linii drepte în spațiu.

Lasa , sau , sau , atunci ecuațiile canonice ale liniilor drepte au forma

sau

sau

În aceste cazuri, în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxyz în spațiu, liniile drepte se află în planuri, respectiv, care sunt paralele cu planurile de coordonate Oyz, Oxz sau Oxy, respectiv (sau coincid cu aceste planuri de coordonate la, sau). Figura prezintă exemple de astfel de linii.

Cand , sau , sau ecuațiile canonice ale liniilor drepte se scriu ca

sau

sau

respectiv.

În aceste cazuri, liniile drepte sunt paralele cu axele de coordonate Oz, Oy sau Ox, respectiv (sau coincid cu aceste axe la, sau). Într-adevăr, vectorii direcție ai liniilor luate în considerare au coordonate sau, evident, sunt coliniare cu vectori sau, respectiv, unde sunt vectorii direcționat ai liniilor de coordonate. Priviți ilustrațiile pentru aceste cazuri speciale ale ecuațiilor canonice ale unei linii în spațiu.

Rămâne să ia în considerare soluțiile exemplelor pentru consolidarea materialului prezentului alineat.

Exemplu.

Scrieți ecuațiile canonice pentru liniile de coordonate Ox, Oy și Oz.

Decizie.

Vectori de direcție a liniilor de coordonate Ox, Oy și Oz sunt vectorii de coordonate și corespunzător. În plus, liniile de coordonate trec prin originea coordonatelor - printr-un punct. Acum putem scrie ecuațiile canonice ale liniilor de coordonate Ox, Oy și Oz, acestea au forma și corespunzător.

Răspuns:

Ecuațiile canonice ale liniei de coordonate Ox, - ecuațiile canonice ale axei ordonate Oy, - ecuațiile canonice ale axei aplicate.

Exemplu.

Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei, care în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxyz în spațiu trece printr-un punct și este paralel cu axa ordonată Oy.

Decizie.

Deoarece linia dreaptă, ecuațiile canonice de care trebuie să compunem, este paralelă cu axa de coordonate Oy, vectorul său de direcție este un vector. Atunci ecuațiile canonice ale acestei linii în spațiu au forma.

Răspuns:

Ecuațiile canonice ale unei linii drepte care trece prin două puncte date în spațiu.

Să ne stabilim o problemă: scrieți ecuațiile canonice ale unei linii drepte care trece într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxyz în spațiul tridimensional prin două puncte care nu coincid .

Ca vector de direcție al unei linii drepte date, puteți lua un vector (dacă vă place mai mult vectorul, îl puteți lua). Din coordonatele cunoscute ale punctelor M 1 și M 2, puteți calcula coordonatele vectorului:. Acum putem scrie ecuațiile canonice ale unei linii drepte, deoarece cunoaștem coordonatele unui punct pe o linie dreaptă (în cazul nostru, chiar și coordonatele a două puncte M 1 și M 2) și cunoaștem coordonatele vectorului său de direcție. Astfel, o linie dreaptă dată într-un sistem dreptunghiular de coordonate Oxyz în spațiul tridimensional este determinată de ecuațiile canonice ale formei sau ... Acestea sunt cele dorite ecuații canonice ale unei linii drepte care trece prin două puncte date în spațiu.

Exemplu.

Scrieți ecuațiile canonice ale unei linii drepte care trece prin două puncte în spațiul tridimensional și .

Decizie.

Din starea pe care o avem. Substituim aceste date în ecuațiile canonice ale unei linii drepte care trece prin două puncte :

Dacă folosim ecuațiile canonice ale liniei formei , atunci ajungem
.

Răspuns:

Trecerea de la ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu la alte tipuri de ecuații ale unei linii drepte.

Pentru a rezolva unele probleme, ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu se poate dovedi a fi mai puțin convenabil decât ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în spațiul formei ... Și uneori este de preferat să definiți o linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu prin ecuațiile a două planuri care se intersectează ca ... Prin urmare, problema apare a tranziției de la ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu la ecuațiile parametrice ale unei linii drepte sau la ecuațiile a două planuri care se intersectează.

Din ecuațiile dreptei sub forma canonică, este ușor să treci la ecuațiile parametrice ale acestei linii drepte. Acest lucru necesită ca fiecare dintre fracțiile din ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu să fie luate egală cu parametrul și să rezolve ecuațiile rezultate pentru variabilele x, y și z:

În acest caz, parametrul poate lua orice valori reale (deoarece variabilele x, y și z pot lua orice valori reale).

Acum arătăm cum din ecuațiile canonice ale liniei obțineți ecuațiile a două planuri care se intersectează definind aceeași linie dreaptă.

Egalitate dublă este în esență un sistem format din trei ecuații ale formei (am echivalat în perechi fracțiile din ecuațiile canonice ale liniei). De vreme ce înțelegem proporția ca, atunci

Deci avem
.

Deoarece numerele a x, a y și z nu sunt simultan egale cu zero, matricea principală a sistemului rezultat este egală cu două, deoarece

și cel puțin unul dintre factorii determinanți de ordinul doi

nenul.

Prin urmare, o ecuație care nu participă la formarea minorului de bază poate fi eliminată din sistem. Astfel, ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu vor fi echivalente cu un sistem de două ecuații liniare cu trei necunoscute, care sunt ecuațiile planurilor de intersecție, iar linia de intersecție a acestor planuri va fi linia dreaptă determinată de ecuațiile canonice ale dreptei formei .

Pentru claritate, vom oferi o soluție detaliată a exemplului, în practică totul este mai simplu.

Exemplu.

Scrieți ecuațiile a două planuri care se intersectează care definesc o linie dreaptă definită într-un sistem dreptunghiular de coordonare Oxyz în spațiu prin ecuațiile canonice ale unei linii drepte. Scrieți ecuațiile a două planuri care se intersectează de-a lungul acestei drepte.

Decizie.

Să echivalăm în perechi fracțiile care formează ecuațiile canonice ale liniei:

Determinantul matricei principale a sistemului rezultat al ecuațiilor liniare este egal cu zero (dacă este necesar, consultați articolul), iar minorul de ordinul doi diferită de zero, o considerăm minoră de bază. Astfel, rangul matricei principale a sistemului de ecuații este egală cu două, iar a treia ecuație a sistemului nu participă la formarea minorului de bază, adică a treia ecuație poate fi exclusă din sistem. Prin urmare, ... Astfel am obținut ecuațiile necesare a două planuri care se intersectează care definesc linia dreaptă inițială.

Răspuns:

Lista de referinte.

Bugrov S.U., Nikolsky S.M. Matematica superioara. Primul volum: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analitică.

3.1. Ecuațiile canonice ale dreptei.

Fie ca sistemul de coordonate Oxyz să fie dat o linie dreaptă care trece prin punctul respectiv

(a se vedea Fig. 18) Notă cu
un vector paralel cu linia dată. Vector denumit vectorul direct al unei linii drepte. Du-te într-un punct drept
și să luăm în considerare vectorii vectori
sunt colineare, prin urmare, coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale:

(3.3.1 )

Aceste ecuații sunt numite ecuatii canonicedrept.

Exemplu:Scrieți ecuațiile dreptei care trece prin punctul M (1, 2, –1) paralel cu vectorul

Decizie:Vector este vectorul de direcție al dreptei necesare. Aplicând formule (3.1.1), obținem:

Acestea sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Cometariu: Dispariția unuia dintre numitori înseamnă dispariția numărătorului corespunzător, adică y - 2 \u003d 0; y \u003d 2. Această linie dreaptă se află în planul y \u003d 2 paralel cu planul Oxz.

3.2. Ecuații parametrice ale unei linii drepte.

Fie ca linia să fie dată de ecuațiile canonice

Denotăm
apoi
Valoarea t se numește parametru și poate lua orice valori:
.

Să exprimăm x, y și z în termeni de t:

(3.2.1 )

Ecuațiile rezultate sunt numite ecuații parametrice ale unei linii drepte.

Exemplul 1:Scrieți ecuațiile parametrice ale dreptei care trece prin punctul M (1, 2, –1) paralel cu vectorul

Decizie: Ecuațiile canonice ale acestei linii sunt obținute în exemplul secțiunii 3.1:

Pentru a găsi ecuațiile parametrice ale dreptei, aplicăm derivarea formulelor (3.2.1):

Asa de,
- ecuațiile parametrice ale unei linii drepte date.

Răspuns:

Exemplul 2.Scrieți ecuațiile parametrice ale dreptei care trece prin punctul M (–1, 0, 1) paralel cu vectorul
unde A (2, 1, –1), B (–1, 3, 2).

Decizie: Vector
este vectorul de direcție al dreptei necesare.

Găsiți vectorul
.

\u003d (–3; 2; 3). Folosind formule (3.2.1), notăm ecuațiile dreptei:

sunt ecuațiile parametrice căutate ale dreptei.

3.3. Ecuațiile unei linii drepte care trec prin două puncte date.

O singură linie dreaptă trece prin două puncte date în spațiu (vezi Fig. 20). Lasă punctele Vector
poate fi luat ca vector de direcție al acestei linii. Atunci ecuațiile dreptei găsesc după formule (3.1.1):
).

(3.3.1)

Exemplul 1. Scrieți ecuațiile canonice și parametrice ale unei linii drepte care trece prin puncte

Decizie: Aplicăm formula (3.3.1)

A primit ecuațiile canonice ale dreptei. Pentru a obține ecuații parametrice, aplicăm derivarea formulelor (3.2.1). Primim

sunt ecuații parametrice ale unei linii drepte.

Exemplul 2. Scrieți ecuațiile canonice și parametrice ale unei linii drepte care trece prin puncte

Decizie: Prin formule (3.3.1) obținem:

Acestea sunt ecuații canonice.

Să trecem la ecuațiile parametrice:

- ecuații parametrice.

Linia dreaptă rezultată este paralelă cu axa oz (vezi Fig. 21).

Să fie date două planuri în spațiu

Dacă aceste planuri nu coincid și nu sunt paralele, atunci se intersectează în linie dreaptă:

Acest sistem de două ecuații liniare definește o linie dreaptă ca linia de intersecție a două planuri. De la ecuații (3.4.1), se poate trece la ecuații canonice (3.1.1) sau ecuații parametrice (3.2.1). Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți ideea
întins pe o linie dreaptă și vectorul de direcție Coordonatele punctului
obținem din sistem (3.4.1) prin atribuirea unei valori arbitrare uneia dintre coordonate (de exemplu, z \u003d 0). În spatele vectorului de direcție putem lua produsul vectorial al vectorilor, adică

Exemplul 1.Scrieți ecuațiile canonice ale unei linii drepte

Decizie:Fie z \u003d 0. Rezolvăm sistemul

Adăugând aceste ecuații, obținem: 3x + 6 \u003d 0
x \u003d –2. Se înlocuiește valoarea găsită x \u003d –2 în prima ecuație a sistemului și se obține: –2 + y + 1 \u003d 0
y \u003d 1.

Deci, punct
se află pe linia dreaptă dorită.

Pentru a găsi vectorul de direcție al unei linii drepte, notăm vectorii normali ai planurilor: și găsim produsul lor vectorial:

Ecuațiile dreptei se găsesc prin formulele (3.1.1):

Răspuns:
.

Altă cale: Ecuațiile canonice și parametrice ale dreptei (3.4.1) pot fi obținute cu ușurință găsind două puncte diferite pe linia dreaptă din sistemul (3.4.1), apoi aplicând formule (3.3.1) și formulele derivate (3.2.1).

Exemplul 2. Scrieți ecuațiile canonice și parametrice ale unei linii drepte

Decizie: Fie y \u003d 0. Atunci sistemul ia forma:

Adăugând ecuațiile, obținem: 2x + 4 \u003d 0; x \u003d –2. Se înlocuiește x \u003d –2 în a doua ecuație a sistemului și se obține: –2 –z +1 \u003d 0
z \u003d –1. Deci, am găsit ideea

Pentru a găsi al doilea punct, setați x \u003d 0. Vom avea:

adică

A primit ecuațiile canonice ale dreptei.

Să compunem ecuațiile parametrice ale dreptei:

Răspuns:
;
.

3.5. Poziția relativă a două linii drepte în spațiu.

Lasă liniile drepte
date de ecuații:

:
;
:

.

Unghiul dintre aceste linii drepte este înțeles ca unghiul dintre vectorii lor de direcție (vezi Fig. 22). Acest colț găsim după formula din vector algebră:
sau

(3.5.1)

Dacă este drept
perpendicular (
), apoi
Prin urmare,

Aceasta este condiția pentru perpendicularitatea a două linii drepte în spațiu.

Dacă este drept
paralel (
), atunci vectorii lor de direcție sunt coliniare (
), adică

(3.5.3 )

Aceasta este condiția paralelismului a două linii drepte în spațiu.

Exemplul 1.Găsiți unghiul dintre liniile drepte:

și).
și

b).
și

Decizie: și). Notăm vectorul de direcție al dreptei
Găsiți vectorul de direcție
avioane incluse în sistem Apoi găsim produsul încrucișat:

(a se vedea exemplul 1 de la punctul 3.4).

Prin formula (3.5.1) obținem:

Prin urmare,

b). Să scriem vectori de direcție a datelor liniilor: Vectori
colinear, deoarece coordonatele corespunzătoare ale acestora sunt proporționale:

Înseamnă drept
paralel (
), adică

Răspuns:și).
b).

Exemplul 2.Dovedește perpendicularitatea liniilor:

și

Decizie: Notăm vectorul de direcție al primei linii drepte

Găsiți vectorul de direcție a doua linie dreaptă. Pentru a face acest lucru, găsim vectori normali
avioane incluse în sistem: Să calculăm produsul încrucișat:

(Vezi exemplul 1, clauza 3.4).

Aplicăm condiția perpendicularității liniilor (3.5.2):

Condiția este îndeplinită; prin urmare, liniile drepte sunt perpendiculare cu (
).

Unul dintre tipurile de ecuații ale unei linii drepte în spațiu este ecuația canonică. Vom lua în considerare acest concept în toate detaliile, deoarece este necesar să îl cunoaștem pentru rezolvarea multor probleme practice.

În primul paragraf, formulăm ecuațiile de bază ale unei linii situate în spațiul tridimensional și oferim mai multe exemple. În continuare, vom arăta cum să calculăm coordonatele vectorului de direcție pentru ecuațiile canonice date și soluția problemei inverse. În a treia parte, vom descrie cum este compusă ecuația unei linii drepte care trece prin 2 puncte date în spațiul tridimensional, iar în ultimul paragraf vom indica conexiunea ecuațiilor canonice cu altele. Toate raționamentele vor fi ilustrate cu exemple de rezolvare a problemelor.

Am vorbit deja despre ceea ce ecuațiile canonice ale unei linii drepte sunt, în general, în articolul dedicat ecuațiilor unei linii drepte pe un plan. Vom analiza cazul cu spațiu tridimensional prin analogie.

Să zicem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, în care este specificată o linie. După cum ne amintim, puteți seta o linie dreaptă în diferite moduri. Vom folosi cel mai simplu dintre ele - vom stabili punctul prin care va trece linia dreaptă și vom indica vectorul de direcție. Dacă notăm o linie dreaptă prin litera a și punctul M, atunci putem scrie că M 1 (x 1, y 1, z 1) se află pe linia dreaptă a și vectorul de direcție al acestei drepte va fi a → \u003d (a x, a y, a z). Pentru setul de puncte M (x, y, z) pentru a defini linia a, vectorii M 1 M → și a → trebuie să fie coliniari,

Dacă cunoaștem coordonatele vectorilor M 1 M → și a →, atunci putem scrie în forma coordonatelor condiția necesară și suficientă pentru colinearitatea lor. Din condițiile inițiale, cunoaștem deja coordonatele a →. Pentru a obține coordonatele M 1 M →, trebuie să calculăm diferența dintre M (x, y, z) și M 1 (x 1, y 1, z 1). Hai să scriem:

M 1 M → \u003d x - x 1, y - y 1, z - z 1

După aceasta, putem formula condiția necesară după cum urmează: M 1 M → \u003d x - x 1, y - y 1, z - z 1 și a → \u003d (ax, ay, az): M 1 M → \u003d λ ⇔ x - x 1 \u003d λ · axy - y 1 \u003d λ · ayz - z 1 \u003d λ · az

Aici valoarea variabilei λ poate fi orice număr real sau zero. Dacă λ \u003d 0, atunci M (x, y, z) și M 1 (x 1, y 1, z 1) coincid, ceea ce nu contrazice raționamentul nostru.

Pentru valorile a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0, putem rezolva toate ecuațiile sistemului x - x 1 \u003d λ · a x y - y 1 \u003d λ · a y z - z 1 \u003d λ · a z în raport cu parametrul λ

După aceea, va fi posibil să puneți un semn egal între părțile drepte:

x - x 1 \u003d λ axy - y 1 \u003d λ ayz - z 1 \u003d λ az ⇔ λ \u003d x - x 1 ax λ \u003d y - y 1 ay λ \u003d z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az

Drept urmare, am obținut ecuațiile x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z, cu ajutorul cărora putem determina linia dreaptă necesară în spațiul tridimensional. Acestea sunt ecuațiile canonice de care avem nevoie.

O astfel de notație este folosită chiar și cu valori zero de unu sau doi parametri a x, a y, a z, deoarece în aceste cazuri va fi și ea corectă. Toți cei trei parametri nu pot fi egali cu 0, deoarece vectorul de direcție a → \u003d (a x, a y, a z) nu este zero.

Dacă unul sau doi parametri a sunt egali cu 0, atunci ecuația x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z este condiționată. Acesta trebuie considerat egal cu următoarea intrare:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ z \u003d z 1 + a z λ, λ ∈ R.

Vom analiza cazuri speciale de ecuații canonice în paragraful al treilea al articolului.

Mai multe concluzii importante pot fi trase din definiția ecuației canonice a unei linii drepte în spațiu. Să le luăm în considerare.

1) dacă linia inițială trece prin două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), atunci ecuațiile canonice vor lua următoarea formă:

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z sau x - x 2 a x \u003d y - y 2 a y \u003d z - z 2 a z.

2) întrucât a → \u003d (ax, ay, az) este vectorul direct al liniei originale, atunci toți vectorii μ · a → \u003d μ · ax, μ · ay, μ · az, μ ∈ R, μ ≠ 0 vor fi, de asemenea, astfel de vectori . Atunci linia poate fi determinată folosind ecuația x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z sau x - x 1 μ a x \u003d y - y 1 μ a y \u003d z - z 1 μ a z.

Iată câteva exemple de astfel de ecuații cu valorile date:

Exemplul 1 Exemplul 2

Cum se face o ecuație canonică a unei linii drepte în spațiu

Am constatat că ecuațiile canonice ale formei x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az vor corespunde unei drepte care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1, z 1), iar vectorul a → \u003d ( topor, ay, az) va fi un ghid pentru ea. Deci, dacă cunoaștem ecuația liniei, atunci putem calcula coordonatele vectorului său de direcție și având în vedere coordonatele vectorului și un punct situat pe linie, putem scrie ecuațiile canonice ale acesteia.

Să ne uităm la câteva sarcini specifice.

Exemplul 3

Avem o linie dreaptă definită în spațiul tridimensional folosind ecuația x + 1 4 \u003d y 2 \u003d z - 3 - 5. Înregistrați coordonatele tuturor vectorilor de direcție pentru aceasta.

Decizie

Pentru a obține coordonatele vectorului de direcție, trebuie doar să luăm valorile numitorului din ecuație. Obținem că unul dintre vectori de direcție este a → \u003d (4, 2, - 5), iar ansamblul tuturor acestor vectori poate fi formulat ca μ · a → \u003d 4 · μ, 2 · μ, - 5 · μ. Aici parametrul μ este orice număr real (cu excepția zero).

Răspuns: 4 μ, 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0

Exemplul 4

Scrieți ecuațiile canonice dacă o linie dreaptă în spațiu trece prin M 1 (0, - 3, 2) și are un vector de direcție cu coordonate - 1, 0, 5.

Decizie

Avem date care x 1 \u003d 0, y 1 \u003d - 3, z 1 \u003d 2, a x \u003d - 1, a y \u003d 0, a z \u003d 5. Acest lucru este suficient pentru a merge direct la scrierea ecuațiilor canonice.

S-o facem:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az ⇔ x - 0 - 1 \u003d y - (- 3) 0 \u003d z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 \u003d y + 3 0 \u003d z - 2 cinci

Răspuns: x - 1 \u003d y + 3 0 \u003d z - 2 5

Aceste sarcini sunt cele mai ușoare, deoarece au toate sau aproape toate datele de intrare pentru scrierea unei ecuații sau a unei coordonate vectoriale. În practică, puteți găsi deseori cele în care trebuie să găsiți mai întâi coordonatele dorite, apoi să scrieți ecuațiile canonice. Am examinat exemple de astfel de probleme în articole dedicate găsirii ecuațiilor unei linii drepte care trece printr-un punct în spațiu paralel cu una dată, precum și o linie dreaptă care trece printr-un anumit punct din spațiu perpendicular pe plan.

Am spus deja că una sau două valori ale parametrilor a x, a y, a z din ecuații pot avea valori zero. Mai mult, notația x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z \u003d λ preia un caracter formal, deoarece obținem una sau două fracții cu numitori zero. Poate fi rescris după cum urmează (pentru λ ∈ R):

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ z \u003d z 1 + a z λ

Să luăm în considerare aceste cazuri mai detaliat. Să presupunem că a x \u003d 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0, a x ≠ 0, a y \u003d 0, a z ≠ 0 sau a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z \u003d 0. În acest caz, putem scrie ecuațiile necesare după cum urmează:

În primul caz:
x - x 1 0 \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az \u003d λ ⇔ x - x 1 \u003d 0 y \u003d y 1 + ay λ z \u003d z 1 + az λ ⇔ x - x 1 \u003d 0 y - y 1 ay \u003d z - z 1 az \u003d λ

În al doilea caz:
x - x 1 ax \u003d y - y 1 0 \u003d z - z 1 az \u003d λ ⇔ x \u003d x 1 + ax · λ y - y 1 \u003d 0 z \u003d z 1 + az · λ ⇔ y - y 1 \u003d 0 x - x 1 ax \u003d z - z 1 az \u003d λ

În al treilea caz:
x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 0 \u003d λ ⇔ x \u003d x 1 + ax · λ y \u003d y 1 + ay · λ z - z 1 \u003d 0 ⇔ z - z 1 \u003d 0 x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d λ

Se pare că, cu o astfel de valoare a parametrilor, liniile necesare sunt în planurile x - x 1 \u003d 0, y - y 1 \u003d 0 sau z - z 1 \u003d 0, care sunt paralele cu planurile de coordonate (dacă x 1 \u003d 0, y 1 \u003d 0 sau z 1 \u003d 0). Exemple de astfel de linii sunt prezentate în ilustrație.

Prin urmare, putem scrie ecuațiile canonice puțin diferit.

În primul caz: x - x 1 0 \u003d y - y 1 0 \u003d z - z 1 a z \u003d λ ⇔ x - x 1 \u003d 0 y - y 1 \u003d 0 z \u003d z 1 + a z λ, λ ∈ R
În a doua: x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 0 \u003d λ ⇔ x - x 1 \u003d 0 y \u003d y 1 + a y λ, λ ∈ R z - z 1 \u003d 0
În a treia: x - x 1 a x \u003d y - y 1 0 \u003d z - z 1 0 \u003d λ ⇔ x \u003d x 1 + a x · λ, λ ∈ R y \u003d y 1 \u003d 0 z - z 1 \u003d 0

În toate cele trei cazuri, liniile drepte originale vor coincide cu axele de coordonate sau se vor dovedi paralele cu ele: x 1 \u003d 0 y 1 \u003d 0, x 1 \u003d 0 z 1 \u003d 0, y 1 \u003d 0 z 1 \u003d 0. Vectorii lor de direcție au coordonatele 0, 0, a z, 0, a y, 0, a x, 0, 0. Dacă notăm vectori de direcție a liniilor de coordonate ca i →, j →, k →, atunci vectorii de direcție ale liniilor date vor fi coliniare față de ele. Figura arată aceste cazuri:

Să arătăm cu exemple cum se aplică aceste reguli.

Exemplul 5

Găsiți ecuațiile canonice care pot fi utilizate pentru a determina liniile de coordonate O z, O x, O y în spațiu.

Decizie

Vectorii de coordonate i → \u003d (1, 0, 0), j → \u003d 0, 1, 0, k → \u003d (0, 0, 1) vor fi ghiduri pentru liniile drepte originale. Știm, de asemenea, că liniile noastre vor trece neapărat prin punctul O (0, 0, 0), deoarece este originea. Acum avem toate datele pentru a scrie ecuațiile canonice necesare.

Pentru linia O x: x 1 \u003d y 0 \u003d z 0

Pentru linia dreaptă O y: x 0 \u003d y 1 \u003d z 0

Pentru linia O z: x 0 \u003d y 0 \u003d z 1

Răspuns: x 1 \u003d y 0 \u003d z 0, x 0 \u003d y 1 \u003d z 0, x 0 \u003d y 0 \u003d z 1.

Exemplul 6

O linie dreaptă este dată în spațiul care trece prin punctul M 1 (3, - 1, 12). De asemenea, se știe că este paralel cu ordonatul. Scrieți ecuațiile canonice ale acestei linii.

Decizie

Având în vedere condiția de paralelism, putem spune că vectorul j → \u003d 0, 1, 0 va fi ghiduri pentru linia dorită. Prin urmare, ecuațiile căutate vor avea forma:

x - 3 0 \u003d y - (- 1) 1 \u003d z - 12 0 ⇔ x - 3 0 \u003d y + 1 1 \u003d z - 12 0

Răspuns: x - 3 0 \u003d y + 1 1 \u003d z - 12 0

Să presupunem că avem două puncte care nu coincid M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), prin care trece linia. Atunci, cum putem formula o ecuație canonică pentru ea?

Pentru început, luăm vectorul M 1 M 2 → (sau M 2 M 1 →) ca vector directiv al acestei linii. Deoarece avem coordonatele punctelor necesare, calculăm imediat coordonatele vectorului:

M 1 M 2 → \u003d x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1

x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1

Egalitățile rezultate sunt ecuațiile canonice ale liniei care trece prin două puncte date. Uitați-vă la ilustrație:

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 7

în spațiu există două puncte cu coordonatele M 1 (- 2, 4, 1) și M 2 (- 3, 2, - 5) prin care trece linia. Scrieți ecuațiile canonice pentru ea.

Decizie

Conform condițiilor, x 1 \u003d - 2, y 1 \u003d - 4, z 1 \u003d 1, x 2 \u003d - 3, y 2 \u003d 2, z 2 \u003d - 5. Trebuie să înlocuim aceste valori în ecuația canonică:

x - (- 2) - 3 - (- 2) \u003d y - (- 4) 2 - (- 4) \u003d z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 \u003d y + 4 6 \u003d z - 1 - 6

Dacă luăm ecuații ale formei x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, atunci obținem: x - (- 3) - 3 - ( - 2) \u003d y - 2 2 - (- 4) \u003d z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 \u003d y - 2 6 \u003d z + 5 - 6

Răspuns: x + 3 - 1 \u003d y - 2 6 \u003d z + 5 - 6 sau x + 3 - 1 \u003d y - 2 6 \u003d z + 5 - 6.

Transformarea ecuațiilor canonice ale unei linii drepte în spațiu în alte tipuri de ecuații

Uneori nu este foarte convenabil să utilizăm ecuații canonice ale formei x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z. Pentru a rezolva unele probleme, este mai bine să folosiți notația x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ z \u003d z 1 + a z · λ. În unele cazuri, este mai preferabil să se determine linia dorită folosind ecuațiile a două planuri de intersecție A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0. Prin urmare, în această secțiune vom analiza cum puteți trece de la ecuații canonice la alte forme, dacă avem nevoie de acesta în funcție de condițiile problemei.

Nu este dificil să înțelegem regulile de tranziție la ecuațiile parametrice. În primul rând, echivalăm fiecare parte a ecuației cu parametrul λ și rezolvăm aceste ecuații în raport cu alte variabile. Drept urmare, obținem:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az ⇔ ⇔ x - x 1 ax \u003d λ y - y 1 ay \u003d λ z - z 1 az \u003d λ ⇔ x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + ay λ z \u003d z 1 + az λ

Valoarea parametrului λ poate fi orice număr real, deoarece x, y, z pot lua orice valoare reală.

Exemplul 8

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional, este dată o linie dreaptă, care este definită de ecuația x - 2 3 \u003d y - 2 \u003d z + 7 0. Scrieți ecuația canonică în formă parametrică.

Decizie

În primul rând, echivalăm fiecare parte a fracției cu λ.

x - 2 3 \u003d y - 2 \u003d z + 7 0 ⇔ x - 2 3 \u003d λ y - 2 \u003d λ z + \u200b\u200b7 0 \u003d λ

Acum rezolvăm prima parte cu privire la x, a doua cu privire la y, iar a treia cu privire la z. Vom reusi:

x - 2 3 \u003d λ y - 2 \u003d λ z + \u200b\u200b7 0 \u003d λ ⇔ x \u003d 2 + 3 λ y \u003d - 2 λ z \u003d - 7 + 0 λ ⇔ x \u003d 2 + 3 λ y \u003d - 2 λ z \u003d - 7

Răspuns: x \u003d 2 + 3 λ y \u003d - 2 λ z \u003d - 7

Următorul nostru pas va fi transformarea ecuațiilor canonice în ecuația a două planuri care se intersectează (pentru aceeași linie dreaptă).

Egalitatea x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z trebuie mai întâi reprezentată sub forma unui sistem de ecuații:

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y x - x 1 a x \u003d z - z 1 a x y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z

Deoarece p q \u003d r s înțelegem ca p · s \u003d q · r, putem scrie:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ayx - x 1 ax \u003d z - z 1 azy - y 1 ay \u003d z - z 1 az ⇔ ay · (x - x 1) \u003d ax · (y - y 1) az (X - x 1) \u003d ax · (z - z 1) az · (y - y 1) \u003d ay · (z - z 1) ⇔ ⇔ ay · x - ax · y + ax · y 1 - ay x 1 \u003d 0 az · x - ax · z + ax · z 1 - az · x 1 \u003d 0 az · y - ay · z + ay · z 1 - az · y 1 \u003d 0

Drept urmare, s-a dovedit că:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 \u003d 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 \u003d 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 \u003d 0

Am menționat mai sus că toți cei trei parametri a nu pot fi simultan zero. Prin urmare, rangul matricei principale a sistemului va fi egal cu 2, deoarece a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y \u003d 0 și unul dintre determinanții de ordinul doi nu este egal cu 0:

ay - axaz 0 \u003d ax az, ay 0 az - ax \u003d ax ay, - ax 0 0 - ax \u003d ax 2 ay - ax 0 az \u003d ay az, ay 0 0 - ay \u003d - ay 2, - ax 0 az - ay \u003d ax ayaz 0 0 az \u003d az 2, az - ax 0 - ay \u003d - ay az, 0 - axaz - ay \u003d ax az

Acest lucru ne permite să eliminăm o ecuație din calculele noastre. Astfel, ecuațiile canonice ale dreptei pot fi transformate într-un sistem de două ecuații liniare, care va conține 3 necunoscute. Ele vor fi ecuațiile de care avem nevoie pentru două planuri care se intersectează.

Raționamentul pare destul de complicat, dar în practică totul se face destul de repede. Să demonstrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplul 9

Linia este dată de ecuația canonică x - 1 2 \u003d y 0 \u003d z + 2 0. Scrieți pentru ea ecuația planurilor care se intersectează.

Decizie

Să începem cu fracții echivalente în perechi.

x - 1 2 \u003d y 0 \u003d z + 2 0 ⇔ x - 1 2 \u003d y 0 x - 1 2 \u003d z + 2 0 y 0 \u003d z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 1) \u003d 2 y 0 (x - 1) \u003d 2 (z + 2) 0 y \u003d 0 (z + 2) ⇔ y \u003d 0 z + 2 \u003d 0 0 \u003d 0

Acum excludem ultima ecuație din calcule, deoarece va fi adevărată pentru orice x, y și z. În acest caz, x - 1 2 \u003d y 0 \u003d z + 2 0 ⇔ y \u003d 0 z + 2 \u003d 0.

Acestea sunt ecuațiile a două planuri care se intersectează, care, atunci când se intersectează, formează o linie dreaptă definită de ecuația x - 1 2 \u003d y 0 \u003d z + 2 0

Răspuns: y \u003d 0 z + 2 \u003d 0

Exemplul 10

Linia este dată de ecuațiile x + 1 2 \u003d y - 2 1 \u003d z - 5 - 3, găsiți ecuația a două planuri care se intersectează de-a lungul acestei linii.

Decizie

Egalizați fracțiile în perechi.

x + 1 2 \u003d y - 2 1 \u003d z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 2 1 x + 1 2 \u003d z - 5 - 3 y - 2 1 \u003d z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 x + 1) \u003d 2 (y - 2) - 3 (x + 1) \u003d 2 (z - 5) - 3 (y - 2) \u003d 1 (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 \u003d 0 3 x + 2 z - 7 \u003d 0 3 y + 7 - 11 \u003d 0

Obținem că determinantul matricei principale a sistemului rezultat va fi 0:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 \u003d 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 1 \u003d 0

În acest caz, minorul de ordinul doi nu va fi zero: 1 - 2 3 0 \u003d 1 · 0 - (- 2) · 3 \u003d 6. Atunci îl putem lua ca minor de bază.

Drept urmare, putem calcula rangul matricei principale a sistemului x - 2 y + 5 \u003d 0 3 x + 2 z - 7 \u003d 0 3 y + z - 11 \u003d 0. Aceasta va fi 2. A treia ecuație este exclusă din calcul și obținem:

x - 2 y + 5 \u003d 0 3 x + 2 z - 7 \u003d 0 3 y + z - 11 \u003d 0 ⇔ x - 2 y + 5 \u003d 0 3 x + 2 z - 7 \u003d 0

Răspuns: x - 2 y + 5 \u003d 0 3 x + 2 z - 7 \u003d 0

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter