Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea unor astfel de valori ale necunoscutului pentru care egalitatea va fi adevărată.
Soluție de ecuație
- Să reprezentăm ecuația în următoarea formă:
2x * x - 3 * x \u003d 0.
- Vedem că termenii ecuației din partea stângă au un factor comun x. Să o scoatem din paranteze și să o notăm:
x * (2x - 3) \u003d 0.
- Expresia rezultată este produsul factorilor x și (2x - 3). Reamintim că produsul este egal cu 0 dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu 0. Deci, putem scrie egalitățile:
x \u003d 0 sau 2x - 3 \u003d 0.
- Deci una dintre rădăcinile ecuației inițiale este x 1 \u003d 0.
- Găsiți a doua rădăcină rezolvând ecuația 2x - 3 \u003d 0.
În această expresie, 2x este scăderea, 3 este scăzut, 0 este diferența. Pentru a găsi scăderea, este necesar să adăugați scăderea la diferență:
În ultima expresie, 2 și x sunt factori, 3 este produsul. Pentru a găsi un factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut:
Astfel, am găsit a doua rădăcină a ecuației: x 2 \u003d 1,5.
Verificarea corectitudinii soluției
Pentru a afla dacă ecuația este rezolvată corect, este necesar să înlocuiți valorile numerice ale lui x și să efectuați operațiile aritmetice necesare. Dacă, ca urmare a calculelor, se dovedește că laturile stânga și dreapta ale expresiei au aceeași valoare, atunci ecuația este rezolvată corect.
Sa verificam:
- Calculăm valoarea expresiei originale la x 1 \u003d 0 și obținem:
2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,
0 \u003d 0, corect.
- Calculăm valoarea expresiei la x 2 \u003d 0 și obținem:
2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,
2 * 2,25 - 4,5 = 0,
0 \u003d 0, corect.
- Deci ecuația este rezolvată corect.
Răspuns: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1,5.
Rezolvați ecuația x 2 + (1-x) 2 \u003d x
Dovediți că nu există numere întregi care cresc de 5 ori de la permutarea cifrei inițiale la sfârșit.
Într-un anumit regat, fiecare doi sunt fie prieteni, fie dușmani. Fiecare persoană poate la un moment dat să se certe cu toți prietenii și să facă pace cu toți dușmanii. S-a dovedit că la fiecare trei oameni pot deveni prieteni în acest fel. Dovediți că atunci toți oamenii din această împărăție pot deveni prieteni.
Într-un triunghi, una dintre mediane este perpendiculară pe una din bisectoare. Dovediți că una dintre laturile acestui triunghi este de două ori mai mare decât cealaltă.
Sarcini pentru olimpiada districtuală (oraș) a școlarilor la matematică.
La tragerea la țintă, sportivul a eliminat doar 8,9 și 10 puncte. În total, după ce a făcut mai mult de 11 lovituri, a eliminat exact 100 de puncte. Câte lovituri a tras sportivul și care au fost loviturile?
Dovediți adevărul inegalității:
3. Rezolvați ecuația:
Găsiți un număr din trei cifre care scade de 7 ori după ce cifra din mijloc este tăiată.
În triunghiul ABC, bisectoarele sunt trasate din vârfurile A și B. Apoi, drepte paralele cu aceste bisectoare sunt trasate din vârful C. Punctele D și E ale intersecției acestor drepte cu bisectoare sunt conectate. S-a dovedit că liniile drepte DE și AB sunt paralele. Dovediți că triunghiul ABC este isoscel.
Sarcini pentru olimpiada districtuală (oraș) a școlarilor la matematică.
Rezolvați sistemul de ecuații:
Pe laturile AB și HELL ale paralelogramului AVSD se iau punctele E și respectiv K astfel încât segmentul EK să fie paralel cu diagonala VD. Dovediți că ariile triunghiurilor ALL și SDK sunt egale.
S-a decis așezarea grupului de turiști în autobuze, astfel încât fiecare autobuz să aibă același număr de pasageri. La început, 22 de persoane erau puse pe fiecare autobuz, dar s-a dovedit că nu era posibil să stai un turist. Când un autobuz a plecat gol, toți turiștii s-au urcat în mod egal în autobuzele rămase. Câte autobuze erau inițial și câți turiști erau în grup, dacă se știe că fiecare autobuz nu poate găzdui mai mult de 32 de persoane?
Sarcini pentru olimpiada districtuală (oraș) a școlarilor la matematică.
Rezolvați sistemul de ecuații:
Dovediți că cele patru distanțe de la un punct de pe un cerc până la vârful unui pătrat înscris în el nu pot fi numere raționale în același timp.
Posibile soluții la probleme
1. Răspuns: x \u003d 1, x \u003d 0,5
Rearanjarea cifrei de început până la sfârșit nu va schimba semnificația numărului. În acest caz, în funcție de starea problemei, ar trebui obținut un număr care este de 5 ori mai mare decât primul număr. Prin urmare, prima cifră a numărului necesar ar trebui să fie egală cu 1 și numai 1. (deoarece dacă prima cifră este de 2 sau mai mult, atunci valoarea se va schimba, 2 * 5 \u003d 10). Când se rearanjează 1 la sfârșit, numărul rezultat se termină în 1, prin urmare nu este divizibil cu 5.
Rezultă din condiția că, dacă A și B sunt prieteni, atunci C este fie dușmanul lor comun, fie un prieten comun (altfel cei trei nu vor fi împăcați). Să-i luăm pe toți prietenii omului A. Rezultă din cele spuse că toți sunt prietenoși între ei și sunt dușmăniți cu restul. Acum lasă-l pe A și prietenii săi să se certe pe rând cu prietenii și să facă pace cu dușmanii. După aceea, toată lumea va fi prietenă.
Într-adevăr, să fie A primul care să se certe cu prietenii săi și să facă pace cu dușmanii, dar apoi fiecare dintre foștii săi prieteni se va împăca cu el, iar foștii dușmani vor rămâne prieteni. Deci, toți oamenii se dovedesc a fi prieteni ai lui A și, în consecință, prieteni unii cu alții.
Numărul 111 este divizibil cu 37, deci suma numită este, de asemenea, divizibilă cu 37.
După condiție, numărul este divizibil cu 37, deci suma
Divizibil cu 37.
Rețineți că mediana și bisectoarea indicate nu pot ieși dintr-un vârf, deoarece altfel unghiul de la acest vârf ar fi mai mare de 180 0. Acum, lăsați în triunghiul ABC bisectoarea AD și mediana CE să se intersecteze în punctul F. Atunci AF este bisectoarea și înălțimea din triunghiul ACE, ceea ce înseamnă că acest triunghi este isoscel (AC \u003d AE) și, din moment ce CE este mediana, atunci AB \u003d 2AE și, prin urmare, AB \u003d 2AC.
Posibile soluții la probleme
1. Răspuns: 9 fotografii de 8 puncte,
2 fotografii de 9 puncte,
1 lovitură pentru 10 puncte.
Lasa x împușcăturile au fost trase de un atlet, eliminând 8 puncte, y fotografii de 9 puncte, z lovituri de 10 puncte. Apoi puteți crea un sistem:
Folosind prima ecuație a sistemului, scriem:
Din acest sistem rezultă că x+ y+ z=12
Înmulțiți a doua ecuație cu (-8) și adăugați la prima. Obținem asta y+2 z=4 de unde y=4-2 z, y=2(2- z) ... Prin urmare, la - un număr par, adică y \u003d 2tUnde.
Prin urmare,
3. Răspuns: x \u003d -1/2, x \u003d -4
După reducerea fracțiilor la un numitor, obținem
4. Răspuns: 105
Să denotăm prin x, y, z respectiv prima, a doua și a treia cifră ale numărului dorit de trei cifre. Apoi poate fi scris ca. După tăierea cifrei din mijloc, veți obține un număr din două cifre. Prin starea problemei, adică numere necunoscute x, y, z satisface ecuația
7(10 x+ z)=100 x+10 y+ x, care după reducerea termenilor și abrevierilor similare ia forma 3 z=15 x+5 y.
Din această ecuație rezultă că z trebuie să fie divizibil cu 5 și trebuie să fie pozitiv, deoarece prin condiție. Prin urmare, z \u003d 5 și numerele x y satisfaceți ecuația 3 \u003d 3x + y, care, datorită condiției, are o soluție unică x \u003d 1, y \u003d 0. Prin urmare, starea problemei este satisfăcută de singurul număr 105.
Să notăm cu litera F punctul în care liniile AB și CE se intersectează. Deoarece liniile drepte DB și CF sunt paralele, atunci. Având în vedere faptul că BD este bisectoarea unghiului ABC, concluzionăm că. Prin urmare, rezultă că, adică triunghiul BCF este isoscel și BC \u003d BF. Dar rezultă din condiția că patrulaterul BDEF este un paralelogram. Prin urmare, BF \u003d DE și, prin urmare, BC \u003d DE. Se demonstrează într-un mod similar că AC \u003d DE. Acest lucru are ca rezultat egalitatea necesară.
Posibile soluții la probleme
1.
De aici (x + y) 2 = 1 , adică x + y \u003d 1 sau x + y \u003d -1.
Să luăm în considerare două cazuri.
și) x + y \u003d 1... Înlocuind x \u003d 1 - y
b) x + y \u003d -1... După înlocuire x \u003d -1-y
Deci, numai următoarele patru perechi de numere pot fi soluții la sistem: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2). Prin substituirea în ecuațiile sistemului original, ne asigurăm că fiecare dintre aceste patru perechi este o soluție la sistem.
Triunghiurile CDF și BDF au o bază comună FD și înălțimi egale, deoarece liniile BC și AD sunt paralele. Prin urmare, suprafețele lor sunt egale. În mod similar, ariile triunghiurilor BDF și BDE sunt egale, deoarece linia BD este paralelă cu linia EF. Iar ariile triunghiurilor BDE și BCE sunt egale, deoarece AB este paralel cu CD. De aici urmează egalitatea necesară a ariilor triunghiurilor CDF și BCE.
Având în vedere domeniul funcției, să construim un grafic.
Folosind formula 
efectuați transformări ulterioare
Aplicând formulele de adăugare și efectuând alte transformări, obținem
5. Răspuns: 24 de autobuze, 529 de turiști.
Să denotăm prin k numărul inițial de autobuze. Din afirmația problemei rezultă că și că numărul tuturor turiștilor este 22 k +1 ... După plecarea unui autobuz, toți turiștii erau așezați în restul (k-1) autobuze. Prin urmare, numărul 22 k +1 ar trebui să fie împărțit în k-1... Astfel, problema s-a redus la determinarea tuturor numerelor întregi pentru care numărul
Este un număr întreg și satisface inegalitatea (numărul n este egal cu numărul de turiști așezați în fiecare autobuz și, conform declarației problemei, autobuzul nu poate găzdui mai mult de 32 de pasageri).
Numărul va fi întreg numai atunci când numărul este întreg. Acesta din urmă este posibil doar atunci când k=2 și la k=24 .
În cazul în care un k=2 apoi n \u003d 45.
Si daca k=24 apoi n \u003d 23.
Din aceasta și condiție obținem numai asta k=24 satisface toate condițiile problemei.
Prin urmare, existau inițial 24 de autobuze, iar numărul tuturor turiștilor este n (k-1) \u003d 23 * 23 \u003d 529
Posibile soluții la probleme
1. Răspuns:
Atunci ecuația va lua forma:
Avem o ecuație pătratică cu privire la r.
2. Răspuns: (0; 1), (2; -1), (-1; 0), (1; -2)
Adăugând ecuațiile sistemului, obținem sau
De aici (x + y) 2 = 1 , adică x + y \u003d 1 sau x + y \u003d -1.
Să luăm în considerare două cazuri.
și) x + y \u003d 1... Înlocuind x \u003d 1 - y în prima ecuație a sistemului, obținem
b) x + y \u003d -1... După înlocuire x \u003d -1-y în prima ecuație a sistemului, obținem fie
În acest articol vom învăța să rezolvăm ecuații biquadratic.
Deci, ce fel de ecuații se numesc biquadratic?
Tot ecuații ale formei ah 4 +
bx
2
+
c
= 0
Unde a ≠ 0care sunt pătrate față de x 2 și se numesc biquadratic ecuații. După cum puteți vedea, această notație este foarte asemănătoare cu scrierea unei ecuații pătratice, prin urmare, vom rezolva ecuațiile biquadratic folosind formulele pe care le-am folosit pentru a rezolva ecuația pătratică.
Doar noi va trebui să introducem o nouă variabilă, adică denotăm x 2 o altă variabilă, de exemplu la sau t (sau orice altă literă din alfabetul latin).
De exemplu, rezolvați ecuația x 4 + 4x 2 - 5 \u003d 0.
Denotăm x 2
prin la
(x 2 \u003d y
) și obțineți ecuația y 2 + 4y - 5 \u003d 0.
După cum puteți vedea, știți deja cum să rezolvați astfel de ecuații.
Rezolvăm ecuația rezultată:
D \u003d 4 2 - 4 (- 5) \u003d 16 + 20 \u003d 36, √D \u003d √36 \u003d 6.
y 1 \u003d (- 4 - 6) / 2 \u003d - 10/2 \u003d - 5,
y 2 \u003d (- 4 + 6) / 2 \u003d 2/2 \u003d 1.
Să ne întoarcem la variabila noastră x.
Avem x 2 \u003d - 5 și x 2 \u003d 1.
Rețineți că prima ecuație nu are soluții, iar a doua oferă două soluții: x 1 \u003d 1 și x 2 \u003d ‒1. Aveți grijă să nu pierdeți rădăcina negativă (cel mai adesea răspunsul este x \u003d 1, ceea ce nu este corect).
Răspuns: - 1 și 1.
Pentru o mai bună înțelegere a subiectului, vom analiza câteva exemple.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 2x 4 - 5 x 2 + 3 \u003d 0.
Fie x 2 \u003d y, apoi 2y 2 - 5y + 3 \u003d 0.
D \u003d (- 5) 2 - 4 2 3 \u003d 25 - 24 \u003d 1, √D \u003d √1 \u003d 1.
y 1 \u003d (5 - 1) / (2 2) \u003d 4/4 \u003d 1, y 2 \u003d (5 + 1) / (2 2) \u003d 6/4 \u003d 1,5.
Apoi x 2 \u003d 1 și x 2 \u003d 1,5.
Obținem x 1 \u003d ‒1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d - √1.5, x 4 \u003d √1.5.
Răspuns: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Exemplul 2.Rezolvați ecuația 2x 4 + 5 x 2 + 2 \u003d 0.
2y 2 + 5y + 2 \u003d 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 2 \u003d 25 - 16 \u003d 9, √D \u003d √9 \u003d 3.
y 1 \u003d (- 5 - 3) / (2 2) \u003d - 8/4 \u003d ‒2, y 2 \u003d (‒5 + 3) / (2 2) \u003d - 2/4 \u003d - 0,5.
Apoi x 2 \u003d - 2 și x 2 \u003d - 0,5. Vă rugăm să rețineți că niciuna dintre aceste ecuații nu are o soluție.
Răspuns: fără soluții.
Ecuații biquadratice incomplete - este când b = 0 (ax 4 + c \u003d 0) sau c = 0
(ax 4 + bx 2 \u003d 0) rezolvați ca ecuații pătratice incomplete.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația x 4 - 25x 2 \u003d 0
Să factorizăm, punem x 2 în afara parantezelor și apoi x 2 (x 2 - 25) \u003d 0.
Obținem x 2 \u003d 0 sau x 2 - 25 \u003d 0, x 2 \u003d 25.
Atunci avem rădăcini 0; 5 și - 5.
Răspuns: 0; 5; – 5.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 5x 4 - 45 \u003d 0.
x 2 \u003d - √9 (nu are soluții)
x 2 \u003d √9, x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.
După cum puteți vedea, știind cum să rezolvați ecuațiile pătratice, puteți face față ecuațiilor biquadratice.
Dacă mai aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele. Repetiție Valentina Galinevskaya.
site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
Se încarcă ...