UNIVERSITATEA DE STAT SAINT PETERSBURG

Facultatea de Matematică Aplicată - Procese de control

A. P. IVANOV

PRACTICA PE METODE NUMERICE

SOLUȚIA SISTEMELOR DE ECHAȚII ALGEBRAICE LINEARE

Instrucțiuni metodice

St.Petersburg

CAPITOLUL 1. INFORMAȚII SUPLIMENTARE

Manualul metodologic oferă o clasificare a metodelor de soluționare a SLAE și algoritmi pentru aplicarea lor. Metodele sunt prezentate într-o formă care permite utilizarea lor fără referire la alte surse. Se presupune că matricea sistemului este nesingulară, adică. det A 6 \u003d 0.

§ 1. Norme de vectori și matrice

Reamintim că un spațiu liniar Ω al elementelor x este numit normalizat dacă este introdusă o funcție k kΩ în ea, care este definită pentru toate elementele spațiului Ω și îndeplinește condițiile:

1.kxk Ω ≥ 0, și kxkΩ \u003d 0 x \u003d 0Ω;

2. kλxk Ω \u003d | λ | KxkΩ;

3.kx + yk Ω ≤ kxkΩ + kykΩ.

Vom fi de acord în viitor să notăm vectori cu litere mici latine și îi vom considera drept coloranți vectori, notăm matrice cu litere latine majuscule și denotăm valori scalare cu litere grecești (păstrând denumirile pentru numere întregi pentru literele i, j, k, l, m, n) ...

Cele mai utilizate norme vectoriale includ următoarele:


	\| xi \|;
1.kxk1 \u003d	\| xi \|;

2.kxk2 \u003d u x2; T

3.kxk∞ \u003d maxi | xi |.

Rețineți că toate normele din spațiul Rn sunt echivalente, adică orice două norme kxki și kxkj sunt legate de relațiile:

αij kxkj ≤ kxki ≤ βij kxkj,

k k ≤ k k ≤ ˜ k k

α ~ ij x i x j β ij x i,

cu αij, βij, α ~ij, βij independent de x. Mai mult, într-un spațiu cu dimensiuni finite, orice două norme sunt echivalente.

Spațiul matricei cu operațiile de adăugare și înmulțire introduse în mod natural cu un număr formează un spațiu liniar în care conceptul de normă poate fi introdus în mai multe moduri. Cu toate acestea, așa-numitele norme subordonate sunt cel mai adesea luate în considerare, adică norme legate de normele vectorilor prin relațiile:

Marcând normele subordonate ale matricei cu aceiași indici ca și normele corespunzătoare ale vectorilor, putem stabili că

k k1

| aij |; kAk2

k∞

(LA UN);

Aici λi (AT A) indică valoarea propie a matricei AT A, unde AT este matricea transpusă la A. În plus față de cele trei proprietăți principale ale normei, mai notăm încă două:

kABk ≤ kAk kBk,

kAxk ≤ kAk kxk,

în plus, în ultima inegalitate, norma matricială este subordonată normei vectoriale corespunzătoare. Suntem de acord să utilizăm în viitor doar normele matrice care sunt supuse normelor vectorilor. Rețineți că pentru astfel de norme se menține următoarea egalitate: dacă E este matricea de identitate, atunci kEk \u003d 1,.

§ 2. Matricele de dominanță diagonală

Definiție 2.1. O matrice A cu elemente (aij) n i, j \u003d 1 se numește matrice cu dominanță diagonală (a valorilor)) dacă inegalitățile

| aii | - | aij | ≥ δ\u003e 0, i \u003d 1, n.

§3. Matrice definite pozitive

Definiție 3.1. O matrice simetrică A se va numi a

negativ definit dacă forma patratică xT Ax cu această matrice ia numai valori pozitive pentru orice vector x 6 \u003d 0.

Criteriul pentru definirea pozitivă a unei matrice poate fi pozitivitatea valorilor proprii ale acesteia sau pozitivitatea minorilor principali.

§4. Numărul stării SLAE

La rezolvarea oricărei probleme, după cum se știe, există trei tipuri de erori: eroare fatală, eroare metodică și eroare rotundă. Să luăm în considerare influența erorii imobilizabile a datelor inițiale asupra soluției SLAE, neglijând eroarea de rotunjire și ținând cont de absența unei erori metodologice.

matricea A este cunoscută exact, iar partea dreaptă b conține eroarea fatală δb.

Apoi pentru eroarea relativă a soluției kδxk / kxk

	este ușor să obțineți o estimare:

unde ν (A) \u003d kAkkA - 1 k.

Numărul ν (A) se numește numărul condiției sistemului (4.1) (sau matricea A). Se pare că întotdeauna ν (A) ≥ 1 pentru orice matrice A. Deoarece valoarea numărului condiției depinde de alegerea normei matricei, atunci când alegem o normă specifică, vom indexa ν (A), respectiv: ν1 (A), ν2 (A) sau ν ∞ (A).

În cazul ν (A) 1, sistemul (4.1) sau matricea A se numește condiționat prost. În acest caz, după cum rezultă din estimare

(4.2), eroarea în soluția sistemului (4.1) se poate dovedi a fi inacceptabil de mare. Conceptul de acceptabilitate sau inacceptabilitate a unei erori este determinat de enunțul problemei.

Pentru o matrice cu dominanță diagonală, este ușor să obțineți o legătură superioară pentru numărul condiției sale. Are loc

Teorema 4.1. Fie A o matrice cu dominanta diagonala a lui δ\u003e 0. Atunci este nonsingular si ν∞ (A) ≤ kAk∞ / δ.

§cinci. Un exemplu de sistem prost condiționat.

Luați în considerare SLAE (4.1), în care

−1

− 1 . . .

−1

.. .

−1

Acest sistem are o soluție unică x \u003d (0, 0, ..., 0, 1) T. Lăsați partea din dreapta a sistemului să conțină eroarea δb \u003d (0, 0, ..., 0, ε), ε\u003e 0. Apoi

δxn \u003d ε, δxn - 1 \u003d ε, δxn - 2 \u003d 2 ε, δxn - k \u003d 2 k - 1 ε,. ... ... , δx1 \u003d 2 n - 2 ε.

k∞ \u003d

2 n - 2 ε,

k∞

k k∞

Prin urmare,

ν∞ (A) ≥ kδxk ∞: kδbk ∞ \u003d 2n - 2. kxk ∞ kbk ∞

Deoarece kAk∞ \u003d n, atunci kA - 1 k∞ ≥ n - 1 2 n - 2, deși det (A - 1) \u003d (det A) −1 \u003d 1. Fie, de exemplu, n \u003d 102. Atunci ν (A ) ≥ 2100\u003e 1030. Mai mult, chiar dacă ε \u003d 10−15, obținem kδxk∞\u003e 1015. Și așa nu

Definiție.

Un sistem se numește un sistem cu dominanță diagonală la rând, dacă elementele matricei satisface inegalitățile:

Inegalitățile înseamnă că în fiecare rând al matricei elementul diagonal este evidențiat: modulul său este mai mare decât suma modulelor tuturor celorlalte elemente ale aceluiași rând.

teoremă

Un sistem cu dominantă în diagonală este întotdeauna rezolvabil și, în plus, unic.

Luați în considerare sistemul omogen corespunzător:

Să presupunem că are o soluție neprivată Fie componenta acestei soluții cu cel mai mare modul să corespundă indexului
, adică

,
,
.

Hai să scriem -ecuația ecuației sistemului sub formă

și să ia modulul ambelor părți ale acestei egalități. Drept urmare, obținem:

Reducerea inegalității cu un factor
, care, potrivit, nu este egal cu zero, ajungem la o contradicție cu inegalitatea care exprimă dominația diagonală. Contradicția rezultată ne permite să afirmăm în mod constant trei afirmații:

Ultima dintre ele înseamnă că dovada teoremei este completă.

Sisteme cu matrice tridiagonală. Metoda de măturare.

Când rezolvați multe probleme, trebuie să vă ocupați de sisteme de ecuații liniare ale formei:

,
,

unde coeficienții
, partea dreapta
cunoscut împreună cu numerele și ... Relațiile suplimentare sunt adesea denumite condiții de delimitare pentru sistem. În multe cazuri, acestea pot fi mai complexe. De exemplu:

;
,

unde
- numere date. Cu toate acestea, pentru a nu complica prezentarea, ne vom limita la cea mai simplă formă de condiții suplimentare.

Profitând de faptul că valorile și sunt date, vom rescrie sistemul ca:

Matricea acestui sistem are o structură în trei diagonale:

Acest lucru simplifică foarte mult soluția sistemului datorită unei metode speciale numită metoda sweep.

Metoda se bazează pe presupunerea că necunoscutele necunoscute și
legate de relația de recurență

,
.

Aici cantitățile
,
, numiți coeficienții de măturare, trebuie să se determine pe baza condițiilor problemei. De fapt, o astfel de procedură înseamnă înlocuirea definiției directe a necunoscutelor sarcina de a determina coeficienții de rulare cu calculul ulterior al valorilor .

Pentru a implementa programul descris, ne exprimăm folosind relația
prin
:

și înlocuitor
și exprimat prin
, în ecuațiile originale. Drept urmare, obținem:

Relațiile din urmă vor fi îndeplinite cu siguranță și, în plus, indiferent de soluție, dacă avem nevoie de așa ceva
au fost egalități:

De aici urmează relațiile de recurență pentru coeficienții de măturare:

,
,
.

Stare de la limita stângă
iar raportul
sunt consecvente dacă punem

Valorile rămase ale coeficienților de măturare
și
găsim din, care finalizează etapa de calcul a coeficienților de rulare.

De aici puteți găsi restul de necunoscute
în procesul de alergare folosind o formulă recursivă.

Numărul de operații necesare pentru rezolvarea unui sistem general folosind metoda Gaussiană crește odată cu creșterea proporțional ... Metoda de măturare este redusă la două cicluri: mai întâi, coeficienții de măturare sunt calculați folosind formulele, apoi cu ajutorul lor, componentele soluției sistemului se găsesc folosind formule recurente ... Aceasta înseamnă că, odată cu creșterea dimensiunii sistemului, numărul de operații aritmetice va crește proporțional , dar nu ... Astfel, metoda de măturare în sfera de aplicare a posibilității sale de aplicare este mult mai economică. La aceasta se adaugă simplitatea particulară a implementării sale software pe un computer.

În multe probleme aplicate care duc la un SLAE cu o matrice tridiagonală, coeficienții săi satisfac inegalitățile:

care exprimă proprietatea dominanței diagonale. În special, vom găsi astfel de sisteme în capitolele al treilea și al cincilea.

Conform teoremei secțiunii anterioare, soluția unor astfel de sisteme există întotdeauna și este unică. De asemenea, aceștia au o afirmație importantă pentru calcularea efectivă a soluției folosind metoda sweep.

lemă

Dacă pentru un sistem cu o matrice tridiagonală, condiția de dominanță diagonală este satisfăcută, atunci coeficienții de măturare satisfac inegalitățile:

Realizăm dovada prin inducție. Conform
, eu mănânc
lama este adevărată. Să presupunem acum că este adevărat pentru și ia în considerare
:

Deci, inducerea de la la
justificat, care completează dovada lemmei.

Inegalitate pentru coeficienții de rulare face alergarea stabilă. Într-adevăr, să presupunem că componenta soluției ca urmare a procedurii de rotunjire, se calculează cu o eroare. Apoi, când se calculează următoarea componentă
conform formulei recursive, această eroare, din cauza inegalității, nu va crește.

Definiție.

Un sistem se numește un sistem cu dominanță diagonală la rând, dacă elementele matricei satisface inegalitățile:

Inegalitățile înseamnă că în fiecare rând al matricei elementul diagonal este evidențiat: modulul său este mai mare decât suma modulelor tuturor celorlalte elemente ale aceluiași rând.

teoremă

Un sistem cu dominantă în diagonală este întotdeauna rezolvabil și, în plus, unic.

Luați în considerare sistemul omogen corespunzător:

Să presupunem că are o soluție neprivată Fie componenta acestei soluții cu cel mai mare modul să corespundă indexului
, adică

,
,
.

Hai să scriem -ecuația ecuației sistemului sub formă

și să ia modulul ambelor părți ale acestei egalități. Drept urmare, obținem:

Ultima dintre ele înseamnă că dovada teoremei este completă.

Sisteme cu matrice tridiagonală. Metoda de măturare.

Când rezolvați multe probleme, trebuie să vă ocupați de sisteme de ecuații liniare ale formei:

,
,

;
,

unde
- numere date. Cu toate acestea, pentru a nu complica prezentarea, ne vom limita la cea mai simplă formă de condiții suplimentare.

Profitând de faptul că valorile și sunt date, vom rescrie sistemul ca:

Matricea acestui sistem are o structură în trei diagonale:

Acest lucru simplifică foarte mult soluția sistemului datorită unei metode speciale numită metoda sweep.

Metoda se bazează pe presupunerea că necunoscutele necunoscute și
legate de relația de recurență

,
.

Pentru a implementa programul descris, ne exprimăm folosind relația
prin
:

și înlocuitor
și exprimat prin
, în ecuațiile originale. Drept urmare, obținem:

Relațiile din urmă vor fi îndeplinite cu siguranță și, în plus, indiferent de soluție, dacă avem nevoie de așa ceva
au fost egalități:

De aici urmează relațiile de recurență pentru coeficienții de măturare:

,
,
.

Stare de la limita stângă
iar raportul
sunt consecvente dacă punem

Valorile rămase ale coeficienților de măturare
și
găsim din, care finalizează etapa de calcul a coeficienților de rulare.

De aici puteți găsi restul de necunoscute
în procesul de alergare folosind o formulă recursivă.

În multe probleme aplicate care duc la un SLAE cu o matrice tridiagonală, coeficienții săi satisfac inegalitățile:

care exprimă proprietatea dominanței diagonale. În special, vom găsi astfel de sisteme în capitolele al treilea și al cincilea.

lemă

Dacă pentru un sistem cu o matrice tridiagonală, condiția de dominanță diagonală este satisfăcută, atunci coeficienții de măturare satisfac inegalitățile:

Realizăm dovada prin inducție. Conform
, eu mănânc
lama este adevărată. Să presupunem acum că este adevărat pentru și ia în considerare
:

Deci, inducerea de la la
justificat, care completează dovada lemmei.

NONDEGENERITATEA MATERIILOR ȘI PROPRIETATEA DOMINĂRII DIAGONALE1

Cvetkovic Liliana - profesor, catedra de matematică și informatică, Facultatea de Științe, Universitatea Novi Sad, Serbia, Obradovic 4, Novi Sad, Serbia, 21000, e-mail: [email protected]

Kostić Vladimir - profesor asistent, doctor, catedra de matematică și informatică, Facultatea de Științe, Universitatea Novi Sad, Serbia, Obradovic 4, 21000, Novi Sad, Serbia, e-mail: [email protected]

Krukier Lev Abramovich - Doctor în științe fizice și matematice, profesor, șef al departamentului de înaltă performanță de calcul și tehnologii informaționale și de comunicare, director al Centrului Regional Sud-Rus pentru Informatizarea Universității Federale de Sud, Stachki Ave, 200/1, bldg. 2, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected] ru.

Cvetkovic Ljiljana - profesor, catedra de matematică și informatică, Facultatea de Științe, Universitatea Novi Sad, Serbia, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbia, 21000, e-mail: [email protected]

Kostic Vladimir - profesor asistent, catedra de matematică și informatică, Facultatea de Științe, Universitatea Novi Sad, Serbia, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbia, 21000, e-mail: [email protected]

Krukier Lev Abramovich - doctor în științe fizice și matematice, profesor, șef al departamentului de înaltă performanță în calcul și tehnologii informaționale și de comunicare, director al Centrului de Calculatoare al Universității Federale de Sud, Stachki Ave, 200/1, bild. 2, Rostov-on-Don, Rusia, 344090, e-mail: [email protected] ru.

Dominanța diagonală într-o matrice este o condiție simplă pentru nedegenerarea ei. Proprietățile matriciale care generalizează conceptul de dominanță diagonală sunt întotdeauna la mare căutare. Ele sunt privite ca condiții precum dominanța diagonală și ajută la definirea subclaselor de matrice (cum ar fi matricele H), care în aceste condiții rămân nedegenerate. În această lucrare, sunt construite noi clase de matrice nedegenerate care păstrează avantajele dominanței diagonale, dar rămân în afara clasei de matrice H. Aceste proprietăți sunt deosebit de convenabile, deoarece multe aplicații duc la matrici din această clasă, iar teoria nedegradării matricilor care nu sunt matrici H poate fi extinsă acum.

Cuvinte cheie: dominantă diagonală, non-degenerare, scalare.

În timp ce condițiile simple care asigură nonsingularitatea matricilor sunt întotdeauna foarte bine primite, multe dintre acestea care pot fi considerate ca un tip de dominanță diagonală tind să producă subclase ale unei matrici H bine cunoscute. În această lucrare construim o nouă clasă de matrice nesingulare care păstrează utilitatea dominanței diagonale, dar se află într-o relație generală cu clasa matricelor H. Această proprietate este deosebit de favorabilă, deoarece multe aplicații care apar din teoria matricei H pot fi extinse acum.

Cuvinte cheie: dominantă diagonală, nonsingularitate, tehnică de scalare.

Soluția numerică a problemelor valorilor de graniță ale fizicii matematice reduce, de regulă, problema inițială la rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Atunci când alegem un algoritm de soluție, trebuie să știm dacă matricea originală este nedegenerată? În plus, problema nedegenerarii unei matrice este relevantă, de exemplu, în teoria convergenței metodelor iterative, localizarea valorilor proprii, când se estimează determinanții, rădăcinile șorțului, raza spectrală, valorile singulare ale unei matrice etc.

Rețineți că una dintre cele mai simple, dar extrem de utile condiții pentru a se asigura că o matrice este nedegenerată, este binecunoscuta proprietate de dominare diagonală strictă (și referințe din ea).

Teorema 1. Fie dat o matrice A \u003d e Cnxn astfel încât

s\u003e z (a): \u003d S k l, (1)

pentru tot i ∈ N: \u003d (1,2, ... n).

Apoi, matricea A nu este generativă.

Matricele cu proprietate (1) se numesc matrici cu dominanță diagonală strictă

(Matrice 8BB). Generalizarea lor naturală este clasa matricilor de dominanță diagonală generalizată (GDB), definite după cum urmează:

Definiție 1. O matrice A \u003d [a ^] e Cnxn se numește matrice SBS dacă există o matrice diagonală nedegenerată W astfel încât AW este o matrice SBS.

Să introducem mai multe definiții pentru matrice

A \u003d [ay] e Cnxn.

Definiția 2. Matricea (A) \u003d [lovitura], definită

(A) \u003d e Cn

se numește matricea de comparație a matricei A.

Definiția 3. Matricea A \u003d e C

\\ üj\u003e 0, i \u003d j

este o matrice M dacă

aj< 0, i * j,

invers mat-

matricea A "\u003e 0, adică toate elementele ei sunt pozitive.

Evident, matricile din clasa VBB sunt, de asemenea, matrici nedegenerate și pot fi

1 Această lucrare a fost parțial susținută de Ministerul Educației și Științei din Serbia, grant 174019, iar Ministerul Științei și Dezvoltării Tehnologice din Voivodina, acordă 2675 și 01850.

găsit în literatura de specialitate sub denumirea de matricele H nedegenerate. Acestea pot fi determinate folosind următoarea condiție necesară și suficientă:

Teorema 2. Matricea A \u003d [ay] e și este H-

matricea dacă și numai dacă matricea ei de comparație este o matrice M nedegenerată.

Până acum, multe subclase de matrice H nedegenerate au fost deja studiate, dar toate sunt considerate din punct de vedere al generalizărilor proprietății de dominare strict diagonală (vezi și referințe din acestea).

În această lucrare, considerăm posibilitatea de a depăși clasa de matrice H prin generalizarea clasei 8BB într-un mod diferit. Ideea de bază este să continuați să folosiți abordarea de scalare, dar cu matrice care nu sunt în diagonală.

Luați în considerare matricea A \u003d [ay] e cnxn și indexul

Introducem matricea

r (A): \u003d £ a R (A): \u003d £

ßk (A): \u003d £ și yk (A): \u003d aü - ^

Este ușor să verificați dacă elementele matricei bk Abk au următoarea formă:

ßk (A), Y k (A), akj,

i \u003d j \u003d k, i \u003d j * k,

i \u003d k, j * k, i * k, j \u003d k,

A inöaeüiüö neö ^ äyö.

Dacă aplicăm Teorema 1 la matricea descrisă mai sus bk Abk1 și transpunerea ei, atunci obținem două teoreme principale.

Teorema 3. Fie orice matrice să fie dată

A \u003d [ay] e cnxn cu elemente diagonale non-zero. Dacă există k ∈ N astfel încât\u003e Γk (A) și pentru fiecare r ∈ N \\ (k),

atunci matricea A este nedegenerată.

Teorema 4. Fie orice matrice

A \u003d [ay] e cnxn cu elemente diagonale non-zero. Dacă există k ∈ N astfel încât\u003e Hk (A) și pentru fiecare r ∈ N \\ (k),

Atunci matricea A nu este degenerată. Se ridică o întrebare firească despre relația dintre

matrice din cele două teoreme anterioare: b ^ - BOO-matrice (definită prin formula (5)) și

Bk - matrici BOO (definite prin formula (6)) și clasa matricilor H. Următorul exemplu simplu face clar acest lucru.

Exemplu. Luați în considerare următoarele 4 matrici:

și considerăm matricea Lk Abk, k ∈ N, similară cu originalul A. Să găsim condițiile când această matrice va avea proprietatea unei matrice SDD (pe rânduri sau pe coloane).

În tot articolul pentru r, k eN: \u003d (1,2, ... /?) Vom folosi notația:

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

Teoreme de non-degenerare

Toate sunt nedegenerate:

A1 este b - BOO, în ciuda faptului că nu este bk - BOO pentru nici un k \u003d (1,2,3). De asemenea, nu este o matrice H, deoarece (A ^ 1 nu este non-negativ;

Datorită simetriei, A2 este simultan LR - BOO și L<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

B<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 este b9 - BOO, dar nu este niciuna

Lr - SDD (pentru k \u003d (1,2,3)) și nici o matrice H, deoarece (A3 ^ este de asemenea degenerat;

A4 este o matrice H întrucât (A ^ este nedegenerat și ^ A4) 1\u003e 0, deși nu este nici LR - SDD și nici Lk - SDD pentru nici un k \u003d (1,2,3).

Figura arată relația generală dintre

Lr - SDD, Lk - SDD și matrice H împreună cu matrice din exemplul precedent.

Relația dintre lR - SDD, lC - SDD și

iad min (| au - r (A) |) "

Începând cu inegalitatea

și aplicând acest rezultat matricei bk Ab, obținem

Teorema 5. Fie dată o matrice arbitrară A \u003d [a -] e Cnxn cu elemente diagonale non-zero.

polițiști. Dacă A aparține clasei - BOO, atunci

1 + max ^ i * k \\ acc \\

H-matrici

Este interesant de menționat că, deși am primit

matricile clasei BOO BOO aplicând Teorema 1 matricei obținute prin transpunerea matricei bk Ab ^ 1, această clasă nu coincide cu clasa obținută prin aplicarea Teoremei 2 matricei Am.

Să introducem definiții.

Definiția 4. O matrice A se numește (Lk-BOO pe rânduri) dacă AT (Lk-BOO).

Definiție 5. Se numește matricea A (bCk-BOO pe rânduri) dacă AT (bCk-BOO).

Exemplele arată că clasele U - BOO,

BC-BOO, (bk - BOO pe linii) și (b ^ -BOO pe linii) sunt legate între ele. Astfel, am extins clasa matricilor H în patru moduri diferite.

Aplicarea noilor teoreme

Să ilustrăm utilitatea noilor rezultate în estimarea normei C a unei matrice inversă.

Pentru o matrice arbitrară A cu o dominanță strictă în diagonală, binecunoscuta teoremă de Warakh (WaraH) oferă estimarea

min [| pf (A) | - тк (A), min (| yk (A) | - qk (A) - | af (A) |)] "i i (фf ii ii

În mod similar, obținem următorul rezultat pentru matricile Lk - SDD pe coloane.

Teorema 6. Fie dată o matrice arbitră A \u003d e și cu intrări în diagonală nulă. Dacă A aparține clasei bk-SDD din coloane, atunci

Ik-LLL<_ie#|akk|_

"" mln [| pf (A) | - Rf (AT), mln (| уk (A) | - qk (AT) - | pupa |)] "

Importanța acestui rezultat constă în faptul că pentru multe subclase de matrice H nedegenerate există restricții de acest tip, dar pentru acele matrici nedegenerate care nu sunt matrici H, aceasta este o problemă non-banală. În consecință, restricții de același fel ca în teorema anterioară sunt foarte solicitate.

Literatură

Levy L. Sur le possibilité du l "equlibre electrique C. R. Acad. Paris, 1881. Vol. 93. P. 706-708.

Horn R.A., Johnson C.R. Analiza matricei. Cambridge, 1994. Varga R.S. Gersgorin și cercurile sale // Seria Springer în matematica computatională. 2004. Vol. 36.226 p. Berman A., Plemons R. J. Matrice Negative în Științele Matematice. Seria SIAM Clasici în matematica aplicată. 1994. Vol. 9.340 p.

Cvetkovic Lj. Teoria matricei H vs. localizare eigenvalue // Numer. Algor. 2006. Vol. 42. P. 229-245. Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. Rezultate suplimentare privind matricele H și complementele lor Schur // Appl. Math. Comput. 1982. P. 506-510.

Varah J.M. O legătură inferioară pentru cea mai mică valoare a unei matrice // Applical Algebra Linear 1975. Vol. 11. P. 3-5.

Primite de editori

$Ann)$ are proprietatea dominanta diagonala, în cazul în care un

$| a_ (ii) | \\ geqslant \\ sum_ (j \\ neq i) | a_ (ij) |, \\ qquad i \u003d 1, \\ puncte, n,$

în plus, cel puțin o inegalitate este strictă. Dacă toate inegalitățile sunt stricte, atunci se spune că matricea este $Ann)$ posedă strict predominanta diagonala.

Matricile dominante diagonale apar destul de frecvent în aplicații. Principalul avantaj al acestora este că metodele iterative pentru rezolvarea SLAE cu o astfel de matrice (metodă de iterație simplă, metoda lui Seidel) converg către o soluție exactă care există și este unică pentru orice parte dreaptă.

Proprietăți

O matrice strict de diagonală este nedegenerată.

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Dominanță diagonală”

Extras din Dominanța Diagonală

Regimentul Hussar Pavlograd a fost staționat la două mile de Braunau. Escadrilul, în care Nikolai Rostov a servit ca cadet, era situat în satul german Saltsenek. Comandantul escadrilei, căpitanul Denisov, cunoscut întregii diviziuni de cavalerie sub numele de Vaska Denisov, a primit cel mai bun apartament din sat. Junker Rostov, de când a prins regimentul din Polonia, a locuit cu comandantul escadrilei.
În 11 octombrie, chiar în ziua în care totul din apartamentul principal a fost ridicat în picioare de vestea înfrângerii lui Mack, la sediul escadronului, marșul vieții a continuat calm ca înainte. Denisov, care pierduse toată noaptea la cărți, nu venise încă acasă când Rostov, dimineața devreme, la călărie, s-a întors de la hrănire. Rostov, în uniforma unui cadet, se îndrepta spre verandă, împingând calul, cu un gest flexibil, tineresc, aruncat de pe picior, stătea pe strâmtorie, de parcă n-ar fi vrut să se despartă de cal, a sărit în cele din urmă și a strigat mesagerul.

CAPITOLUL 1. INFORMAȚII SUPLIMENTARE

§ 1. Norme de vectori și matrice

§ 2. Matricele de dominanță diagonală

§3. Matrice definite pozitive

§4. Numărul stării SLAE

§cinci. Un exemplu de sistem prost condiționat.

Sisteme cu matrice tridiagonală. Metoda de măturare.

Sisteme cu matrice tridiagonală. Metoda de măturare.

Proprietăți

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Dominanță diagonală”

Extras din Dominanța Diagonală