FACTORIAL.
Factorială - acesta este numele unei funcții care se întâlnește adesea în practică și este definită pentru numere întregi care nu sunt negative. Numele funcției provine din termenul matematic englezesc factor - „factor”. Este desemnat n!... Semn factorial " ! ”A fost introdus în 1808 în manualul francez Chr. Crump.
Pentru fiecare număr întreg pozitiv nfuncţie n! este egal cu produsul tuturor numerelor întregi din 1 inainte de n.
De exemplu:
4! = 1*2*3*4 = 24.
Pentru comoditate, se presupune prin definiție 0! = 1 ... Acest factor zero trebuie să fie prin definiție este egal cu unul, a scris în 1656 J. Wallis în „Aritmetica infinitului”.
Funcţie n! crește odată cu creșterea n foarte rapid. Asa de,
(n + 1)! \u003d (n + 1) n! \u003d (n + 1) n (n - 1)! (1)
Matematicianul englez J. Stirling în 1970. oferit un foarte confortabil formulă pentru un calcul aproximativ al funcției n!:
unde e = 2.7182 ... este baza logaritmilor naturali.
Eroarea relativă la utilizarea acestei formule este foarte mică și cade rapid odată cu creșterea n.
Să luăm în considerare exemple de rezolvare a expresiilor care conțin factoriale.
Exemplul 1... (n! + 1)! \u003d (n! + 1) n! .
Exemplul 2... calculati 10! 8!
Decizie. Să folosim formula (1):
10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!
Exemplul 3... Rezolvați ecuația (n + 3)! = 90 (n + 1)!
Decizie. Conform formulei (1), avem
\u003d (n + 3) (n + 2) \u003d 90.
(n + 3)! = (n + 3)(n + 2) (n + 1)!(n + 1)! (n + 1)!
Extindând parantezele din produs, obținem ecuația pătratică
n 2 + 5n - 84 \u003d 0, ale cărui rădăcini sunt numerele n \u003d 7 și n \u003d -12. Cu toate acestea, factorialul este definit doar pentru numere întregi nenegative, adică pentru toate numerele întregi n ≥ 0. Prin urmare, numărul n \u003d -12 nu îndeplinește condiția problemei. Deci n \u003d 7.
Exemplul 4. Găsiți cel puțin un triplu al numerelor naturale x yși z pentru care egalitatea x! \u003d y! z!.
Decizie.Din definiția factorialului unui număr natural n rezultă că
(n + 1)! \u003d (n + 1) n!
Punem în această egalitate n + 1 \u003d y! \u003d x, unde laeste un număr natural arbitrar, obținem
Acum vedem că triplele de numere dorite pot fi specificate în formular
(y !; y; y! -1) (2)
unde y este un număr natural mai mare de 1.
De exemplu, egalitățile sunt adevărate
Exemplul 5.Determinați câte zerouri notația zecimală a numărului 32! Se termină cu.
Decizie. Dacă notația zecimală este R\u003d 32! se termină kzerouri, apoi numărul Rpoate fi reprezentat ca
P \u003d q 10 k,
unde numărul q nu este divizibil cu 10. Aceasta înseamnă că extinderea numărului qprin factori primi nu conține 2 și 5 în același timp.
Prin urmare, pentru a răspunde la întrebarea pusă, să încercăm să determinăm cu ce indicatori numerele 2 și 5 sunt incluse în produsul 1 2 3 4 ... 30 31 32. Dacă numărul k- cel mai mic dintre indicatorii găsiți, apoi numărul P se va termina cu kzerouri.
Deci, să determinăm câte numere dintre numerele naturale de la 1 la 32 sunt divizibile cu 2. Evident, numărul lor este 32/2 \u003d 16. Atunci stabilim câte dintre cele 16 numere găsite sunt divizibile cu 4; apoi - câte dintre ele sunt divizibile cu 8 etc. Ca rezultat, obținem că printre primele treizeci și două de numere naturale, 16 numere sunt divizibile cu 2,
din care 32/4 \u003d 8 numere sunt divizibile cu 4, din care 32/8 \u003d 4 numere sunt divizibile cu 8, din care 32/16 \u003d 2 numere sunt divizibile cu 16 și, în cele din urmă, 32/32 dintre ele sunt divizibile cu 32 \u003d 1 acestea. un numar. Se înțelege că suma cantităților primite:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
este egal cu exponentul cu care numărul 2 este inclus în 32!.
În mod similar, determinăm câte numere dintre numerele naturale de la 1 la 32 sunt divizibile cu 5, iar de la numărul găsit la 10. Împarte 32 la 5.
Obținem 32/5 \u003d 6,4. Prin urmare, printre numerele naturale de la 1 la 32
există 6 numere care sunt divizibile cu 5. Dintre acestea, 25 împarte unul
număr din 32/25 \u003d 1,28. Drept urmare, 5 sunt incluse în 32! cu un indicator egal cu suma de 6 + 1 \u003d 7.
Din rezultatele obținute rezultă că 32! \u003d 2 31 5 7 t,unde numărul tnu este divizibil nici cu 2, nici cu 5. Prin urmare, numărul 32! conține un factor
10 7 și, prin urmare, se termină cu 7 zerouri.
Deci, în acest rezumat, este definit conceptul de factorial.
Formula matematicianului englez J. Stirling pentru calculul aproximativ al funcției n!
Când transformați expresii care conțin un factorial, este util să utilizați egalitatea
(n + 1)! \u003d (n + 1) n! \u003d (n + 1) n (n - 1)!
Folosind exemple, metodele de rezolvare a problemelor cu factorial sunt luate în considerare în detaliu.
Factorialul este utilizat în diferite formule din combinatorică,în rânduri etc.
De exemplu, numărul de modalități de a construi n școlarii dintr-o singură linie sunt egali n!.
Numărul n! este egal, de exemplu, cu numărul de moduri în care n diferite cărți pot fi aranjate pe un raft sau, de exemplu, numărul 5! egal cu numărul de moduri în care cinci persoane pot fi așezate pe o bancă. Sau, de exemplu, numărul 27! egal cu numărul de moduri în care clasa noastră de 27 de elevi poate fi aliniată la o clasă de educație fizică.
Literatură.
Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A.
Matematică. 5-11 clase: materiale suplimentare pentru lecția de matematică. –M.: Bustard, 2001.- (Biblioteca profesorului).
Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician. / Comp. A.P. Savin.-M .: Pedagogie, 1985
Matematică. Cartea de referință a elevului. / Comp. G.M. Yakusheva. - M.: Filolog. Societatea „Slovo”, 1996.
Ce sunt factorialele și cum să le rezolvi
Factorialul numărului n, care în matematică este notat de litera latină n, urmată de un semn de exclamare!. Această expresie este pronunțată cu o voce ca „n factorială”. Un factorial este rezultatul multiplicării secvențiale între ele a unei succesiuni de numere naturale de la 1 la numărul dorit n. De exemplu, 5! \u003d 1 x 2 x 3 x 4 x 5 \u003d 720 Factorialul numărului n este notat cu litera latină n! și se pronunță ca en factorial. Este o multiplicare secvențială (produs) a tuturor numerelor naturale de la 1 la n. De exemplu: 6! \u003d 1 x 2 x 3 x 4 x 5 \u003d 720
Factorialul are semnificație matematică numai dacă numărul este întreg și pozitiv (natural). Acest sens rezultă din însăși definiția factorială, deoarece toate numerele naturale sunt non-negative și întregi. Valorile factorialelor, și anume rezultatul înmulțirii secvenței de la unu la numărul n, pot fi găsite în tabelul factorialelor. Un astfel de tabel este posibil datorită faptului că valoarea factorială a oricărui număr întreg este cunoscută în avans și este, ca să spunem așa, o valoare a tabelului.
Prin definiție, 0! \u003d 1. Adică, dacă există factorial zero, atunci nu înmulțim nimic și rezultatul va fi primul număr natural existent, adică unul.
Creșterea funcției factoriale poate fi afișată pe grafic. Acesta va fi un arc, similar cu funcția x-într-un pătrat și va tinde rapid în sus.
Factorial este o funcție în creștere rapidă. Crește grafic mai repede decât o funcție polinomială de orice grad, sau chiar o funcție exponențială. Factorialul crește mai repede decât un polinom de orice grad și o funcție exponențială (dar mai lent decât o funcție exponențială dublă). De aceea poate fi dificil să calculați factorialul manual, deoarece rezultatul poate fi un număr foarte mare. Pentru a nu calcula manual factorialul, puteți utiliza calculatorul factorial, cu care puteți obține rapid un răspuns. Factorialul este utilizat în analiza funcțională, teoria numerelor și combinatorica, în care are o mare semnificație matematică asociată cu numărul de tot felul de combinații dezordonate de obiecte (numere).
Calculator factorial online gratuit
Solverul nostru gratuit vă permite să calculați factoriale online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți datele în calculator. De asemenea, puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru web. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte.
FACTORIAL.
Factorială - acesta este numele unei funcții care se întâlnește adesea în practică și este definită pentru numere întregi care nu sunt negative. Numele funcției provine din termenul matematic englezesc factor - „factor”. Este desemnat n!... Semn factorial " ! ”A fost introdus în 1808 în manualul francez Chr. Crump.
Pentru fiecare număr întreg pozitiv nfuncţie n! este egal cu produsul tuturor numerelor întregi din 1 inainte de n.
De exemplu:
4! = 1*2*3*4 = 24.
Pentru comoditate, se presupune prin definiție 0! = 1 ... Faptul că zero-factorial ar trebui să fie egal cu unul prin definiție, a fost scris în 1656 de J. Wallis în „Aritmetica infinitului”.
Funcţie n! crește odată cu creșterea n foarte rapid. Asa de,
(n + 1)! \u003d (n + 1) n! \u003d (n + 1) n (n - 1)! (1)
Matematicianul englez J. Stirling în 1970. oferit un foarte confortabil formulă pentru un calcul aproximativ al funcției n!:
unde e = 2.7182 ... este baza logaritmilor naturali.
Eroarea relativă la utilizarea acestei formule este foarte mică și cade rapid odată cu creșterea n.
Să luăm în considerare exemple de rezolvare a expresiilor care conțin factoriale.
Exemplul 1... (n! + 1)! \u003d (n! + 1) n! .
Exemplul 2... calculati 10! 8!
Decizie. Să folosim formula (1):
10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!
Exemplul 3... Rezolvați ecuația (n + 3)! = 90 (n + 1)!
Decizie. Conform formulei (1), avem
\u003d (n + 3) (n + 2) \u003d 90.
(n + 3)! = (n + 3)(n + 2) (n + 1)!(n + 1)! (n + 1)!
Extindând parantezele din produs, obținem ecuația pătratică
n 2 + 5n - 84 \u003d 0, ale cărui rădăcini sunt numerele n \u003d 7 și n \u003d -12. Cu toate acestea, factorialul este definit doar pentru numere întregi nenegative, adică pentru toate numerele întregi n ≥ 0. Prin urmare, numărul n \u003d -12 nu îndeplinește condiția problemei. Deci n \u003d 7.
Exemplul 4. Găsiți cel puțin un triplu al numerelor naturale x yși z pentru care egalitatea x! \u003d y! z!.
Decizie.Din definiția factorialului unui număr natural n rezultă că
(n + 1)! \u003d (n + 1) n!
Punem în această egalitate n + 1 \u003d y! \u003d x, unde laeste un număr natural arbitrar, obținem
Acum vedem că triplele de numere dorite pot fi specificate în formular
(y !; y; y! -1) (2)
unde y este un număr natural mai mare de 1.
De exemplu, egalitățile sunt adevărate
Exemplul 5.Determinați câte zerouri notația zecimală a numărului 32! Se termină cu.
Decizie. Dacă notația zecimală este R\u003d 32! se termină kzerouri, apoi numărul Rpoate fi reprezentat ca
P \u003d q 10 k,
unde numărul q nu este divizibil cu 10. Aceasta înseamnă că extinderea numărului qprin factori primi nu conține 2 și 5 în același timp.
Prin urmare, pentru a răspunde la întrebarea pusă, să încercăm să determinăm cu ce indicatori numerele 2 și 5 sunt incluse în produsul 1 2 3 4 ... 30 31 32. Dacă numărul k- cel mai mic dintre indicatorii găsiți, apoi numărul P se va termina cu kzerouri.
Deci, să determinăm câte numere dintre numerele naturale de la 1 la 32 sunt divizibile cu 2. Evident, numărul lor este 32/2 \u003d 16. Atunci stabilim câte dintre cele 16 numere găsite sunt divizibile cu 4; apoi - câte dintre ele sunt divizibile cu 8 etc. Ca rezultat, obținem că printre primele treizeci și două de numere naturale, 16 numere sunt divizibile cu 2,
din care 32/4 \u003d 8 numere sunt divizibile cu 4, din care 32/8 \u003d 4 numere sunt divizibile cu 8, din care 32/16 \u003d 2 numere sunt divizibile cu 16 și, în cele din urmă, 32/32 dintre ele sunt divizibile cu 32 \u003d 1 acestea. un numar. Se înțelege că suma cantităților primite:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
este egal cu exponentul cu care numărul 2 este inclus în 32!.
În mod similar, determinăm câte numere dintre numerele naturale de la 1 la 32 sunt divizibile cu 5, iar de la numărul găsit la 10. Împarte 32 la 5.
Obținem 32/5 \u003d 6,4. Prin urmare, printre numerele naturale de la 1 la 32
există 6 numere care sunt divizibile cu 5. Dintre acestea, 25 împarte unul
număr din 32/25 \u003d 1,28. Drept urmare, 5 sunt incluse în 32! cu un indicator egal cu suma de 6 + 1 \u003d 7.
Din rezultatele obținute rezultă că 32! \u003d 2 31 5 7 t,unde numărul tnu este divizibil nici cu 2, nici cu 5. Prin urmare, numărul 32! conține un factor
10 7 și, prin urmare, se termină cu 7 zerouri.
Deci, în acest rezumat, este definit conceptul de factorial.
Formula matematicianului englez J. Stirling pentru calculul aproximativ al funcției n!
Când transformați expresii care conțin un factorial, este util să utilizați egalitatea
(n + 1)! \u003d (n + 1) n! \u003d (n + 1) n (n - 1)!
Folosind exemple, metodele de rezolvare a problemelor cu factorial sunt luate în considerare în detaliu.
Factorialul este utilizat în diferite formule din combinatorică,în rânduri etc.
De exemplu, numărul de modalități de a construi n școlarii dintr-o singură linie sunt egali n!.
Numărul n! este egal, de exemplu, cu numărul de moduri în care n diferite cărți pot fi aranjate pe un raft sau, de exemplu, numărul 5! egal cu numărul de moduri în care cinci persoane pot fi așezate pe o bancă. Sau, de exemplu, numărul 27! egal cu numărul de moduri în care clasa noastră de 27 de elevi poate fi aliniată la o clasă de educație fizică.
Literatură.
Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A.
Matematică. 5-11 clase: materiale suplimentare pentru lecția de matematică. –M.: Bustard, 2001.- (Biblioteca profesorului).
Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician. / Comp. A.P. Savin.-M .: Pedagogie, 1985
Matematică. Cartea de referință a elevului. / Comp. G.M. Yakusheva. - M.: Filolog. Societatea „Slovo”, 1996.
Interogarea amintește de ce numărul ridicat la puterea zero este egal cu unul, o întrebare pe care am rezolvat-o într-un articol anterior. De asemenea, permiteți-mi să vă asigur că m-am liniștit anterior explicând acest fapt evident, nerușinat acceptat, dar inexplicabil - atitudinea nu este arbitrară.
Există trei moduri de a determina de ce factorul zero este unul.
Șablon complet
1! = 1 * 1 = 1
2! = 1 * 2 = 2
3! = 1 * 2 * 3 = 6
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Dacă, (n-1)! \u003d 1 * 2 * 3 * 4
,(N-3) * (n-2) * (n-1)
Apoi, logic, n! \u003d 1 * 2 * 3 * 4
,(N-3) * (n-2) * (n-1) * n
Sau, n! \u003d n * (n-1)! - (i)
Dacă vă uitați atent la aceste trasee, imaginea se dezvăluie. Să încheiem până când reușește să obțină rezultate legitime:
4! / 4 = 3!
3! / 3 = 2!
2! / 2 = 1!
1! / 1 = 0!
Sau, 0! \u003d 1
Puteți obține acest rezultat pur și simplu conectând 1 pentru „n” în (i) pentru a obține:
1! = 1 * (1-1)!
1 = 1 * 0!
Sau, 0! \u003d 1
Cu toate acestea, această explicație nu spune nimic despre motivele pentru care factorii numerelor negative nu pot exista. Să ne uităm din nou la șablonul nostru pentru a vedea de ce.
2! / 2 = 1!
1! / 1 = 0!
0! / 0 =
,Aș fi de acord că aceste metode sunt puțin suspecte; par a fi moduri șirete, implicite de a defini factorialul zero. Acest lucru este similar cu dezbaterea despre paie. Cu toate acestea, puteți găsi o explicație în domeniu, întreaga sa existență depinde de calculul factorialelor - combinatorică.
Aranjamente
Luați în considerare 4 scaune care ar trebui să fie ocupate de 4 persoane. Primul scaun poate fi ocupat de oricare dintre aceste patru persoane, deci rezultatul este 4. Acum că un scaun este ocupat, avem 3 opțiuni care ar putea fi ocupate pentru următorul scaun. La fel, următorul scaun reprezintă două opțiuni, iar ultimul scaun reprezintă o opțiune; este ocupat cu ultima persoană. Astfel, numărul total de opțiuni pe care le avem este de 4x3x2x1 sau 4 !. Sau ai putea spune că sunt 4! modalități de organizare a 4 scaune diferite.
Deci, atunci când valoarea „n” este zero, întrebarea se traduce prin care sunt diferitele moduri de organizare a numărului zero de obiecte? Una, desigur! Există o singură permutare sau un singur mod de a nu aranja nimic, pentru că nu este nimic de aranjat. CE? În mod corect, aceasta aparține unei ramuri a filozofiei, deși una dintre noțiunile urâte sau false despre ceea ce au încredere bobocii după ce au citit citatele lui Nietzsche pe Pinterest.
Să vedem un exemplu care include obiecte fizice, deoarece poate îmbunătăți înțelegerea. Factorialele sunt, de asemenea, centrale în combinațiile de computere - un proces care determină și mecanisme, dar, spre deosebire de rearanjare, ordinea lucrurilor nu contează. Diferența dintre o permutație și o combinație este diferența dintre un blocaj combinat și un castron de cuburi de fructe melange. Blocările combinate sunt adesea denumite în mod eronat „blocaje combinate” atunci când sunt de fapt numite permutări, deoarece 123 și 321 nu le pot debloca.
Formula generală pentru determinarea numărului de căi de obiecte „k” poate fi organizată între „n” locuri:
Întrucât pentru a determina numărul de moduri de a selecta sau combina obiectele „k” din obiectele „n”:
Acest lucru ne permite, să zicem, să determinăm numărul de moduri în care pot fi selectate două bile dintr-o pungă care conține cinci bile culori diferite... Deoarece ordinea bilelor selectate nu este importantă, ne referim la a doua formulă pentru calcularea combinațiilor ispititoare.
Deci, dacă valorile pentru "n" și "k" sunt exact aceleași? Să înlocuim aceste valori și să aflăm. Rețineți că factorialul zero este obținut în numitor.
Dar cum să înțelegem vizual acest calcul matematic, din punctul de vedere al exemplului nostru? Calculul este în esență o soluție la întrebarea care pune întrebarea: care este numărul diferit de moduri în care putem selecta trei bile dintr-o pungă care conține doar trei bile? Ei bine, desigur! Alegerea lor în orice ordine nu va afecta! Ecuația de calcul cu unu și factorialul zero se dovedește a fi * arborele tamburului *
..Combinatorie - aceasta, așa cum sugerează și numele, este o ramură a matematicii care studiază diverse seturi sau combinații orice obiecte (elemente) - numere, obiecte, litere în cuvinte și altele. O secțiune foarte interesantă.) Dar dintr-un motiv sau altul greu de înțeles. De ce? Deoarece conține adesea termeni și desemnări mai complexe pentru percepția vizuală. Dacă caracterele sunt 10, 2, 3/4 și pare, sau log 2 5 ne sunt vizuale clare, adică le putem „atinge” cumva, apoi cu desemnări precum 15!P 9 .. încep problemele. În plus, în majoritatea manualelor, acest subiect este prezentat destul de uscat și greu de înțeles. Sper că acest material vă va ajuta cel puțin puțin pentru a rezolva aceste probleme și vă veți bucura de combinatorie.)
Fiecare dintre noi se confruntă cu probleme combinatorii în fiecare zi. Când dimineața decidem cum să ne îmbrăcăm, noi combina anumite tipuri de îmbrăcăminte. Când pregătim o salată, combinăm ingrediente. Rezultatul depinde de combinația de produse aleasă - gustoasă sau nu gustoasă. Este adevărat, nu matematica este preocupată de întrebări de gust, ci de gătit, dar totuși.) Când jucăm „cuvinte”, alcătuind cuvinte mici dintr-una lungă, combinăm litere. Când deschidem blocarea combinată sau formăm numărul de telefon, combinăm numerele.) Directorul școlii întocmește programele lecțiilor prin combinarea subiectelor. Echipele de fotbal de la Campionatele Mondiale sau Europene sunt împărțite în grupe, formând combinații. Si asa mai departe.)
Oamenii au rezolvat problemele combinatorii chiar și în cele mai vechi timpuri (pătrate magice, șah), iar adevărata înflorire a combinatoriei a căzut în secolele VI-VII, în timpul utilizării pe scară largă a jocurilor de noroc (cărți, zaruri), când jucătorii trebuiau să se gândească la diferite mișcări și, de asemenea, rezolvați probleme combinatorii.) Împreună cu combinatorica, s-a născut o altă ramură a matematicii în același timp - teoria probabilității ... Aceste două secțiuni sunt rude foarte apropiate și merg mână în mână.) Și în studiul teoriei probabilității, vom întâlni de mai multe ori probleme de combinatorică.
Și vom începe studiul combinatoriei cu un astfel de concept de piatră de temelie ca factorial .
Ce este un factorial?
Un cuvânt frumos „factorial”, dar îi înspăimântă și îi descurajează pe mulți. Dar în zadar. În această lecție o vom descoperi și vom lucra bine cu acest concept simplu.) Acest cuvânt provine din latinescul „factorialis”, care înseamnă „multiplicare”. Și din motive întemeiate: calculul oricărui factorial se bazează pe obișnuit multiplicare.)) Deci, ce este un factorial.
Să luăm câteva numar natural n ... Complet arbitrar: vrem 2, vrem 10 - orice, chiar dacă este natural.) Deci, factorial al numărului natural n Este produsul tuturor numerelor naturale din 1 la n inclusiv... Este indicat astfel: n! Adică,
Pentru a nu picta această lucrare lungă de fiecare dată, au venit doar cu o denumire scurtă. :) Se citește cam neobișnuit: „en factorial” (și nu invers „factorial en”, așa cum s-ar putea părea).
Si asta e! De exemplu,
Ai idee?)) Super! Apoi luăm în considerare exemple:
Răspunsuri (în dezordine): 30; 0,1; 144; 6; 720; 2; 5040.
Totul a funcționat? Perfect! Știm deja să numărăm factorialele și să rezolvăm cele mai simple exemple cu ele. Mergi mai departe. :)
Proprietăți factoriale
Luați în considerare expresia 0, care nu este foarte clară din punctul de vedere al determinării factorialului! Deci s-a convenit în matematică că
Da Da! O egalitate atât de interesantă. Că de la unu, că de la zero, factorialul este același - unu.)) Deocamdată, să luăm această egalitate ca dogmă, dar de ce este așa, va fi clar puțin mai târziu, cu exemple.))
Următoarele sunt două proprietăți foarte similare:
Ele pot fi dovedite într-un mod elementar. Direct în sensul factorialului.)
Aceste două formule fac posibilă, mai întâi, calcularea cu ușurință a factorialului numărului natural actual prin factorial anterior numere. Sau următoarea prin cea actuală.) Astfel de formule în matematică se numesc recurent.
În al doilea rând, folosind aceste formule, puteți simplifica și calcula unele expresii dificile cu factoriale. Ca acestea.
Calculati:
Cum vom acționa? Pentru a înmulți secvențial toate numerele naturale de la 1 la 1999 și de la 1 la 2000? O să înnebunească! Dar prin proprietăți, exemplul este rezolvat literal într-o singură linie:
Sau așa:
Sau o astfel de sarcină. Simplifica:
Din nou, lucrăm direct la proprietăți:
Pentru ce sunt factorii și de unde au venit? Ei bine, de ce avem nevoie - o întrebare filosofică. În matematică, nimic nu se întâmplă fără niciun motiv, pur pentru frumusețe.)) De fapt, factorialul are o mare varietate de aplicații. Acesta este binomul lui Newton și teoria probabilității, a seriilor și a formulei Taylor, și chiar a faimosului număre , care este o sumă infinită atât de interesantă:
Cu cât întrebi mai multn , cu cât numărul de termeni din sumă este mai mare și cu atât această sumă va fi mai aproape de număre ... Si in limită când devine exact numărule ... :) Dar despre acest număr uimitor vom vorbi în subiectul corespunzător. Și aici avem factoriale și combinatorii.)
De unde au venit? Au provenit din combinatorică, din studiul seturilor de elemente.) Cel mai simplu astfel de set este permutare fără repetări... Să începem cu ea. :)
Permutare fără repetări
Să avem două variat obiect. Sau element... Absolut oricare. Două mere (roșii și verzi), două bomboane (ciocolată și caramel), două cărți, două cifre, două litere, orice. Dacă ar fi fost ei variat.) Să le chemămA șiB respectiv.
Ce poți face cu ei? Dacă acestea sunt bomboane, atunci, desigur, le puteți mânca.)) Deocamdată vom tolera și vom aranjați în ordine diferită.
Fiecare astfel de locație este numită permutare fără repetări... De ce „fără repetare”? Pentru că toate elementele implicate în permutare diferit... Până acum am decis acest lucru pentru simplitate. Mai sunt ceva permutarea cu repetițiiunde unele elemente pot fi aceleași. Dar astfel de permutări sunt puțin mai complicate. Mai multe despre ele mai târziu.)
Deci, dacă sunt luate în considerare două elemente diferite, sunt posibile următoarele opțiuni:
AB , B A .
Există doar două opțiuni, adică două permutări. Nu prea mult.)
Acum să adăugăm încă un element setului nostruC ... În acest caz, vor exista șase permutări:
ABC , ACB , BAC , BCA , TAXI , CBA .
Vom construi permutări din patru elemente după cum urmează. În primul rând, puneți elementul pe primul locA ... Mai mult, restul trei elementul poate fi rearanjat, așa cum știm deja, şase moduri:
Prin urmare, numărul de permutări cu primul elementA este egal cu 6.
Dar aceeași poveste se va dovedi dacă vom pune pe primul loc orice dintre aceste patru elemente. Ele sunt egale și fiecare merită să fie pe primul loc.) Deci, numărul total de permutări a patru elemente va fi egal Aici sunt ei:
Deci, pentru a rezuma: permutarea de n elemente se numește oricare ordonat set din acestea n elemente.
Cuvântul „ordonat” este esențial aici: fiecare permutare diferă numai ordinea elementelor, iar elementele în sine din set rămân aceleași.
Rămâne doar să aflăm din care este numărul acestor permutări orice numărul de elemente: nu suntem masochisti de scris tot diferite opțiuni și numărați-le. :) Pentru 4 elemente am obținut 24 de permutări - acest lucru este destul de mult pentru percepția vizuală. Și dacă sunt 10 elemente? Sau 100? Ar fi frumos să proiectăm o formulă care, dintr-o singură lovitură, ar număra numărul tuturor acestor permutări pentru orice număr de elemente. Și există o astfel de formulă! Acum o vom obține.) Dar mai întâi, să formulăm o regulă auxiliară foarte importantă în toate combinatorii, numită regula produsului .
Regula produsului: dacă setul conține n diferite opțiuni pentru alegerea primului element și pentru fiecare dintre ele există m diferite opțiuni pentru alegerea celui de-al doilea element, apoi în total puteți face n m diferite perechi ale acestor elemente.
Acum să avem acum un set den diverse elemente
,
unde, în mod natural ,. Trebuie să numărăm numărul tuturor permutărilor posibile din elementele acestui set. Argumentăm în același mod.)) În primul rând, puteți pune oricare dintre acestean elemente. Înseamnă că numărul de moduri de selectare a primului element este n .
Acum să ne imaginăm că primul element este selectat (n căi, după cum ne amintim). Câte articole neselectate au rămas în set? Corect,n-1 ... :) Aceasta înseamnă că al doilea element poate fi selectat numain-1 căi. Al treilea -n-2 moduri (deoarece 2 elemente au fost deja selectate). Si asa mai departe, al cincilea element Poți alegen- (k-1) moduri, penultimul - în două moduri și ultimul element - într-un singur mod, deoarece toate celelalte elemente au fost deja selectate într-un fel sau altul. :)
Ei bine, acum construim formula.
Deci, numărul de moduri de a selecta primul element din set esten ... Pe fiecaredin acestean Metode den-1 modalitate de a alege a doua. Aceasta înseamnă că numărul total de modalități de a selecta elementele 1 și 2, în conformitate cu regula produsului, va fi egaln (n-1) ... Mai mult, fiecare dintre ei, la rândul său, contabilizeazăn-2 modalitate de a selecta al treilea element. Prin urmare, trei elementul poate fi deja selectatn (n-1) (n-2) căi. Si asa mai departe:
4 elemente - 
moduri,
k elemente în moduri
n elemente în moduri.
Prin urmare, n elemente puteți alege (sau, în cazul nostru, aranja) în moduri.
Numărul acestor metode este indicat după cum urmează:P n ... Se citește: „peh din en”. Din franceză " Permutație - permutare ". Tradus în rusă înseamnă: "Permutarea din n elemente ".
Prin urmare,
Acum să privim expresiaîn partea dreaptă a formulei. Nu arata nimic? Și dacă rescrieți de la dreapta la stânga, așa?
Ei bine, desigur! Factorial, în persoană. :) Acum putem scrie pe scurt:
Prin urmare, număr dintre toate posibile permutări din n diferite elemente este n! .
Acesta este principalul sens practic al factorialului.))
Acum putem răspunde cu ușurință la multe întrebări legate de combinații și permutări.)
În câte moduri pot fi așezate 7 rafturi diferite pe raft?
P 7 \u003d 7! \u003d 1 23 4 5 6 7 \u003d 5040 moduri.)
În câte moduri puteți crea un program (pentru o zi) din 6 subiecte diferite?
P 6 \u003d 6! \u003d 1 23 4 5 6 \u003d 720 căi.
În câte moduri puteți aranja 12 persoane într-o coloană?
Nici o problema! P 12 \u003d 12! \u003d 1 23 ... 12 \u003d 479001600 căi. :)
Super, nu-i așa?
Există o problemă de glumă foarte faimoasă pe tema permutărilor:
Odată ce 8 prieteni au intrat într-un restaurant, care avea o masă rotundă mare, și s-au certat mult timp despre cum ar fi cel mai bine ca ei să stea în jurul acestei mese. S-au certat, s-au certat, până când, în cele din urmă, proprietarul restaurantului le-a oferit o afacere: „De ce te certi? Niciunul dintre voi nu va fi foame oricum :) Așezați-vă cel puțin cumva! Amintiți-vă bine planul actual de locuri. Atunci vino mâine și așează-te altfel. A doua zi, vino și așează-te din nou într-un mod nou! Și așa mai departe ... De îndată ce parcurgeți toate opțiunile posibile de așezare și este timpul să vă așezați din nou ca azi, atunci așa este, promit să vă hrănesc gratuit în restaurantul meu! " Cine va câștiga - gazda sau vizitatorii? :)
Ei bine, hai să numărăm numărul tuturor opțiunilor de așezare posibile. În cazul nostru, acesta este numărul permutărilor a 8 elemente:
P 8 \u003d 8! \u003d 40320 moduri.
Să presupunem că avem 365 de zile într-un an (nu vom lua în considerare zilele bisective pentru simplitate). Deci, chiar și cu această presupunere în minte, numărul de ani care va dura pentru a încerca toate metodele posibile de aterizare este:
Peste 110 de ani! Adică, chiar dacă eroii noștri în cărucioare sunt aduși la restaurant de mame direct de la spital, aceștia își vor putea lua mesele gratuite doar la vârsta centenarilor foarte vârstnici. Dacă, desigur, toți cei opt supraviețuiesc până la acea vârstă.))
Acest lucru se datorează faptului că factorial este o funcție de creștere foarte rapidă! Convinge-te singur:
Apropo, cum din punctul de vedere al permutațiilor egalitățile și1! = 1 ? Și iată cum: dintr-un set gol (0 elemente) putem face doar unu permutarea este un set gol. :) Pe lângă un set format dintr-un singur element, putem face și numai unu permutare - același element.
Este totul clar cu permutările? Super, atunci să facem sarcinile.)
Exercitiul 1
Calculati:
și)P 3 b)P 5
ÎN)P 9: P 8 d)P 2000: P 1999
Tema 2
Este adevarat ca
Tema 3
Câte numere diferite din patru cifre puteți face
a) din numerele 1, 2, 3, 4
b) din numerele 0, 5, 6, 7?
Sugestie la punctul b): un număr nu poate începe cu un 0!
Tema 4
Se apelează cuvinte și fraze cu litere rearanjate anagramele... Câte anagrame pot fi făcute din cuvântul hipotenuză?
Tema 5
Câte numere din 5 cifre divizibile cu 4 se pot face schimbând numerele din 61135?
Sugestie: amintiți-vă semnul divizibilității cu 4 (cu ultimele două cifre)!
Răspunsuri în dezordine: 2000; 3628800; nouă; 24; 120; 18; 12; 6.
Ei bine, totul a funcționat! Felicitări! Nivelul 1 a trecut, mergeți la următorul. Numit „ Plasamente fără repetări."
Se încarcă ...