Să începem acest articol cu \u200b\u200bo prezentare generală a definițiilor și conceptelor necesare.
După aceea, să trecem la scrierea ecuației liniei tangente și să oferim soluții detaliate celor mai tipice exemple și probleme.
În concluzie, ne vom opri asupra găsirii ecuației tangentei la curbele de ordinul doi, adică la un cerc, elipsă, hiperbolă și parabolă.
Navigare în pagină.
Definiții și concepte.
Definiție.
Unghiul de înclinare al unei linii drepte y \u003d kx + b este unghiul măsurat de la direcția pozitivă a abscisei la dreapta y \u003d kx + b în direcția pozitivă (adică în sens invers acelor de ceasornic).
În figură, direcția pozitivă a axei absciselor este prezentată de o săgeată verde orizontală, direcția pozitivă a unghiului este arătată printr-un arc verde, o linie dreaptă este arătată printr-o linie albastră, iar panta unei linii drepte este arătată printr-un arc roșu.
Definiție.
Panta unei linii drepte y \u003d kx + b se numește coeficientul numeric k.
Panta unei linii drepte este egală cu tangenta pantei unei linii drepte, adică.
Definiție.
Direct AB desenat prin două puncte ale graficului funcției y \u003d f (x) se numește secantă... Cu alte cuvinte, secantă Este o linie dreaptă care trece prin două puncte ale graficului funcțional.
În figură, linia secantă AB este prezentată printr-o linie albastră, graficul funcției y \u003d f (x) este prezentat printr-o curbă neagră, unghiul de înclinare a secantei este prezentat printr-un arc roșu.
Dacă luăm în considerare faptul că panta unei drepte este egală cu tangenta unghiului de înclinare (acest lucru a fost discutat mai sus) și tangenta unghiului în triunghi dreptunghic ABC este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent (aceasta este definiția tangentei unghiului), atunci o serie de egalități va fi valabilă pentru secanta noastră 
, unde sunt abscisele punctelor A și B, 
- valorile funcției corespunzătoare.
Adică, panta secantă este definit de egalitate 
sau 
, și ecuație secantă scris în formă 
sau 
(consultați secțiunea dacă este necesar).
Linia secantă împarte graficul funcțional în trei părți: la stânga punctului A, de la A la B și la dreapta punctului B, deși poate avea mai mult de două puncte comune cu graficul funcțional.
Figura de mai jos prezintă trei secante de fapt diferite (punctele A și B sunt diferite), dar coincid și sunt date de aceeași ecuație.
Nu am întâlnit niciodată conversații despre o linie secantă pentru o linie dreaptă. Dar totuși, dacă pornim de la definiție, atunci linia dreaptă și linia sa secantă coincid.
În unele cazuri, secanta poate avea un număr infinit de puncte de intersecție cu graficul funcțional. De exemplu, secanta definită de ecuația y \u003d 0 are un număr infinit de puncte comune cu o undă sinusoidală.
Definiție.
Tangenta graficului funcției y \u003d f (x) în punct se numește o linie dreaptă care trece printr-un punct, cu un segment al cărui grafic al funcției fuzionează practic la valori de x în mod arbitrar apropiate de.
Să explicăm această definiție cu un exemplu. Să arătăm că linia y \u003d x + 1 este tangentă la graficul funcției din punctul (1; 2). Pentru a face acest lucru, vom arăta graficele acestor funcții atunci când ne apropiem de punctul de tangență (1; 2). Graficul funcției este afișat în negru, linia tangentă este indicată de linia albastră, punctul tangent este indicat de punctul roșu.
Fiecare desen ulterior este o zonă mărită a celei anterioare (aceste zone sunt marcate cu pătrate roșii).
Se vede clar că aproape de punctul de tangență, graficul funcției fuzionează practic cu linia tangentă y \u003d x + 1.
Acum să trecem la o definiție mai semnificativă a tangentei.
Pentru a face acest lucru, vom arăta ce se va întâmpla cu secanta AB dacă punctul B este infinit abordat la punctul A.
Figura de mai jos ilustrează acest proces.
Secanta AB (arătată de linia punctată albastră) va tinde să ia poziția liniei tangente (prezentată de linia continuă albastră), unghiul de înclinare a secantei (arătat de arcul punctat roșu) va tinde spre unghiul de înclinare al tangentei (arătat de arcul roșu solid).
Definiție.
În acest fel, tangentă la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul A Poziția limitativă a secantei AB este la.
Acum putem continua să descriem semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct.
Semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct.
Luați în considerare linia de tăiere AB a graficului funcției y \u003d f (x) astfel încât punctele A și B să aibă coordonate și 
, unde este creșterea argumentului. Să notăm prin creșterea funcției. Să marcăm totul în desen:
Din triunghiul unghiular ABC avem. Deoarece, prin definiție, tangenta este poziția limitativă a secantei, atunci 
.
Reamintim definiția derivatei unei funcții într-un punct: derivata unei funcții y \u003d f (x) într-un punct este limita raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului la, notat 
.
Prin urmare, 
, unde este panta tangentei.
Astfel, existența derivatei funcției y \u003d f (x) într-un punct este echivalentă cu existența unei tangente la graficul funcției y \u003d f (x) la punctul de tangență și panta tangentei este egală cu valoarea derivatei la punct , adică
Încheiem: sensul geometric al derivatei unei funcții într-un punct constă în existența unei tangente la graficul funcției în acest moment.
Ecuația liniei tangente.
Pentru a scrie ecuația oricărei drepte pe un plan, este suficient să îi cunoaștem panta și punctul prin care trece. Linia tangentă trece prin punctul de tangență și panta sa pentru funcția diferențiată este egală cu valoarea derivatei la punct. Adică, din punctul în care putem lua toate datele pentru a scrie ecuația liniei tangente.
Ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d f (x) în punct are forma.
Presupunem că există o valoare finită a derivatei, altfel linia tangentă este fie verticală (dacă 
și 
), sau nu există (dacă 
).
În funcție de pantă, tangenta poate fi paralelă cu abscisa (), paralelă cu ordonata (în acest caz, ecuația tangentei va arăta ca), crește () sau scade ().
Este timpul să oferim câteva exemple de clarificare.
Exemplu.
Echivalează tangenta cu graficul unei funcții 
în punctul (-1; -3) și determinați unghiul de înclinare.
Decizie.
Funcția este definită pentru toate numerele reale (consultați articolul dacă este necesar). Deoarece (-1; -3) este punctul de contact, atunci 
.
Găsim derivata (pentru aceasta, materialul articolului diferențiind o funcție, găsirea derivatei poate fi utilă) și calculăm valoarea acesteia la punctul: 
Deoarece valoarea derivatei la punctul de tangență este panta tangentei și este egală cu tangenta unghiului de înclinare, atunci 
.
Prin urmare, unghiul de înclinare al liniei tangente este 
, iar ecuația liniei tangente are forma 
Ilustrație grafică.
Graficul funcției originale este afișat în negru, linia tangentă este afișată printr-o linie albastră, punctul tangent este afișat printr-un punct roșu. Figura din dreapta este o zonă mărită indicată de pătratul punctat roșu din figura din stânga.
Exemplu.
Aflați dacă există o funcție tangentă la grafic 
la punctul (1; 1), dacă da, trageți ecuația și determinați unghiul pantei sale.
Decizie.
Domeniul unei funcții este întregul set de numere reale.
Găsiți derivatul: 
Când derivatul nu este definit, dar 
și 
, prin urmare, la punctul (1; 1) există o linie tangentă verticală, ecuația sa are forma x \u003d 1, iar unghiul de înclinare este.
Ilustrație grafică.
Exemplu.
Găsiți toate punctele grafului funcției la care:
a) tangenta nu există; b) tangenta este paralela cu abscisa; c) tangenta este paralelă cu linia dreaptă.
Decizie.
Ca întotdeauna, începem cu scopul funcției. În exemplul nostru, funcția este definită pe întregul set de numere reale. Să extindem semnul modulului, pentru aceasta luăm în considerare două intervale și: 
Să diferențiem funcția: 
Cand derivata x \u003d -2 nu există, deoarece limitele unilaterale în acest moment nu sunt egale: 
Astfel, calculând valoarea funcției la x \u003d -2, putem da un răspuns la punctul a): tangenta la graficul funcției nu există la punctul (-2; -2).
b) Tangenta este paralelă cu abscisa dacă panta sa este egal cu zero (panta este zero). pentru că 
, atunci trebuie să găsim toate valorile lui x la care deriva funcția dispare. Aceste valori vor fi abscisele punctelor de tangență la care tangenta este paralelă cu axa Ox.
Când rezolvăm ecuația 
, și la - ecuația 
:
Rămâne să calculați valorile corespunzătoare ale funcției: 
Prin urmare, 
- punctele necesare ale graficului funcțional.
Ilustrație grafică.
Graficul funcției originale este reprezentat de o linie neagră, punctele roșii marchează punctele găsite în care tangențele sunt paralele cu axa abscisei.
c) Dacă două linii drepte pe plan sunt paralele, atunci pantele lor sunt egale (despre acest lucru este scris în articol). Pe baza acestei afirmații, trebuie să găsim toate punctele grafului funcției la care panta tangentei este de opt cincimi. Adică, trebuie să rezolvăm ecuația. Astfel, la rezolvăm ecuația 
, și la - ecuația 
.
Discriminantul primei ecuații este negativ, prin urmare, nu are rădăcini reale: 
A doua ecuație are două rădăcini reale: 
Găsim valorile corespunzătoare ale funcției: 
La puncte 
funcțiile tangente graficului sunt paralele cu linia dreaptă.
Ilustrație grafică.
Graficul funcției este prezentat ca o linie neagră, linia roșie arată graficul unei linii drepte, liniile albastre arată tangențele la graficul funcției în puncte .
Pentru funcții trigonometrice datorită periodicității lor, pot exista infinit de multe linii tangente având un unghi de înclinare (aceeași pantă).
Exemplu.
Scrieți ecuațiile tuturor tangențelor la graficul funcției 
care sunt perpendiculare pe linie.
Decizie.
Pentru a face ecuația tangentei la graficul funcției, trebuie doar să îi cunoaștem panta și coordonatele punctului de tangență.
Găsim panta tangențelor din: produsul pantei liniilor perpendiculare este egal cu minus una, adică. Deoarece prin condiție panta liniei perpendiculare este egală, atunci 
.
Să începem să găsim coordonatele punctelor de tangență. Mai întâi, găsim abscise, apoi calculăm valorile corespunzătoare ale funcției - acestea vor fi ordonatele punctelor de contact.
Când am descris semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct, am observat că. Din această egalitate găsim abscisele punctelor de tangență. 
Ajungem la ecuația trigonometrică. Vă rugăm să fiți atenți la el, deoarece îl vom folosi mai târziu la calcularea ordonatelor punctelor de atingere. O rezolvăm (în caz de dificultăți, consultați secțiunea soluție de ecuații trigonometrice):
S-au găsit abscisele punctelor de atingere, să calculăm ordonatele corespunzătoare (aici folosim egalitatea, căreia am cerut să o acordăm puțin mai mare): 
Astfel, - toate punctele de atingere. Prin urmare, ecuațiile căutate pentru tangente sunt: 
Ilustrație grafică.
Curba neagră arată graficul funcției originale pe segmentul [-10; 10], liniile albastre arată linii tangente. Se vede clar că sunt perpendiculare pe linia roșie. Punctele de atingere sunt marcate cu puncte roșii.
Tangent la un cerc, elipsa, hiperbola, parabola.
Până în acest moment, am fost angajați în găsirea ecuațiilor tangente la graficele funcțiilor cu valoare unică de forma y \u003d f (x) în diferite puncte. Ecuații canonice curbele de ordinul doi nu sunt funcții cu o singură valoare. Dar putem reprezenta un cerc, o elipsă, o hiperbolă și o parabolă printr-o combinație de două funcții cu o singură valoare și numai după aceea compunem ecuațiile tangențelor conform unei scheme bine cunoscute.
Linia tangentă la cerc.
Cerc centrat în punct 
iar raza R este dată de egalitate.
Să scriem această egalitate ca o uniune de două funcții: 
Aici prima funcție corespunde semicercului superior, a doua cu cea inferioară.
Astfel, pentru a forma ecuația tangentei la cerc într-un punct aparținând semicercului superior (sau inferior), găsim ecuația tangentei la graficul funcției (sau) la punctul specificat.
Este ușor să arăți că în punctele unui cerc cu coordonate 
și 
tangențele sunt paralele cu axa abscisei și sunt date de ecuații și, respectiv (în figura de mai jos sunt prezentate prin puncte albastre și linii drepte albastre), și în puncte 
și 
- sunt paralele cu axa ordonatelor și au ecuații și, respectiv (în figura de mai jos sunt marcate cu puncte roșii și linii drepte roșii).
Tangentă elipsei.
Elipsa centrată într-un punct cu semiaxe a și b este dată de ecuație 
.
O elipsă, ca un cerc, poate fi definită prin combinarea a două funcții - o semi-elipsă superioară și una inferioară: 
Tangentele de la vârfurile elipsei sunt paralele fie cu axa absciselor (prezentată în albastru în figura de mai jos), fie cu axa ordonată (prezentată în roșu în figura de mai jos).
Adică jumătatea elipsei superioare este dată de funcție 
iar cel inferior este 
.
Acum putem acționa în conformitate cu algoritmul standard pentru trasarea ecuației tangentei la graficul funcției într-un punct.
Prima tangentă la un punct: 
A doua tangentă la punct 
:
Ilustrație grafică.
Tangent la hiperbolă.
Hiperbola centrată la un punct și vârfuri 
și 
dat de egalitate 
(imaginea de mai jos în stânga), și cu vârfurile 
și 
- egalitate 
(poza de mai jos în dreapta).
Ca o uniune a două funcții, hiperbola poate fi reprezentată ca
sau 
.
La vârfurile hiperbolei, tangențele sunt paralele cu axa Oy pentru primul caz și paralele cu axa Ox pentru al doilea.
Astfel, pentru a găsi ecuația tangentei la hiperbolă, aflăm cărei funcții îi aparține punctul tangentei și acționăm în mod obișnuit.
Apare o întrebare logică cu privire la modul de a determina careia dintre funcțiile aparține unui punct. Pentru a răspunde la aceasta, înlocuim coordonatele în fiecare ecuație și vedem care dintre egalități se transformă în identitate. Să vedem un exemplu.
Exemplu.
Echivalează tangenta cu hiperbola 
la punct.
Decizie.
Să scriem hiperbola sub forma a două funcții: 
Să aflăm cărei funcții îi aparține punctul de atingere.
Prin urmare, pentru prima funcție, punctul nu aparține graficului acestei funcții.
Prin urmare, pentru a doua funcție, punctul aparține graficului acestei funcții.
Găsiți panta liniei tangente: 
Astfel, ecuația tangentă are forma.
Ilustrație grafică.
Tangent parabolei.
Pentru a compune o ecuație a tangentei la o parabolă a formei 
în momentul în care folosim schema standard și scriem ecuația tangentă ca. Tangenta graficului unei astfel de parabole la vârf este paralelă cu axa Ox.
Parabolă 
mai întâi definim prin combinarea a două funcții. Pentru a face acest lucru, rezolvăm această ecuație pentru y: 
Acum aflăm la care dintre funcții aparține punctul de atingere și procedăm conform schemei standard.
Tangenta graficului unei astfel de parabole la vârf este paralelă cu axa Oy.
Pentru a doua funcție: 
Obțineți punctul de contact 
.
Astfel, ecuația pentru linia tangentă dorită are forma 
.
Derivatul unei funcții este unul dintre subiectele dificile din programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.
Acest articol explică simplu și clar ce este un derivat și la ce servește.... Nu ne vom strădui acum pentru rigoarea matematică a prezentării. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.
Să ne amintim definiția:
Derivata este rata de schimbare a funcției.
Figura prezintă graficele a trei funcții. Care credeți că crește mai repede?
Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de modificare, adică cel mai mare instrument derivat.
Iată un alt exemplu.
Kostya, Grisha și Matvey au obținut un loc de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor de-a lungul anului:
Puteți vedea totul pe grafic deodată, nu-i așa? Veniturile lui Kostya s-au dublat peste șase luni. Și veniturile lui Grisha au crescut și ele, dar doar puțin. Iar veniturile lui Matvey au scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce îl privește pe Matvey, derivatul venitului său este, în general, negativ.
Intuitiv, putem estima cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum o facem?
De fapt, ne uităm la cât de abrupt crește (sau coboară) graficul funcțional. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y cu schimbarea lui x. Evident, aceeași funcție în diferite puncte poate avea o valoare diferită a derivatei - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.
Se notează derivata funcției.
Vă vom arăta cum să găsiți folosind graficul.
Se trasează un grafic al unei funcții. Să luăm un punct cu o abscisă. Desenați în acest moment o tangentă la graficul funcției. Vrem să estimăm cât de abrupt este graficul funcțional. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului de inclinatie a tangentei.
Derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangenta pantei tangentei trase la graficul funcției în acest punct.
Acordați atenție - ca unghi de înclinare al tangentei, luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.
Uneori elevii întreabă ce este o funcție tangentă. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul din această zonă și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.
O vom găsi. Ne amintim că tangenta unui unghi acut într-un triunghi unghiular este egală cu raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent. Din triunghi:
Am găsit derivata folosind graficul fără a cunoaște chiar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea la examenul la matematică sub numărul.
Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație
Cantitatea din această ecuație se numește panta liniei drepte... Este egal cu tangenta unghiului de înclinare a liniei drepte spre ax.
.
Obținem asta
Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatului.
Derivata unei funcții într-un punct este egală cu panta tangentei trase la graficul funcției în acel punct.
Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangenta unghiului de înclinare a tangentei.
Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum derivata este legată de comportamentul funcției.
Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și la ritmuri diferite. Și permiteți acestei funcții să aibă puncte maxime și minime.
La un moment dat, funcția crește. O tangentă la graficul desenat într-un punct formează un unghi acut cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata este pozitivă la momentul respectiv.
La acest moment, funcția noastră scade. Tangenta în acest punct face un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangenta unui unghi obtuz este negativă, derivata în punct este negativă.
Iată ce se întâmplă:
Dacă funcția crește, derivata sa este pozitivă.
Dacă scade, derivatul său este negativ.
Și ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem că la puncte (punctul maxim) și (punctul minim) tangenta este orizontală. În consecință, tangenta unghiului de înclinare a tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.
Punctul este punctul maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă la punctul de la „plus” la „minus”.
La punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la "minus" la "plus".
Concluzie: folosind un derivat, puteți afla tot ceea ce ne interesează despre comportamentul unei funcții.
Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.
Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.
În punctul maxim, derivata este zero și schimbă semnul de la „plus” la „minus”.
În punctul minim, derivatul este, de asemenea, zero și schimbă semnul de la „minus” la „plus”.
Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:
| crește | punct maxim | scade | punct minim | crește | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ei atunci când rezolvați problemele de utilizare. Altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și al derivatelor.
Cazul este posibil atunci când derivata unei funcții la un moment dat este egală cu zero, dar funcția nu are maxim sau minim în acest moment. Acesta este așa-numitul :
La un moment dat, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, funcția a crescut până la punctul - și după punctul continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - deoarece a fost pozitiv, rămâne.
De asemenea, se întâmplă ca derivata să nu existe la punctul maxim sau minim. Pe grafic, aceasta corespunde unei curbe ascuțite, atunci când o tangentă la un punct dat nu poate fi trasată.
Și cum să găsim derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz,
Rezumatul lecției deschise a profesorului GBPOU „Colegiul pedagogic nr. 4 din Sankt Petersburg”
Martusevich Tatiana Olegovna
Data: 29.12.2014.
Subiect: Înțelesul geometric al derivatului.
Tipul lecției: învățarea de materiale noi.
Metode de predare: vizual, parțial căutare.
Scopul lecției.
Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați care este semnificația geometrică a derivatei, derivați ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți.
Sarcini educaționale:
Obțineți o înțelegere a semnificației geometrice a derivatului; derivarea ecuației tangentei; învățați să rezolvați problemele de bază;
furnizați repetarea materialului pe tema „Definiția unui derivat”;
pentru a crea condiții pentru controlul (autocontrolul) cunoștințelor și abilităților.
Sarcini de dezvoltare:
promovarea formării abilităților de a aplica metode de comparație, generalizare, evidențiind principalul lucru;
continua dezvoltarea orizonturilor matematice, a gândirii și a vorbirii, a atenției și a memoriei.
Sarcini educaționale:
să promoveze dezvoltarea interesului pentru matematică;
educarea activității, mobilitatea, capacitatea de a comunica.
Tipul lecției - o lecție combinată folosind TIC.
Echipament - instalare multimedia, prezentareMicrosoftPuterePunct.
Etapa lecției
Timp
Activități ale profesorilor
Activități studențești
1. Moment organizatoric.
Comunicarea subiectului și scopul lecției
Subiect: Înțelesul geometric al derivatului.
Scopul lecției.
Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați care este semnificația geometrică a derivatei, derivați ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți.
Pregătirea elevilor pentru munca în clasă.
Pregătirea pentru munca în clasă.
Conștientizarea subiectului și scopului lecției.
Proiectare.
2. Pregătirea pentru studiul materialului nou prin repetarea și actualizarea cunoștințelor de bază.
Organizarea repetării și actualizarea cunoștințelor de bază: definirea derivatului și formularea semnificației sale fizice.
Formularea definiției derivatului și formularea semnificației sale fizice. Repetarea, actualizarea și consolidarea cunoștințelor de bază.
Organizarea repetării și formarea abilității de a găsi derivatul unei funcții de putere și a unor funcții elementare.
Găsirea derivatei acestor funcții prin formule.
Repetarea proprietăților unei funcții liniare.
Repetarea, percepția desenelor și afirmațiile profesorului
3. Lucrul cu material nou: explicație.
Explicația semnificației raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului
Explicația semnificației geometrice a derivatului.
Introducerea de noi materiale prin explicații verbale folosind imagini și ajutoare vizuale: prezentare multimedia cu animație.
Percepția explicației, înțelegerea, răspunsurile la întrebările profesorului.
Formularea unei întrebări profesorului în caz de dificultate.
Percepția informațiilor noi, înțelegerea și înțelegerea sa principală.
Formularea de întrebări profesorului în caz de dificultate.
Creați un contur.
Formularea semnificației geometrice a derivatului.
Luarea în considerare a trei cazuri.
Proiectare, desen.
4. Lucrul cu material nou.
Înțelegerea și aplicarea primară a materialului studiat, consolidarea acestuia.
În ce puncte este derivatul pozitiv?
Este negativ?
Este egal cu zero?
Aflați cum să căutați un algoritm pentru a răspunde la întrebările puse în conformitate cu programul.
Înțelegerea și înțelegerea și aplicarea de noi informații pentru a rezolva o problemă.
5. Înțelegerea și aplicarea primară a materialului studiat, consolidarea acestuia.
Mesaj privind starea problemei.
Scrierea stării problemei.
Formularea unei întrebări profesorului în caz de dificultate
6. Aplicarea cunoștințelor: muncă independentă cu caracter didactic.
Rezolvați singur problema:
Aplicarea cunoștințelor dobândite.
Lucrare independentă pentru rezolvarea problemei găsirii derivatului din desen. Discutarea și verificarea răspunsurilor în perechi, formulând o întrebare pentru profesor în caz de dificultate.
7. Lucrul cu material nou: explicație.
Derivarea ecuației tangentei la graficul funcției într-un punct.
O explicație detaliată a derivării ecuației tangentei la graficul funcției într-un punct, cu utilizarea unei prezentări multimedia ca claritate, răspunde la întrebările elevilor.
Derivarea ecuației tangentei împreună cu profesorul. Răspunsuri la întrebările profesorului.
Proiectare, creare de desene.
8. Lucrul cu material nou: explicație.
Într-un dialog cu elevii, concluzia unui algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la graficul unei funcții date la un punct dat.
Într-un dialog cu profesorul, ieșirea algoritmului pentru găsirea ecuației tangentei la graficul acestei funcții într-un punct dat.
Proiectare.
Mesaj privind starea problemei.
Învățarea aplicării cunoștințelor dobândite.
Organizarea căutării soluțiilor la problemă și implementarea acestora. analiza detaliată a soluției cu o explicație.
Scrierea stării problemei.
Făcând presupuneri cu privire la posibile modalități de rezolvare a problemei atunci când implementați fiecare element al planului de acțiune. Rezolvarea problemei împreună cu profesorul.
Înregistrarea soluției la problemă și a răspunsului.
9. Aplicarea cunoștințelor: muncă independentă cu caracter didactic.
Control individual. Consiliere și asistență pentru studenți, după cum este necesar.
Verificarea și explicarea soluției folosind o prezentare.
Aplicarea cunoștințelor dobândite.
Lucrare independentă pentru rezolvarea problemei găsirii derivatului din desen. Discutarea și verificarea răspunsurilor în perechi, formulând o întrebare pentru profesor în caz de dificultate
10. Temele.
§48, problemele 1 și 3, înțelegeți soluția și notați-o într-un caiet cu desene.
№ 860 (2,4,6,8),
Postarea temelor cu comentarii.
Înregistrarea temelor.
11. Rezumând.
S-a repetat definiția derivatului; sensul fizic al derivatului; proprietățile unei funcții liniare.
Am aflat care este semnificația geometrică a derivatului.
Am învățat cum să derivăm ecuația tangentei la graficul unei funcții date într-un punct dat.
Corectarea și clarificarea rezultatelor lecției.
Enumerarea rezultatelor lecției.
12. Reflecție.
1. Ți-a fost ușor în lecție: a) ușor; b) de obicei; c) dificil.
a) învățat (a) complet, pot aplica;
b) învățat (a), dar le este greu să se aplice;
c) nu a învățat (a).
3. Prezentare multimedia în lecție:
a) a ajutat la asimilarea materialului; b) nu a ajutat la asimilarea materialului;
c) a interferat cu asimilarea materialului.
Reflecţie.
Derivat (funcții la un moment dat) - concept de bază calcul diferențialcaracterizarea ratei de schimbare a funcției (la un moment dat). Definit ca limită raportul dintre creșterea funcției și creșterea acesteia argument atunci când tindeți să incrementați argumentul la zerodacă există o astfel de limită. O funcție care are o derivată finită (la un moment dat) se numește diferențiată (la un moment dat).
Procesul de calcul al derivatului se numește diferenţiere... Proces invers - găsire antiderivativ - integrare.
Dacă o funcție este dată de un grafic, derivata sa în fiecare punct este egală cu tangenta pantei tangentei la graficul funcției. Și dacă funcția este dată de o formulă, tabelul derivatelor și regulile de diferențiere, adică regulile pentru găsirea derivatei, vă vor ajuta.
4. Derivată a unei funcții complexe și inverse.
Acum lăsați-l să fie setat funcție complexă , adică o variabilă este o funcție a unei variabile, iar o variabilă este, la rândul ei, o funcție a unei variabile independente.
Teorema . În cazul în care un și diferențiat funcțiile argumentelor sale, apoi o funcție complexă este o funcție diferențiată și derivata sa este egală cu produsul derivatei funcției date în raport cu argumentul intermediar și derivata argumentului intermediar cu privire la variabila independentă:
.
Afirmația se obține cu ușurință din egalitatea evidentă 
(valabil pentru și) prin trecerea la limita pentru (ceea ce, datorită continuității funcției diferențiate, implică).
Să ne întoarcem la considerația derivatului funcție inversă.
Să o funcție diferențiată pe un set să aibă un set de valori și pe un set există funcție inversă .
Teorema
. Dacă la punctul respectiv
derivat
, apoi derivatul funcției inverse
la punct
există și este egal cu inversul derivatei acestei funcții: 
, sau
Această formulă se obține cu ușurință din considerații geometrice.
T 
deoarece există tangenta unghiului de înclinare a liniei tangente față de axă, adică tangenta unghiului de înclinare a aceleiași tangente (aceeași linie) în același punct față de axă.
Dacă sunt ascuțite, atunci dacă sunt plictisitoare, atunci 
.
În ambele cazuri 
... Această egalitate este echivalentă cu egalitatea
5. Semnificația geometrică și fizică a derivatului.
1) Sensul fizic al derivatului.
Dacă funcția y \u003d f (x) și argumentul său x sunt mărimi fizice, atunci derivata este rata de schimbare a variabilei y în raport cu variabila x la punctul respectiv. De exemplu, dacă S \u003d S (t) este distanța parcursă de un punct în timpul t, atunci derivata sa este viteza în momentul timpului. Dacă q \u003d q (t) este cantitatea de electricitate care curge prin secțiunea transversală a conductorului la momentul t, atunci este rata de schimbare a cantității de energie electrică la momentul respectiv, adică puterea actuală la timp.
2) Semnificația geometrică a derivatului.
Să fie o curbă, să fie un punct pe curbă.
Orice dreaptă care intersectează cel puțin două puncte se numește secantă.
Tangenta curbei în punct este poziția limitativă a secantei dacă punctul tinde să se deplaseze de-a lungul curbei.
Este evident din definiție că, dacă tangenta la o curbă într-un punct există, atunci este unică
Luați în considerare curba y \u003d f (x) (adică graficul funcției y \u003d f (x)). Să la punctul 
are o linie tangentă non-verticală. Ecuația sa: (ecuația unei linii drepte care trece printr-un punct 
și având o pantă k).
Prin definiția pantei, unde este unghiul de înclinare a liniei drepte spre axă.
Fie unghiul de înclinare a secantei spre ax, unde. Deoarece este tangent, atunci pentru
Prin urmare,
Astfel, am obținut că este panta tangentei la graficul funcției y \u003d f (x) la punct 
(semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct). Prin urmare, ecuația tangentei la curba y \u003d f (x) în punct 
poate fi scris ca
Temă. Derivat. Semnificația geometrică și mecanică a derivatului
Dacă această limită există, atunci funcția se numește diferențiată la punctul respectiv. Derivata funcției este notată (formula 2).
- Semnificația geometrică a derivatului. Luați în considerare graficul unei funcții. Figura 1 arată că pentru oricare două puncte A și B ale graficului funcțional, se poate scrie formula 3). Conține unghiul de înclinare al secantei AB.
Astfel, raportul diferenței este egal cu panta secantei. Dacă fixăm punctul A și deplasăm punctul B spre el, atunci acesta scade la infinit și se apropie de 0, iar secanta AB se apropie de tangenta AC. Prin urmare, limita raportului diferenței este egală cu panta tangentei la punctul A. Prin urmare, urmează concluzia.
Derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la graficul acestei funcții în acel punct. Acesta este sensul geometric al derivatului.
- Ecuația tangentă ... Derivăm ecuația tangentei la graficul funcției într-un punct. În general, ecuația unei drepte cu o pantă este:. Pentru a găsi b, vom folosi faptul că tangenta trece prin punctul A :. Asta implică: . Înlocuind această expresie în loc de b, obținem ecuația liniei tangente (Formula 4).
Se încarcă ...