Metoda lui Maclaurin a fost frumoasă și simplă, dar într-o formă mai generală, problema extinderii unei funcții într-o serie de puteri a fost rezolvată de Taylor. Declarația problemei a fost următoarea. a mari f(X) în vecinătatea punctului X = X 0 polinom P- gradul astfel încât polinomul însuși la punctul X 0 corespunde funcției date f(X), și valorile tuturor derivatelor sale până la P-a comanda la un punct X 0 a coincis cu valorile derivatelor corespunzătoare f(X Ca urmare, soluția problemei a fost formula taylor (7).

Unde – (8)

termenul rămas Formulele Taylor și punctul Cu este un punct intermediar între puncte Ași X.

Dacă f(X) are derivate de orice ordin (ᴛ.ᴇ. este infinit derivabilă) într-o vecinătate a punctului X = X 0 și restul termenului la ( ), atunci formula (7) dă o expansiune a funcției f(X) în puteri ( X – X 0), numit lângă Taylor:

La X 0 = 0 seria Taylor devine Seria Maclaurin:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, rezultatul lui Maclaurin s-a dovedit a fi doar un caz special al cercetării lui Taylor și, în legătură cu aceasta, extinderile funcțiilor în serii de puteri au fost numite „seria Taylorʼʼ în matematică.

Rețineți că seria Taylor-Maclaurin poate fi construită formal pentru orice funcție infinit derivabilă ( aceasta este o condiție extrem de importantă ) în vecinătatea punctului X 0 . Dar încă nu rezultă din aceasta că va converge către funcția dată, poate diverge sau converge către o funcție străină.

TEOREMA 1. Pentru seria Taylor (9) a funcției f(X) a convergit spre f(X) la punct X, este extrem de important și suficient ca în acest moment termenul rămas al formulei Taylor (7) să tinde spre zero ca , adică că .

TEOREMA 2. Dacă modulele tuturor derivatelor funcţiei f(X) sunt mărginite într-o vecinătate a unui punct de același număr M> 0, apoi pentru oricare X din această vecinătate, seria Taylor converge către funcția f(X), adică are loc extinderea (9).

Observație.Garanția convergenței seriei Taylor a funcției f(X) pentru sine este elementar funcții f(X).

Întrucât cercetătorul în majoritatea cazurilor se ocupă de elementar funcții, apoi convergența seriei Taylor la f(X) de obicei garantat. Pentru neelementare funcții, putem folosi condiția de mărginire pentru derivatele lor.

Exemplul lui Cauchy se numește funcție neelementară de forma:

(11)

Arătat, că La(X) are derivate de toate ordinele la un punct și pentru oricare P. Maclaurin seria de funcții La(X) se pare ca:

(12)

Converge, dar suma ei S(X) în orice moment X este zero, nu La(X). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, seria Maclaurin generată de funcție La(X), converge către funcția străină și nu către La(X).

Formula Taylor - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Formula Taylor” 2017, 2018.

- Formula Taylor

Să presupunem că funcția are toate derivatele până la ordine într-un interval care conține punctul a. Din definiția diferențiabilității unei funcții, avem, unde este o funcție infinitezimală. Să luăm x în această expresie ca a și să-l scriem sub forma. pentru că , apoi. Dacă este neglijat - la infinit... .

- Formula Taylor

Un polinom cu astfel de coeficienți are forma Când se înlocuiește funcția y \u003d f (x) cu polinomul P (x), este permisă o eroare, determinată de diferența de unde sau Diferența se numește membru rămas. Cu cât este mai mic, cu atât P(x) este mai aproape de f(x). Deci, unde este valoarea dintre x și x0. Aceasta este... .

- Formula Taylor.

n.1. Formula lui Taylor pentru un polinom. Capitolul 1 Să considerăm un polinom de grad cu coeficienți reali: Capitolul 2 Capitolul 3 (1) Să stabilim un număr real arbitrar și în partea dreaptă a egalității (1) îl vom prezenta sub forma: Paranteze pătrate extinse aici și.. . .

Introducere

Utilizarea formulei Taylor pentru extinderea funcțiilor într-o serie de puteri este utilizată pe scară largă și este de mare importanță în diferite calcule matematice. Calculul direct al integralelor unor funcții poate fi plin de dificultăți considerabile, iar înlocuirea unei funcții cu o serie de puteri poate simplifica semnificativ problema.

Găsirea valorilor funcțiilor trigonometrice, trigonometrice inverse, logaritmice se poate reduce și la găsirea valorilor polinoamelor corespunzătoare.

Dacă, atunci când ne extindem într-o serie, luăm un număr suficient de termeni, atunci valoarea funcției poate fi găsită cu orice precizie predeterminată. În practică, putem spune că pentru a găsi valoarea oricărei funcții cu un grad rezonabil de acuratețe (se presupune că este necesară foarte rar o precizie care depășește 10 - 20 de zecimale), 4-10 termeni de expansiune într-un serii sunt suficiente.

Utilizarea principiului de extindere a seriei face posibilă efectuarea de calcule pe un computer în timp real, ceea ce este important atunci când se rezolvă probleme tehnice specifice.

Toate calculele din calculator se bazează pe faptul că o anumită funcție, deși nu arată foarte frumos după ce a fost extinsă într-o serie, este foarte convenabilă de calculat.

Luați de exemplu o funcție simplă sin(x) și trebuie să calculați să spunem sin(134) Cum o faceți? Dar extinzând această funcție într-o serie, puteți înlocui în ea valoarea lui X. În același timp, teoria seriei vă permite să aflați câți membri ai seriei trebuie să aveți pentru o anumită precizie.

Cursul arată cum, folosind formula Taylor, puteți găsi cu ușurință limitele funcțiilor.

formula Taylor

Formula Taylor cu termenul rămas în forma Lagrange

funcția de putere limită a formulei lui Taylor

Lema 1. Dacă funcţia f(x) are în punctul x 0 derivată de ordinul al n-lea, atunci există un polinom Р n (x) de gradul cel mult n astfel încât

R n (X despre ) = f(x 0 ), (X o ) = (x o ), k = .(1)

Acest polinom este reprezentat ca

R n (X despre ) = f(x 0 )+(x-x 0 )++ …+. (2)

· Lăsa c(x) = (x - x 0 ) m, Unde m? N. Apoi u(x 0 ) = 0,

c (k) (X 0 ) = (3)

Din (3) rezultă că polinomul R n (X), dat de formula (2) satisface condiţiile (1). Acest polinom se numește Polinomul Taylor de ordinul n pentru funcția f(x) în punctul x 0 . *

Lema 2. Fie definite funcțiile u(x) și w(x) în vecinătatea q a punctului x 0 și să îndeplinească următoarele condiții:

1) pentru fiecare x? U d (X 0 ) există și;

2) c(x 0 ) = c "(x 0 ) = ... = c n (X 0 ) = 0;

w(x 0 ) = w „(x 0 ) = ... = sh n (X 0 ) = 0; (4)

3) w(x) ? 0, (X) ? 0 pentru x ? iar pentru k =.

Atunci pentru fiecare x? există un punct aparţinând intervalului cu capete xo şi x astfel încât

Să, de exemplu, X? (X despre , X despre + e). Apoi, aplicând la funcții cși w pe segment teorema Cauchy ( Dacă funcțiile f(x) și g(x) sunt continue pe segmentul , diferențiabile pe intervalul (a, b) și g "(x) ? 0 în toate punctele acestui interval, atunci există cel puțin un punct ? (a, b) astfel încât

) și având în vedere că u(x o ) = w(x despre ) = 0 datorită condițiilor (4), obținem

, X 0 . (6)

În mod similar, aplicând la funcțiile și pe intervalul [ X o,] Teorema Cauchy, găsim

= , X 0 . (7)

Din egalitățile (6) și (7) rezultă că

= , X 0 .

Aplicând succesiv teorema Cauchy la funcțiile și, și, ...

…, pe segmentele corespunzătoare, obținem

Unde X 0

Egalitatea (5) se dovedește pentru cazul în care X? (X despre , X despre + q). În mod similar, cazul când X? (X despre - d, x despre). *

Teorema 1. Să existe q > 0 astfel încât funcția f(x) să aibă în q - o vecinătate a punctului x despre derivate până la (n + 1) de ordinul --lea inclusiv.

Atunci pentru orice x? există un punct e aparținând intervalului cu capete x despre și x astfel încât

X 0 )++…+

· Lăsa X?, P n (x) = polinomul Taylor pentru funcție f(x). Denota

r n (x) = f(x) - P n (X). (9)

Din moment ce polinomul R n (X) satisface condiţiile (1) în virtutea Lemei 1, din egalitatea (9) rezultă că

r n (X o ) = r"(X o ) = ... = (x o ) = 0. (10)

Luați în considerare funcțiile u(x) = r n (x), w(x) = (x-x despre ) n+1. Aceste funcții îndeplinesc condițiile Lemei 2 și, prin urmare, egalitatea (5) este valabilă pentru ele, adică,

Recent, mă gândeam la modul în care mintea noastră inventează moduri de a descrie universul. Chiar și când eram la școală, s-a născut o analogie interesantă. Deci sa incepem de departe...

În analiza matematică există așa ceva - seria Taylor. Cu această serie, orice funcție f( X) poate fi reprezentat ca suma unui număr infinit de monomii simple cu diferite grade și coeficienți ( a+b X+c x2+d x 3+ ... + N x n + ... ). De exemplu, se poate extinde exponențialul într-o serie Taylor ( eX ), sinus ( păcat X ) și cosinus ( cos X ) :

Semn de exclamare ( ! ) în aceste formule denotă factorial- produsul tuturor numerelor de la unu la un număr dat inclusiv. De exemplu, 5 ! = 1 2 3 4 5 = 120.

Practic, fiecare funcție f(x), care are derivate de orice ordin ( f"(x), f""(x), f"""(x), ... f(n)(x)..., derivat funcții este, aproximativ vorbind, o funcție care descrie rata de schimbare a unui dat funcții depinzând de X) într-o vecinătate a punctului A, poate fi extins într-o serie Taylor în această vecinătate a punctului A . Punct important- in afara acestui cartier, extinderea seriei NU ESTE VALABILA. Pentru funcțiile de mai sus (exponent, sinus, cosinus), punctul A = 0, iar vecinătatea se extinde de la minus la plus infinit, adică ORIUNDE. Pentru aceste funcții, seria Taylor este absolut identică cu funcția în sine. Acesta este un fapt foarte plăcut, deoarece acest lucru nu se întâmplă întotdeauna nici măcar în lumea modelelor matematice ideale. Dar lumea reală...

Și în lumea reală, trebuie să ne confruntăm cu multe sarcini foarte pragmatice. De exemplu, trebuie să calculăm același exponent sau sinus pentru diferite valori ale argumentului X . Pentru ce? Exponentul descrie foarte bine creșterea unei populații de microorganisme într-un mediu saturat de alimente, sinus și cosinus oferă o descriere excelentă a proceselor valurilor... Și toate acestea vor fi foarte utile atunci când construim nave spațiale și inventăm vaccinuri... De Desigur, acum putem calcula exponentul și alte funcții orice calculator de inginerie. Dar noi, în acest caz, suntem mai interesați de algoritmul de calcul în sine, și nu de rezultatul acestuia.

Să presupunem că suntem pe o insulă pustie. Avem o ramură mică în mâini și o plajă uriașă de nisip sub picioare. Și așa am decis să calculăm exponentul pentru mai multe numere. Putem aduna, scădea și înmulți într-o coloană. Ei bine, împărțiți un colț. Și putem trage toate aceste calcule în nisip.
Pentru început, ar fi necesar să se determine gradul de eroare admisibil în calcule. Adică câte zecimale ne interesează. Evident, nu vom atinge niciodată acuratețe ABSOLUTĂ pentru toate calculele. La urma urmei, numărând exponentul, ne vom ocupa de numere transcendentale iraționale, a căror notație zecimală este INFINITĂ și nu are modele ciclice evidente (ca în fracțiile periodice ale numerelor raționale, de exemplu). Dar în scopuri practice, nu avem nevoie de un astfel de exces. Cinci, șase zecimale - acest lucru este mai mult decât suficient atunci când vine vorba de proiectarea unui complex dispozitiv tehnic. Și de obicei chiar mai puțin.

Cum vom număra? Aici intervine seria Taylor. Putem lua din ea primii termeni care satisfac un anumit grad de acuratețe și renunțăm la restul termenilor, care se află în afara marjei de eroare.
Acuratețea deciziilor noastre depinde de doi factori: 1) de numărul de termeni din seria pe care îi luăm în considerare; 2) de la distanța (diferența) dintre numărul pentru care calculăm exponentul și numărul A , în vecinătatea căreia se formează seria. Evident, cu cât scriem mai mulți termeni ai seriei, cu atât soluția va fi mai precisă. Și cu atât mai aproape de subiect A efectuăm calculul, cu atât valoarea exponentului nostru va fi mai precisă. Pentru expozant A = 0. Prin urmare, pentru a calcula exponentul la X= 0, un singur membru al seriei este suficient - primul (1). Atunci imaginându-mi asta e X = 1, pentru x = 0 determinăm doar valoarea EXACT a exponentului - 1. Acesta este poate singurul caz când determinăm valoarea acestei funcții cu acuratețe absolută. Dar de îndată ce ne abatem ușor de la zero, să zicem cu 0,01, pierdem precizia deja în a doua zecimală. Pentru x = 0,01, exponentul este 1,010050... Acum avem nevoie de al doilea termen al seriei Taylor: e X = 1 + X= 1 + 0,01. Se poate observa că acum primii doi termeni ai seriei dau o precizie până la a 4-a zecimală. Să ne abatem puțin mai mult spre partea zonei „sigure”. Pentru x = 0,1, exponentul este 1,105171... Aici primii doi termeni ai seriei (1 + 0,1 = 1,1) sunt potriviți doar până la al doilea semn. Și la x = 0,5, nu sunt bune deloc. Includem al treilea termen: e X = 1 + x + x2/2. Atunci pentru x = 0,5 obținem 1 + 0,5 + (0,5 0,5 )/2 = 1,625 (e 0,5 = 1,648721...). Nu va fi suficient. Al patrulea: e X = 1 + x + x2/2 + x 3 /6 = 1 + 0,5 + (0,5 0,5 )/2 + (0,5 0,5 0,5 )/6 = 1,6458(3). Deja mai bine! A cincea: e X = 1 + x + x2/2 + x 3 /6 + x 4 /24 = 1,6484375... Uau! Aproape am ajuns deja la al treilea semn. Şaselea: e X = 1 + x + x2/ 2 + x 3 / 6 + x 4 / 24 + x 5 / 120 = 1,648698 ... Deține deja 4 caractere!
Este sigur să spunem că în intervalul de la zero la 0,5, exponentul este 1 + x + x2/2 + x 3 /6 + x 4 /24 + x 5 /120 până la patru zecimale. Într-adevăr, înlocuind orice x, de la zero la 0,5, în acest polinom, vom obține o valoare destul de precisă a exponentului, cu excepția cazului în care, desigur, patru semne ne satisfac. Dacă vrei mai mult, va trebui să adaugi din ce în ce mai mulți membri ai seriei Taylor.
Acum fie x = 5. Atunci 1 + x + x2/2 + x3 /6 + x4 /24 + x5 /120 = 91,41(6). Și e 5 \u003d 148.413159 ... Ce discrepanță monstruoasă între exponentul REAL! Trebuia doar să te îndepărtezi suficient de zona obișnuită a calculelor, deoarece rezultatul începe să difere aproape uneori!

Bine, destul de mestecat deja adevăruri comune. Pentru persoanele care sunt cel puțin superficial familiarizate cu metodele numerice, totul este deja foarte clar. Și restul își vor da seama singuri, dacă sunt interesați. De ce am început toate astea? Și iată ce.

Chestia este că aceste calcule cu seria Taylor pot fi proiectate pe înțelegerea noastră a lumii reale. Rețineți - nu despre REALITATEA în sine, ci despre ÎNȚELEGEREA noastră a acestei realități. A proiecta înseamnă a găsi un model similar. Nu mă refer la Monadele lui Leibniz. Leibniz era foarte pasionat de matematică, a studiat mult seriale și a perceput lumea ca o combinație infinită de entități (Monade), ca aceeași serie Taylor. Aici vorbim despre altceva.

Va fi despre modul în care percepem lumea, cum o înțelegem, cum o descriem și o organizăm. Despre modul în care ne construim explicațiile, conceptele, teoriile și alte hărți ale teritoriului nostru. Și de data aceasta voi folosi o alegorie - seria Taylor.

Imaginați-vă că lumea reală (Teritoriul) este o astfel de funcție, cum ar fi un exponent. Percepți această lume complet (calculați exponentul pentru toate valorile X cu precizie absolută) nu putem, din cauza capacităţii limitate a minţii noastre. Dar suntem destul de capabili să descriem o regiune limitată a lumii cu un anumit grad de acuratețe (calculând suma primilor câțiva termeni ai seriei Taylor pe o anumită vecinătate a punctului A ). Suma primilor termeni ai seriei Taylor este teoria (Harta) care descrie piesa dată a Funcției (realitate, Teritoriu). Și cu cât includem mai mulți membri ai seriei Taylor în calcul, cu atât teoria noastră descrie mai precis zona problemei.

Evoluția unei astfel de „serie Taylor” poate fi urmărită pe exemplul dezvoltării imaginii fizice a lumii. La început, mecanica clasică a dominat (să zicem, primii patru termeni din „seria Taylor”). Și această teorie a funcționat destul de bine atâta timp cât toate observațiile și experimentele (măsurătorile directe ale valorii funcției prin puncte) au fost în regiunea macrocosmosului (în vecinătatea admisibilă a punctului). A ). Apoi teoria a prezis bine rezultatele experimentelor (valorile calculate ale Funcției au coincis cu cele măsurate). Dar de îndată ce zona de observare a depășit „cartierul obișnuit al punctului A ", teoria a eșuat brusc (cum s-a întâmplat cu primii cinci membri ai seriei Taylor pentru exponent, când am sărit de la 0,5 la 5). Privind în microcosmos, o persoană a descoperit multe fenomene complet inexplicabile. Și aici cerem deja o unul nou - mai mult teorie generală- mecanica cuantică (primii patru membri ai „seria Taylor” au fost completați cu încă doi). Mai mult, cel clasic poate fi dedus din mecanica cuantică ca un caz special (primii membri ai seriei nu au dispărut, pur și simplu au fost completați cu alții noi).
Același lucru se poate spune despre teoria relativității a lui Einstein.

Întrebare: Este posibil să se creeze o teorie unificată a totul? Da, dar ar fi nevoie de o cantitate infinită de hârtie pentru a o nota. La urma urmei, seria Taylor este infinită. Prin urmare, nu putem decât la infinit să ne aducem cunoștințele mai aproape de Adevăr.

Și totuși avem un număr mare de iluzii despre ideile noastre despre lumea reală. Religiile propovăduiesc că ele sunt cele care cunosc Adevărul Absolut. Mulți oameni de știință păcătuiesc, de asemenea, agățându-se de vechile paradigme. Ne înșelăm în mod constant atunci când ne scoatem teoriile din vecinătatea lor permisă sau ignorăm gradul admis de acuratețe în „calculele” noastre. Dar cel mai rău lucru este atunci când acceptăm idei care contrazic în mod clar realitatea sau nu intră în contact cu ea în niciun fel.