Viteza maximă a unei bare pe o formulă de arc. Rezolvarea problemelor în mecanică folosind legile de conservare. Transformări de energie în timpul vibrațiilor mecanice libere

Problema fizicii - 4424

2017-10-21
Un arc ușor de rigiditate $ k $ este atașat la o bară de masă $ m $ așezată pe un plan orizontal, al cărui al doilea capăt este fixat astfel încât arcul să nu se deformeze, iar axa sa să fie orizontală și să treacă prin centru, masa barei este amestecată de-a lungul axei arcului la o distanță $ \\ Delta L $ și eliberați fără viteza inițială. Găsiți viteza maximă a barei dacă coeficientul său de frecare față de avion este $ \\ mu $.

Decizie:

Vom presupune că pentru o anumită amestecare a barei, deformarea arcului este complet elastică. Apoi, pe baza legii lui Hooke, putem presupune că forța $ F_ (pr) \u003d k \\ Delta L $, direcționată orizontal de-a lungul axei arcului, acționează asupra barei din partea arcului în momentul eliberării. Forța de reacție a planului care acționează asupra barei poate fi reprezentată sub forma a două componente: perpendiculare și paralele cu acest plan. Mărimea componentei normale a forței de reacție $ N $ poate fi determinată pe baza celei de-a doua legi a lui Newton, presupunând că cadrul de referință, care este nemișcat față de acest plan, este inerțial, iar bara se poate deplasa doar de-a lungul acestui plan. Neglijând acțiunea pe „bara de aer, obținem: $ N - mg \u003d 0 $, unde $ g $ este magnitudinea accelerației gravitației. Conform legii lui Coulomb, cu o bară staționară, valoarea maximă a componentei paralele a forței de reacție - forța de frecare uscată în repaus - este $ \\ mu N $. Prin urmare, pentru $ k \\ Delta L \\ leq \\ mu mg $ bara după eliberare trebuie să rămână nemișcată. Dacă $ k \\ Delta L\u003e \\ mu mg $, atunci după eliberare bara va începe să se miște cu o oarecare accelerație. Deoarece linia de acțiune a forței cu partea arcului trece prin centrul de masă al barei, iar forța de frecare este direcționată opus vitezei sale, bara se va deplasa translațional. În acest caz, deformarea arcului va scădea și, prin urmare, ar trebui să scadă și accelerația barei. În momentul în care suma forțelor care acționează asupra barei se va transforma în zero, viteza barei va deveni maximă. Dacă, ca de obicei, presupunem că valoarea forței de frecare de alunecare uscată nu depinde de viteză și este egală cu valoarea maximă a forței de frecare uscată în repaus, atunci neglijează Reglând masa arcului în conformitate cu starea problemei, cantitatea de deformare $ \\ Delta x $ a arcului în momentul în care ne interesează este ușor de calculat din relația $ k \\ Delta x \u003d \\ mu mg $. Amintindu-și expresiile pentru calcularea energiei cinetice a mișcării translaționale solid, energia potențială a unui arc deformat elastic și luând în considerare faptul că deplasarea barei până în acest moment va deveni egală cu $ \\ Delta L - \\ Delta x $, pe baza legii schimbării energiei mecanice, se poate argumenta că viteza maxima $ v_ (max) $ al barei trebuie să satisfacă ecuația:

$ \\ frac (k \\ Delta L ^ (2)) (2) \u003d \\ frac (k \\ Delta x ^ (2)) (2) + \\ frac (mv_ (max) ^ (2)) (2) + \\ Din cele spuse rezultă că viteza maximă a barei sub ipotezele făcute ar trebui să fie egală cu

{!LANG-bbde3a4f520f5a540c7d9034952f4cb0!}

$ v_ (max) \u003d \\ begin (cases) 0, & \\ text (for) k \\ Delta L \\ leq \\ mu mg \\\\ \\ sqrt (\\ frac (k) (m)) \\ left (\\ Delta L - \\ V. POGOZHEV, candidat la științe fizice și matematice.

(Pentru final. Pentru început, a se vedea „Știință și viață” nr.)

Publicăm ultima parte a problemelor pe tema „Mecanică”. Următorul articol va fi dedicat fluctuațiilor și valurilor.

Problema 4 (1994). De la o alunecare, transformându-se lin într-un plan orizontal, de la înălțime

h o mică mașină de spălat netedă cu o masă alunecă m ... O alunecare mobilă netedă cu o masă deM și înălțime H ... Secțiunile lamelor de un plan vertical care trec prin centrele de masă ale șaibei și ale diapozitivului mobil au forma prezentată în figură. Care este înălțimea maximă> o mică mașină de spălat netedă cu o masă alunecăX pucul se poate urca pe toboganul staționar după ce alunecă de pe toboganul mobil pentru prima dată? Decizie.

W k \u003d mv 1 2/2 când se deplasează de-a lungul unui plan orizontal după alunecarea de pe deal ar trebui să fie egal cu mgh undeg - magnitudinea accelerației gravitației.{!LANG-850095e5a3eaf1a12218e4783510b4cf!}

În timpul celei de-a doua etape, pucul se va ridica mai întâi de-a lungul culisajului mobil și apoi, după ce a atins o anumită înălțime, îl va aluneca. Această afirmație rezultă din faptul că, ca urmare a interacțiunii mașinii de spălat cu un deal mobil, aceasta din urmă, după cum sa menționat deja, până la sfârșitul celei de-a doua etape ar trebui să se deplaseze progresiv la o anumită viteză tu, îndepărtându-se de alunecarea staționară, adică în direcția vitezei v 1 spălător la sfârșitul primei etape. Prin urmare, chiar dacă înălțimea glisorului mobil era egală o mică mașină de spălat netedă cu o masă alunecă, pucul nu ar fi reușit să-l depășească. Având în vedere că forța de reacție din partea planului orizontal către dealul mobil, precum forțele gravitaționale care acționează asupra acestui deal și șaibă, sunt direcționate vertical, pe baza legii conservării impulsului, se poate argumenta că v 2 viteze puck la sfârșitul celei de-a doua etape pe direcția vitezei v 1 șaibă la sfârșitul primei etape trebuie să satisfacă ecuația

mυ 1 \u003d mυ 2 + M și (1)

Pe de altă parte, conform legii conservării energiei mecanice, aceste viteze sunt legate de relație

, (2)

întrucât sistemul „Pământ - glisor mobil - șaibă” se dovedește a fi izolat conservator în conformitate cu ipotezele făcute, iar energia sa potențială la începutul și la sfârșitul celei de-a doua etape este aceeași. Având în vedere că, după interacțiunea cu un deal mobil, viteza mașinii de spălat în cazul general ar trebui să se schimbe ( v 1 - v 2 ≠ 0), și folosind formula pentru diferența de pătrate de două mărimi, din relațiile (1) și (2) obținem

υ 1 + υ 2 \u003d și (3)

și apoi din (3) și (1) determinăm proiecția vitezei pucului la sfârșitul celei de-a doua etape pe direcția vitezei sale înainte de începerea interacțiunii cu glisorul mobil

Din relația (4) se vede că v 1 ≠ v 2 la ... O alunecare mobilă netedă cu o masă de≠ M iar mașina de spălat se va deplasa la culisa staționară după ce a alunecat de pe cea mobilă numai când ... O alunecare mobilă netedă cu o masă de< M.

Aplicând din nou legea de conservare a energiei mecanice pentru sistemul „Pământ cu un deal-șaibă fix”, determinăm înălțimea maximă a ridicării șaibei de-a lungul dealului fix. X =v 2 2 /2 g... După cele mai simple transformări algebrice, răspunsul final poate fi reprezentat ca

Problema 5 (1996). O bară netedă întinsă pe un plan orizontal cu o masă și înălțime atașat la un perete vertical cu un arc ușor k... Cu un arc nedeformat, capătul barei atinge marginea cubului, masa ... O alunecare mobilă netedă cu o masă de care este mult mai puțin M. Axa arcului este orizontală și se află într-un plan vertical care trece prin centrele de masă ale cubului și ale barei. Miscând bara, arcul este comprimat de-a lungul axei sale cu cantitatea ∆ x, după care bara este eliberată fără viteză inițială. Cât de departe se va deplasa cubul după un impact ideal elastic, dacă coeficientul de frecare al cubului pe plan este suficient de mic și egal cu μ?

Diapozitivul, pe care se afla inițial șaiba, în funcție de starea problemei, este nemișcat și, prin urmare, atașat rigid de Pământ. Dacă, așa cum se face de obicei la rezolvarea unor astfel de probleme, sunt luate în considerare doar forțele de interacțiune ale mașinii de spălat cu lamele și forța de greutate, problema poate fi rezolvată folosind legile conservării energiei mecanice și a impulsului. Cadrul de referință al laboratorului, așa cum sa menționat deja în soluția problemelor anterioare (a se vedea „Știința și viața” nr.), Poate fi considerat inerțial. Împărțim soluția problemei în trei etape. La prima etapă, mașina de spălat începe să alunece de la o lamă fixă, la a doua, interacționează cu o lamă mobilă, iar la ultima etapă, ridică lamela fixă. Din starea problemei și din ipotezele făcute, rezultă că mașina de spălat și dealul mobil se pot deplasa doar translațional, astfel încât centrele lor de masă să rămână în același timp Vom presupune că ipotezele standard sunt îndeplinite: cadrul de referință al laboratorului, relativ la care toate corpurile erau inițial în repaus, este inerțial și doar forțele de interacțiune dintre ele și forțele de gravitație acționează asupra corpurilor luate în considerare și, în plus, planul de contact dintre bară și cub este perpendicular pe axa arcului. Apoi, luând în considerare poziția axei arcului și centrele de masă ale barei și ale cubului date în condiție, se poate presupune că aceste corpuri se pot deplasa doar translațional.

După eliberare, bara începe să se miște sub acțiunea unui arc comprimat. În momentul în care bara atinge cubul, în funcție de starea problemei, arcul ar trebui să devină nedeformat. Deoarece bara este netedă și se mișcă pe un plan orizontal, forțele gravitației și reacțiile plane nu funcționează pe ea. Prin condiție, masa arcului (și, prin urmare, energia cinetică a părților sale în mișcare) poate fi neglijată. În consecință, energia cinetică a barei în mișcare translațională în momentul în care atinge cubul ar trebui să devină egală cu energia potențială a arcului în momentul eliberării barei și, prin urmare, viteza barei în acest moment ar trebui să fie egală.

Când bara atinge cubul, se ciocnesc. În acest caz, forța de frecare care acționează asupra cubului variază de la zero la m mgg - magnitudinea accelerației gravitației. - magnitudinea accelerației gravitației. Presupunând, ca de obicei, că timpul de coliziune al barei și al cubului este mic, putem neglija impulsul forței de frecare care acționează asupra cubului din partea laterală a planului, în comparație cu impulsul forței care acționează asupra cubului din partea barei în timpul impactului. Deoarece deplasarea barei în timpul impactului este mică, iar în momentul atingerii cubului, arcul nu este deformat în funcție de starea problemei, presupunem că arcul nu acționează asupra barei în timpul coliziunii. Prin urmare, sistemul „bar-cub” poate fi considerat închis în timpul coliziunii. Apoi, conform legii conservării impulsului, relația

Mv \u003d M U + ... O alunecare mobilă netedă cu o masă detu, (1)

unde U și tu - respectiv, viteza barei și a cubului imediat după impact. Lucrarea forțelor de greutate și a componentei normale a forțelor de reacție ale avionului care acționează asupra cubului și barei este egală cu zero (aceste forțe sunt perpendiculare pe deplasările lor posibile), impactul barei asupra cubului este ideal elastic, și datorită duratei scurte a impactului prin deplasarea cubului și a barei (și, în consecință, forțele de frecare și deformarea arcului) pot fi neglijate. Prin urmare, energia mecanică a sistemului în cauză trebuie să rămână neschimbată și egalitatea

M υ 2/2 \u003d MU 2/2 + m și 2 /2 (2)

După ce s-a determinat din (1) viteza barei U și înlocuind-o cu (2), obținem 2 Mvu=(M+... O alunecare mobilă netedă cu o masă de)tu 2 și, din moment ce, prin condiția problemei ... O alunecare mobilă netedă cu o masă de << M, apoi 2 vu=tu 2. Prin urmare, luând în considerare direcția posibilă a mișcării, rezultă că, după coliziune, cubul dobândește o viteză a cărei valoare este

(3)

iar viteza barei va rămâne neschimbată și egală v... Prin urmare, după impact, viteza cubului trebuie să fie de două ori mai mare decât viteza barei. Prin urmare, după ce ați lovit cubul în direcția orizontală până când acesta se oprește, doar forța de frecare de alunecare μ mg și, în consecință, cubul va începe să se miște cu o decelerare egală cu accelerația μ - magnitudinea accelerației gravitației.... Pe bară, după coliziune în direcție orizontală, acționează doar forța elastică a arcului (bara este netedă). În consecință, viteza barei se modifică conform unei legi armonice și, în timp ce cubul se mișcă, este în fața barei. Din cele spuse rezultă că bara din poziția de echilibru poate fi deplasată cu o distanță ∆ pucul se poate urca pe toboganul staționar după ce alunecă de pe toboganul mobil pentru prima dată?... Dacă coeficientul de frecare μ este suficient de mic, bara nu se va ciocni din nou cu cubul și, prin urmare, deplasarea dorită a cubului ar trebui să fie

L = și 2 / 2μg \u003d 2 k (∆x) 2 / μ M g.

Comparând această distanță cu ∆ pucul se poate urca pe toboganul staționar după ce alunecă de pe toboganul mobil pentru prima dată?, obținem că răspunsul de mai sus este corect pentru μ ≤ 2 k ∆x/ M g

Problema 6 (2000). O mică șaibă este plasată pe marginea plăcii, așezată pe un plan orizontal neted, a cărui masă este k de ori mai mică decât masa plăcii. Pucul este apăsat cu o viteză spre centrul plăcii. Dacă această viteză este mai mare tu, pucul alunecă de pe tablă. Cât de rapid se va mișca placa dacă viteza pucului este n de mai multe ori tu (n> 1)?

Diapozitivul, pe care se afla inițial șaiba, în funcție de starea problemei, este nemișcat și, prin urmare, atașat rigid de Pământ. Dacă, așa cum se face de obicei la rezolvarea unor astfel de probleme, sunt luate în considerare doar forțele de interacțiune ale mașinii de spălat cu lamele și forța de greutate, problema poate fi rezolvată folosind legile conservării energiei mecanice și a impulsului. Cadrul de referință al laboratorului, așa cum sa menționat deja în soluția problemelor anterioare (a se vedea „Știința și viața” nr.), Poate fi considerat inerțial. Împărțim soluția problemei în trei etape. La prima etapă, mașina de spălat începe să alunece de la o lamă fixă, la a doua, interacționează cu o lamă mobilă, iar la ultima etapă, ridică lamela fixă. Din starea problemei și din ipotezele făcute, rezultă că mașina de spălat și dealul mobil se pot deplasa doar translațional, astfel încât centrele lor de masă să rămână în același timp La rezolvarea problemei, ca de obicei, vom neglija influența aerului și vom presupune că cadrul de referință asociat tabelului este inerțial, iar pucul se mișcă translațional după impact. Rețineți că acest lucru este posibil numai atunci când linia de acțiune a impulsului forței externe și centrul de masă al șaibei se află în același plan vertical. Deoarece, în funcție de starea problemei, mașina de spălat cu o viteză inițială mai mică de tunu alunecă de pe bord, este necesar să presupunem că forțele de frecare acționează între ele atunci când pucul alunecă pe bord. Având în vedere că, după clic, pucul se deplasează de-a lungul plăcii spre centrul său, iar forța de frecare glisantă este direcționată antiparalel la viteză, se poate argumenta că placa ar trebui să înceapă să se deplaseze progresiv de-a lungul mesei. Din cele spuse mai sus și legea conservării impulsului (deoarece placa este pe un plan orizontal neted) rezultă că viteza șaibei imediat după clic tu w, viteza ei v w și viteza plăcii V d în momentul alunecării șaibele trebuie să satisfacă raportul

... O alunecare mobilă netedă cu o masă detu w \u003d M V d + ... O alunecare mobilă netedă cu o masă dev w, (1)

unde ... O alunecare mobilă netedă cu o masă de este masa mașinii de spălat și M este masa plăcii, dacă tu w\u003e tu... Dacă tu w ≤ tu, apoi, în funcție de starea problemei, pucul nu alunecă de pe tablă și, prin urmare, după o perioadă de timp suficient de lungă, viteza plăcii și a pucului ar trebui să devină egale. Presupunând, ca de obicei, valoarea forței de frecare pe alunecare uscată nu depinde de viteză, neglijând dimensiunea șaibei și ținând cont de faptul că mișcarea șaibei față de placă în momentul alunecării nu depinde de viteza inițială a acesteia, ținând seama de cele de mai sus și pe baza legii schimbării energiei mecanice, cu ce tu w ≥ tu

mu w 2/2 \u003d MV d 2/2 + ... O alunecare mobilă netedă cu o masă deCu 2/2 + A, (2)

unde ȘI - lucrați împotriva forțelor de frecare și la tu w\u003e tu V d< v w, și la tu w \u003d tu V d \u003d v SH. Având în vedere că prin condiție M/... O alunecare mobilă netedă cu o masă de=k, de la (1) și (2) pentru tu w \u003d tu după transformări algebrice obținem

iar de la la tu w \u003d nu rezultă din (1) că

w 2 \u003d n 2 și 2 + k 2 V d 2 - 2 nk și V d (4)

viteza de bord necesară trebuie să satisfacă ecuația

k(k + 1) V d 2 - 2 nk și V d + k și 2 /(k + 1) = 0. (5)

Evident, pentru n→ ∞ timpul de interacțiune al pucului cu placa ar trebui să tindă la zero și, prin urmare, viteza dorită a plăcii ca n (după ce depășește o anumită valoare critică) ar trebui să scadă (în limita la zero). Prin urmare, dintre cele două solutii posibile ecuația (5) satisface condițiile problemei

Vibrații libere comise sub influență forțe interne după ce sistemul a fost scos din echilibru.

Pentru avibrațiile libere au fost efectuate conform unei legi armonice, este necesar ca forța care se străduiește să readucă corpul în poziția de echilibru să fie proporțională cu deplasarea corpului din poziția de echilibru și să fie direcționată în direcția opusă deplasării (a se vedea §2.1):

Se numesc forțe de orice altă natură fizică care îndeplinesc această condiție cvasi-elastic .

Astfel, o sarcină de o anumită masă ... O alunecare mobilă netedă cu o masă deatașat de un arc rigid k, celălalt capăt al acestuia fiind fixat nemișcat (Fig. 2.2.1), constituie un sistem capabil să efectueze oscilații armonice libere în absența fricțiunii. Se cheamă încărcarea arcului armonic liniar oscilator.

Frecvența circulară ω 0 a vibrațiilor libere ale sarcinii pe arc se găsește din a doua lege a lui Newton:

Cu dispunerea orizontală a sistemului de sarcină cu arc, forța de greutate aplicată sarcinii este compensată de forța de reacție a suportului. Dacă sarcina este suspendată de un arc, atunci forța de greutate este direcționată de-a lungul liniei de mișcare a sarcinii. În poziția de echilibru, arcul este întins de x 0 egal cu

Prin urmare, a doua lege a lui Newton pentru o sarcină pe un arc poate fi scrisă în formă

Ecuația (*) se numește ecuația vibrației libere ... Trebuie remarcat faptul că proprietățile fizice ale sistemului oscilator determinați doar frecvența naturală a oscilațiilor ω 0 sau perioada T ... Acești parametri ai procesului de oscilație precum amplitudinea x m și faza inițială φ 0 sunt determinate de metoda prin care sistemul a fost scos din echilibru în momentul inițial de timp.

Dacă, de exemplu, sarcina a fost deplasată din poziția de echilibru cu o distanță Δ l și apoi la timp t \u003d 0 eliberat fără viteza inițială, atunci x m \u003d Δ l, φ 0 \u003d 0.

Dacă, pe de altă parte, viteza inițială ± υ 0 a fost dată sarcinii, care era în echilibru, cu ajutorul unei scuturări ascuțite, atunci,

Astfel, amplitudinea x m de oscilații libere și faza sa inițială φ 0 sunt determinate condiții inițiale .

Există multe tipuri de sisteme de vibrații mecanice care utilizează forțe elastice de deformare. În fig. 2.2.2 prezintă un analog unghiular al unui oscilator armonic liniar. Un disc situat orizontal atârnă de un fir elastic fixat în centrul său de masă. Când discul se rotește printr-un unghi θ, apare un moment de forțe M controlul elastic al deformării la torsiune:

unde Eu = Eu C este momentul de inerție al discului față de axa care trece prin centrul de masă, ε este accelerația unghiulară.

Prin analogie cu o greutate pe un arc, puteți obține:

Vibrații libere. Pendul matematic

Un pendul matematic se numește un corp de dimensiuni mici, suspendat pe un fir subțire inextensibil, a cărui masă este neglijabilă în comparație cu masa corpului. În poziția de echilibru, atunci când pendulul atârnă de-a lungul unei linii de plumb, forța de greutate este echilibrată de forța de tensiune de pe fir. Când pendulul este deviat de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare componenta tangentă a gravitației F τ = - mg sin φ (Fig. 2.3.1). Semnul minus din această formulă înseamnă că componenta tangentă este direcționată în direcția opusă deflexiei pendulului.

Dacă notăm prin x deplasarea liniară a pendulului din poziția de echilibru de-a lungul unui arc al unui cerc de rază l, atunci deplasarea sa unghiulară va fi egală cu φ \u003d x / l... A doua lege a lui Newton, scrisă pentru proiecțiile vectorilor de accelerație și forță pe direcția tangentei, dă:

Această relație arată că pendulul matematic este un complex neliniar sistemul, deoarece forța care tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru este proporțională nu cu deplasarea x, și

Numai în caz mici fluctuațiicând aproximativ poate fi înlocuit cu un pendul matematic este un oscilator armonic, adică un sistem capabil să efectueze oscilații armonice. În practică, această aproximare este valabilă pentru unghiuri de ordinul 15-20 °; în acest caz, valoarea diferă de cel mult 2%. Oscilațiile pendulului la amplitudini mari nu sunt armonice.

Pentru micile oscilații ale unui pendul matematic, a doua lege a lui Newton este scrisă în formă

Această formulă exprimă frecvența naturală a micilor oscilații ale unui pendul matematic .

Prin urmare,

Orice corp plantat pe axa orizontală de rotație este capabil să efectueze oscilații libere în câmpul gravitațional și, prin urmare, este, de asemenea, un pendul. Un astfel de pendul se numește de obicei fizic (fig. 2.3.2). Se diferențiază de matematică doar prin distribuția maselor. Într-o poziție de echilibru stabil, centrul de masă C pendulul fizic este situat sub axa de rotație O pe verticala care trece prin axă. Când pendulul este deviat de un unghi φ, apare un moment de gravitație, având tendința de a readuce pendulul în poziția de echilibru:

iar a doua lege a lui Newton pentru un pendul fizic ia forma (vezi §1.23)

Aici ω 0 - frecvența naturală a micilor oscilații ale unui pendul fizic .

Prin urmare,

Prin urmare, ecuația care exprimă a doua lege a lui Newton pentru un pendul fizic poate fi scrisă în formă

În cele din urmă, pentru frecvența circulară ω 0 a oscilațiilor libere ale unui pendul fizic, se obține următoarea expresie:

Transformări de energie în timpul vibrațiilor mecanice libere

Cu vibrații mecanice libere, energiile cinetice și potențiale se schimbă periodic. La abaterea maximă a corpului de la poziția de echilibru, viteza acestuia și, în consecință, energia cinetică dispar. În această poziție, energia potențială a corpului vibrator atinge valoarea maximă. Pentru o sarcină pe arc, energia potențială este energia de deformare elastică a arcului. Pentru un pendul matematic, aceasta este energie în câmpul gravitațional al Pământului.

Când corpul trece prin poziția de echilibru în timpul mișcării sale, viteza sa este maximă. Corpul sare peste poziția de echilibru conform legii inerției. În acest moment, are energia cinetică maximă și energia potențială minimă. O creștere a energiei cinetice are loc datorită scăderii energiei potențiale. Odată cu mișcarea suplimentară, energia potențială începe să crească datorită scăderii energiei cinetice etc.

Astfel, cu oscilațiile armonice, există o transformare periodică a energiei cinetice în energie potențială și invers.

Dacă nu există frecare în sistemul oscilator, atunci energia mecanică totală în timpul oscilațiilor libere rămâne neschimbată.

Pentru sarcina arcului (vezi §2.2):

În condiții reale, orice sistem oscilator se află sub influența forțelor de frecare (rezistență). În acest caz, o parte din energia mecanică este convertită în energie internă a mișcării termice a atomilor și moleculelor, iar vibrațiile devin în descompunere (fig. 2.4.2).

Rata de amortizare a vibrațiilor depinde de amploarea forțelor de frecare. Interval de timp τ în care amplitudinea oscilațiilor scade cu e ≈ de 2,7 ori, numit timpul decăderii .

Frecvența vibrațiilor libere depinde de rata de amortizare a vibrațiilor. Odată cu creșterea forțelor de frecare, frecvența naturală scade. Cu toate acestea, schimbarea frecvenței naturale devine vizibilă doar la forțe de frecare suficient de mari, atunci când oscilațiile naturale se degradează rapid.

O caracteristică importantă a unui sistem oscilator care efectuează oscilații amortizate libere este factor de calitate Î... Acest parametru este definit ca un număr N oscilații totale realizate de sistem în timpul de amortizare τ, înmulțit cu π:

Astfel, cifra meritului caracterizează pierderea relativă de energie a sistemului oscilator datorită prezenței fricțiunii pe un interval de timp egal cu o perioadă de oscilație.

Vibrații forțate. Rezonanţă. Auto-oscilații

Se numesc oscilații care apar sub influența unei forțe periodice externe forţat.

O forță externă funcționează pozitiv și oferă un flux de energie către sistemul oscilator. Previne amortizarea vibrațiilor, în ciuda acțiunii forțelor de frecare.

Forța externă periodică se poate schimba în timp în conformitate cu diferite legi. Un interes deosebit este cazul când o forță externă, care se schimbă armonic cu frecvența ω, acționează asupra unui sistem oscilator capabil să efectueze oscilații naturale la o anumită frecvență ω 0.

Dacă oscilațiile libere apar la o frecvență ω 0, care este determinată de parametrii sistemului, atunci oscilațiile forțate constante apar întotdeauna la frecvența ω a forței externe.

După începutul influenței unei forțe externe asupra sistemului oscilator, durează ceva timp Δ t pentru a stabili oscilații forțate. Timpul de decantare în ordinea mărimii este egal cu timpul de decădere τ a oscilațiilor libere din sistemul oscilator.

În momentul inițial, ambele procese sunt excitate în sistemul oscilator - oscilații forțate la frecvența ω și oscilații libere la frecvența naturală ω 0. Dar vibrațiile libere se amortizează datorită prezenței inevitabile a forțelor de frecare. Prin urmare, după un timp, în sistemul oscilator rămân doar oscilații staționare la frecvența ω a forței motrice externe.

Luați în considerare, de exemplu, vibrațiile forțate ale unui corp pe un arc (Fig. 2.5.1). O forță externă este aplicată la capătul liber al arcului. Face ca capătul liber (stânga din Fig.2.5.1) al arcului să se miște conform legii

Dacă capătul stâng al arcului este compensat de o distanță y, și cel potrivit - la distanță x din poziția lor inițială, când arcul a fost nedeformat, atunci alungirea arcului Δ l la fel de:

În această ecuație, forța care acționează asupra corpului este reprezentată ca doi termeni. Primul termen din dreapta este forța elastică care tinde să readucă corpul în poziția de echilibru ( x \u003d 0). Al doilea termen este un efect periodic extern asupra corpului. Acest termen se numește forță convingătoare.

Ecuația care exprimă a doua lege a lui Newton pentru un corp pe un arc în prezența unei acțiuni periodice externe poate primi o formă matematică riguroasă dacă luăm în considerare relația dintre accelerația corpului și coordonata acestuia: Apoi va fi scris ca

Ecuația (**) nu ia în considerare acțiunea forțelor de frecare. Spre deosebire de ecuații de vibrații libere (*) (a se vedea §2.2) ecuația vibrației forțate (**) conține două frecvențe - frecvența ω 0 a oscilațiilor libere și frecvența ω a forței motrice.

Vibrațiile forțate în stare de echilibru ale sarcinii pe arc apar la frecvența influenței externe conform legii

x(t) = x m cos (ω t + θ).

Amplitudine forțată a vibrațiilor x m și faza inițială θ depind de raportul frecvențelor ω 0 și ω și de amplitudine y m de forță externă.

La frecvențe foarte mici, când when<< ω 0 , движение тела массой ... O alunecare mobilă netedă cu o masă deatașat la capătul drept al arcului urmează mișcarea capătului stâng al arcului. Unde x(t) = y(t), iar arcul rămâne practic nedeformat. Forța externă aplicată la capătul stâng al arcului nu efectuează funcționare, deoarece modulul acestei forțe la ω<< ω 0 стремится к нулю.

Dacă frecvența ω a forței externe se apropie de frecvența naturală ω 0, are loc o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate. Acest fenomen se numește rezonanţă ... Dependența de amplitudine x m se numesc oscilații forțate de la frecvența ω a forței motrice caracteristică rezonantă sau curba de rezonanță (fig. 2.5.2).

La rezonanță, amplitudinea x fluctuațiile m ale sarcinii pot fi de multe ori mai mari decât amplitudinea y m vibrații ale capătului liber (stânga) al arcului, cauzate de acțiunea externă. În absența fricțiunii, amplitudinea oscilațiilor forțate la rezonanță ar trebui să crească la nesfârșit. În condiții reale, amplitudinea oscilațiilor forțate în stare staționară este determinată de condiția: munca forței externe în timpul perioadei de oscilație trebuie să fie egală cu pierderea de energie mecanică în același timp din cauza fricțiunii. Cu cât este mai puțin frecat (adică, cu atât este mai mare factorul Q Î sistem oscilator), cu atât este mai mare amplitudinea oscilațiilor forțate la rezonanță.

Pentru sistemele oscilatorii cu un factor Q nu foarte mare (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Fenomenul rezonanței poate provoca distrugerea podurilor, clădirilor și a altor structuri, dacă frecvențele naturale ale oscilațiilor lor coincid cu frecvența unei forțe care acționează periodic, apărând, de exemplu, datorită rotației unui motor dezechilibrat.

Vibrațiile forțate sunt neamortizat fluctuații. Pierderile inevitabile de energie datorate fricțiunii sunt compensate prin furnizarea de energie dintr-o sursă externă de forță care acționează periodic. Există sisteme în care oscilațiile susținute apar nu datorită influențelor externe periodice, ci ca urmare a capacității acestor sisteme de a regla fluxul de energie dintr-o sursă constantă. Astfel de sisteme sunt numite auto-oscilant, iar procesul de oscilații susținute în astfel de sisteme este auto-oscilații ... Într-un sistem auto-oscilant, se pot distinge trei elemente caracteristice - un sistem oscilator, o sursă de energie și un dispozitiv de feedback între sistemul oscilator și sursă. Orice sistem mecanic capabil să efectueze oscilații naturale amortizate (de exemplu, un pendul cu ceas de perete) poate fi utilizat ca sistem oscilator.

Sursa de energie poate fi deformarea arcului sau energia potențială a sarcinii în câmpul gravitațional. Un dispozitiv de feedback este un mecanism prin care un sistem auto-oscilant reglează fluxul de energie dintr-o sursă. În fig. 2.5.3 prezintă o diagramă a interacțiunii diferitelor elemente ale unui sistem auto-oscilant.

Un exemplu de sistem mecanic auto-oscilant este un mecanism cu ceas ancoră accident vascular cerebral (Fig. 2.5.4). Roata rulantă cu dinți elicoidali este fixată rigid de un tambur dințat, prin care se aruncă un lanț cu o greutate. La capătul superior al pendulului este fixat ancoră (ancora) cu două plăci de material solid, curbate într-un arc circular centrat pe axa pendulului. În ceasurile de mână, greutatea este înlocuită cu un arc, iar pendulul este înlocuit cu o bară de echilibru - o roată de mână fixată pe un arc spiralat. Echilibrorul efectuează vibrații de torsiune în jurul axei sale. Sistemul oscilant dintr-un ceas este un pendul sau o bară de echilibru.

Sursa de energie este o greutate ridicată în sus sau un arc înfășurat. Dispozitivul de feedback este o ancoră care permite roții de deplasare să se rotească cu un dinte într-un semiciclu. Feedbackul este oferit de interacțiunea ancorei cu roata de deplasare. Cu fiecare oscilație a pendulului, dintele roții de deplasare împinge furca de ancorare în direcția de mișcare a pendulului, transferându-i o porțiune de energie, care compensează pierderile de energie cauzate de frecare. Astfel, energia potențială a greutății (sau a arcului răsucit) este transferată treptat în pendul în porțiuni separate.

Sistemele mecanice auto-oscilante sunt răspândite în viața din jurul nostru și în tehnologie. Auto-oscilațiile sunt efectuate de motoarele cu aburi, motoarele cu ardere internă, clopotele electrice, corzile instrumentelor muzicale înclinate, coloanele de aer din conductele instrumentelor de suflat, corzile vocale atunci când vorbim sau cântăm etc.

Figura 2.5.4. Ceasornicar cu pendul.