Sunt prezentate formulele trigonometrice de bază și substituțiile de bază. Sunt prezentate metode de integrare a funcțiilor trigonometrice - integrarea funcțiilor raționale, produsul funcțiilor de putere ale sin x și cos x, produsul unui polinom, exponențial și sinus sau cosinus, integrarea funcțiilor trigonometrice inverse. Sunt afectate metodele nestandardizate.

Conţinut

Metode standard pentru integrarea funcțiilor trigonometrice

Abordare generală

În primul rând, dacă este necesar, integrandul trebuie transformat astfel încât funcțiile trigonometrice să depindă de un argument, care ar coincide cu variabila de integrare.

De exemplu, dacă integrandul depinde de păcat (x + a) și cos (x + b), atunci ar trebui să efectuați transformarea:
cos (x + b) \u003d cos (x + a - (a-b)) \u003d cos (x + a) cos (b-a) + sin (x + a) sin (b-a).
Apoi efectuați schimbarea z \u003d x + a. Ca rezultat, funcțiile trigonometrice vor depinde doar de variabila de integrare z.

Când funcțiile trigonometrice depind de un argument care coincide cu variabila de integrare (să presupunem că acesta este z), adică integrandul constă doar din funcții de tip păcat z, cos z, tg z, ctg z, atunci trebuie să faceți o înlocuire
.
Această substituție duce la integrarea funcțiilor raționale sau iraționale (dacă există rădăcini) și permite calcularea integralei dacă este integrată în funcții elementare.

Cu toate acestea, puteți găsi adesea alte metode care vă permit să calculați integralul într-un mod mai scurt, pe baza specificului integrandului. Mai jos este un rezumat al principalelor astfel de metode.

Metode de integrare pentru funcțiile raționale ale sin x și cos x

Funcții raționale din păcat x și cos x sunt funcții derivate din păcat x, cos x și orice constante care utilizează operații de adunare, scădere, multiplicare, divizare și creștere la o putere întreagă. Acestea sunt desemnate după cum urmează: R (sin x, cos x)... Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, deoarece acestea sunt formate prin împărțirea sinusului la cosinus și invers.
Integralele funcțiilor raționale sunt:
.

Metodele de integrare a funcțiilor trigonometrice raționale sunt următoarele.
1) Înlocuirea duce întotdeauna la integralul fracției raționale. Cu toate acestea, în unele cazuri, există substituții (acestea sunt prezentate mai jos) care duc la calcule mai scurte.
2) Dacă R (sin x, cos x) cos x → - cos x păcat x.
3) Dacă R (sin x, cos x) înmulțit cu -1 când este înlocuit sin x → - sin x, apoi substituția t \u003d cos x.
4) Dacă R (sin x, cos x) nu se schimbă ca la înlocuirea simultană cos x → - cos xși sin x → - sin x, apoi substituția t \u003d tg x sau t \u003d ctg x.

Exemple:
, , .

Produs al funcțiilor de putere ale cos x și sin x

Integrale ale formei

sunt integrale ale funcțiilor trigonometrice raționale. Prin urmare, metodele descrise în secțiunea anterioară li se pot aplica. Mai jos vom lua în considerare metodele bazate pe specificul acestor integrale.

Dacă m și n sunt numere raționale, atunci una dintre substituțiile t \u003d păcat x sau t \u003d cos x integralul se reduce la o integrală a unui binom diferențial.

Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integrarea se realizează folosind formulele de reducere:

;
;
;
.

Exemplu:
.

Integrale ale produsului unui polinom și un sinus sau cosinus

Integrale ale formei:
, ,
unde P (x) este un polinom în x, sunt integrate de părți. Aceasta oferă următoarele formule:

;
.

Exemple:
, .

Integrale ale produsului unui polinom, exponent și sinus sau cosinus

Integrale ale formei:
, ,
unde P (x) este un polinom în x, sunt integrați folosind formula Euler
e iax \u003d cos ax + isin ax (unde i 2 \u003d - 1 ).
Pentru aceasta, prin metoda descrisă în paragraful anterior, se calculează integralul
.
Prin separarea părților reale și imaginare de rezultat, se obțin integralele originale.

Exemplu:
.

Metode nestandardizate de integrare a funcțiilor trigonometrice

Mai jos sunt prezentate o serie de metode nestandardizate care vă permit să efectuați sau să simplificați integrarea funcțiilor trigonometrice.

Dependența de (a sin x + b cos x)

Dacă integrandul depinde doar de un sin x + b cos x, atunci este util să aplicați formula:
,
Unde.

de exemplu

Descompunerea unei fracții din sinusuri și cosinus în fracții mai simple

Luați în considerare integralul
.
Cel mai simplu mod de integrare este extinderea fracției în altele mai simple folosind transformarea:
sin (a - b) \u003d sin (x + a - (x + b)) \u003d sin (x + a) cos (x + b) - cos (x + a) sin (x + b)

Integrarea fracțiilor de gradul I

La calcularea integralei
,
este convenabil să selectați partea întreagă a fracției și derivata numitorului
a 1 sin x + b 1 cos x \u003d A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x) ′ .
Constantele A și B se găsesc comparând părțile stânga și dreapta.

Referințe:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Colecția de probleme în matematică superioară, "Lan", 2003.

Vezi si:

Pentru a integra funcții raționale ale formei R (sin x, cos x), se utilizează o substituție, care se numește substituție trigonometrică universală. Apoi. Substituția trigonometrică generică duce adesea la calcule mari. Prin urmare, ori de câte ori este posibil, utilizați următoarele înlocuiri.

Integrarea funcțiilor în mod rațional în funcție de funcțiile trigonometrice

1. Integrale de forma ∫ sin n xdx, ∫ cos n xdx, n\u003e 0
a) Dacă n este impar, atunci ar trebui introdus un grad de sinx (sau cosx) sub semnul diferențial, iar din gradul par rămas, ar trebui să mergeți la funcția opusă.
b) Dacă n este egal, atunci folosim formulele de reducere a gradului
2. Integrale de forma ∫ tg n xdx, ∫ ctg n xdx, unde n este un număr întreg.
Trebuie să utilizați formule

3. Integrale de forma ∫ sin n x · cos m x dx
a) Fie m și n de paritate diferită. Aplicăm substituția t \u003d sin x, dacă n este impar sau t \u003d cos x, dacă m este impar.
b) Dacă m și n sunt pare, atunci folosim formulele de reducere a gradului
2sin 2 x \u003d 1-cos2x, 2cos 2 x \u003d 1 + cos2x.
4. Integrale ale formularului
Dacă numerele m și n sunt de aceeași paritate, atunci folosim substituția t \u003d tg x. Este adesea convenabil să utilizați tehnica unității trigonometrice.
5.∫ sin (nx) cos (mx) dx, ∫ cos (mx) cos (nx) dx, ∫ sin (mx) sin (nx) dx

Vom folosi formulele pentru transformarea produsului funcțiilor trigonometrice în suma lor:

• sin α cos β \u003d ½ (sin (α + β) + sin (α-β))
• cos α cos β \u003d ½ (cos (α + β) + cos (α-β))
• sin α · sin β \u003d ½ (cos (α-β) -cos (α + β))

Exemple de
1. Evaluează integralul ∫ cos 4 x · sin 3 xdx.
Facem substituția cos (x) \u003d t. Atunci ∫ cos 4 x sin 3 xdx \u003d
2. Calculați integralul.
Făcând schimbarea păcat x \u003d t, obținem

3. Găsiți integralul.
Modificăm tg (x) \u003d t. Înlocuind, obținem

Integrarea expresiilor precum R (sinx, cosx)

Exemplul nr. 1. Calculați integralele:

Decizie.
a) Integrarea expresiilor formei R (sinx, cosx), unde R este o funcție rațională a sin x și cos x, sunt transformate în integrale ale funcțiilor raționale utilizând substituția trigonometrică universală tg (x / 2) \u003d t.
Atunci noi avem

Substituția trigonometrică universală face posibilă trecerea de la o integrală a formei ∫ R (sinx, cosx) dx la o integrală a unei funcții raționale fracționate, dar de multe ori o astfel de substituție duce la expresii greoaie. În anumite condiții, substituțiile mai simple sunt eficiente:

• Dacă egalitatea R (-sin x, cos x) \u003d -R (sin x, cos x) dx se menține, atunci se aplică substituția cos x \u003d t.
• Dacă egalitatea R (sin x, -cos x) \u003d -R (sin x, cos x) dx se menține, atunci înlocuirea sin x \u003d t.
• Dacă egalitatea R (-sin x, -cos x) \u003d R (sin x, cos x) dx se menține, atunci substituția tgx \u003d t sau ctg x \u003d t.

În acest caz, pentru a găsi integralul
aplicați substituția trigonometrică universală tg (x / 2) \u003d t.
Apoi raspunde:

Tabel cu antiderivative („integrale”). Masă integrală. Integrale nedeterminate tabulare. (Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru). Formule de integrare pe părți. Formula Newton-Leibniz.

Tabel cu antiderivative („integrale”). Integrale nedeterminate tabulare. (Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru).
Integrală a unei funcții de putere.	Integrală a unei funcții de putere.
O integrală care se reduce la o integrală a unei funcții de putere dacă x este condus sub semnul diferențialului.
	Integrala exponentului, unde a este un număr constant.
Integrală a unei funcții exponențiale complexe.	Integrală a unei funcții exponențiale.
Integral egal cu logo-ul natural.	Integral: „Logaritm lung”.
	Integral: „Logaritm lung”.
Integral: „Logaritm înalt”.	Integrala, unde x în numerator este introdus sub semnul diferențialului (constanta de sub semn poate fi fie adăugată, fie scăzută), în final este similară cu o integrală egală cu sigla naturală.
Integral: „Logaritm înalt”.
Integrală a cosinusului.	Integrală sinusoidală.
Integrală egală cu tangenta.	Integral egal cu cotangenta.
Integral egal cu arcsine și arcsine
Integrală egală atât cu sinusul invers, cât și cu cosinusul invers.	Integral egal cu arc tangent și arc cotangent.
Integral egal cu cosecant.	Integral egal cu secant.
Integral egal cu secțiunea de arc.	Integral egal cu secțiunea de arc.
Integral egal cu secțiunea de arc.	Integral egal cu secțiunea de arc.
Integral egal cu sinusul hiperbolic.	Integral egal cu cosinusul hiperbolic.
Integral egal cu sinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.	Integral egal cu cosinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.
Integrală egală cu tangenta hiperbolică.	Integrală egală cu cotangenta hiperbolică.
Integrală egală cu secanta hiperbolică.	Integral egal cu cosecantul hiperbolic.

Formule de integrare pe părți. Reguli de integrare.

Formule de integrare pe părți. Formula Newton-Leibniz.Reguli de integrare.
Integrarea produsului (funcției) printr-o constantă:
Integrarea sumei de funcții:
integrale nedeterminate:
Formula integrării prin părți integrale definite:
Formula Newton-Leibniz integrale definite:	În cazul în care F (a), F (b) sunt antiderivative în punctele b și respectiv a.

Tabel cu derivate. Derivate tabulare. Derivat al operei. Derivată a coeficientului. Derivată a unei funcții complexe.

Dacă x este o variabilă independentă, atunci:

Tabel cu derivate. Derivate de tabel. „Derivat de tabel” - da, din păcate, așa sunt căutate pe internet
	Derivată a unei funcții de putere
	Derivată componentă
Derivată a unei funcții exponențiale complexe	Derivată a unei funcții exponențiale
Derivată a unei funcții logaritmice	Derivată a logaritmului natural
	Derivată a logaritmului natural al funcției
Derivat sin	Derivată a cosinusului
Derivat cosecant	Derivat securizat
Derivat arcsinic	Derivat al arccosinei
Derivat arcsinic	Derivat al arccosinei
Derivată a tangentei	Derivat cotangent
Derivat arctangent	Derivată a arcului cotangent
Derivat arctangent	Derivată a arcului cotangent
Derivat de arc arc	Derivată a secțiunii de arc
Derivat de arc arc	Derivată a secțiunii de arc
Derivată a sinusului hiperbolic Derivată a sinusului hiperbolic în versiunea în limba engleză	Derivată a cosinusului hiperbolic Derivat al cosinusului hiperbolic în versiunea în limba engleză
Derivată a tangentei hiperbolice	Derivată a cotangentei hiperbolice
Derivat al secantei hiperbolice	Derivată a cosecantului hiperbolic

Reguli de diferențiere. Derivat al operei. Derivată a coeficientului. Derivată a unei funcții complexe.
Derivată a produsului (funcției) printr-o constantă:
Derivată a sumei (funcțiilor):
Derivat al produsului (funcții):
Derivată a coeficientului (funcțiilor):
Derivată a unei funcții complexe:

Proprietățile logaritmilor. Formule de bază pentru logaritmi. Zecimale (lg) și logaritmi naturali (ln).

Identitate logaritmică de bază
Să arătăm cum este posibil ca orice funcție a formei să fie b exponențială. Deoarece o funcție a formei ex se numește exponențială, atunci
Orice funcție a formei a b poate fi reprezentată ca o putere de zece

Logaritm natural ln (baza logaritmului e \u003d 2.718281828459045 ...) ln (e) \u003d 1; ln (1) \u003d 0

Seria Taylor. Descompunerea unei funcții într-o serie Taylor.

Se pare că majoritatea practic apar funcțiile matematice pot fi reprezentate cu orice precizie în vecinătatea unui punct sub formă de serii de putere care conțin gradele variabilei în ordine crescătoare. De exemplu, în vecinătatea punctului x \u003d 1:

Când utilizați rânduri numite de rândurile lui Taylor, funcțiile mixte care conțin, să zicem, funcții algebrice, trigonometrice și exponențiale pot fi exprimate ca funcții pur algebrice. Seriile pot fi adesea folosite pentru diferențierea și integrarea rapidă.

Seria Taylor din vecinătatea punctului a are următoarele forme:

1) , unde f (x) este o funcție având derivate de toate ordinele pentru x \u003d a. R n - rest în seria Taylor este determinată de expresie

2)

coeficientul k (la x k) al seriei este determinat de formulă

3) Un caz special al seriei Taylor este seria Maclaurin (\u003d McLaren) (expansiunea are loc în jurul punctului a \u003d 0)

pentru a \u003d 0

membrii seriei sunt determinați de formulă

Condiții pentru aplicarea seriei Taylor.

1. Pentru ca funcția f (x) să fie extinsă într-o serie Taylor pe interval (-R; R), este necesar și suficient ca restul din formula Taylor (Maclaurin (\u003d McLaren)) pentru această funcție să tindă la zero la k → ∞ pe intervalul indicat (-R; R).

2. Este necesar să existe derivate pentru această funcție în punctul în vecinătatea căruia vom construi seria Taylor.

Proprietățile seriei Taylor.

Dacă f este o funcție analitică, atunci seria sa Taylor în orice punct a al domeniului f converge la f într-un vecinătate a lui.

Există funcții infinit diferențiabile a căror serie Taylor converge, dar diferă de o funcție din orice vecinătate a lui. De exemplu:

Seriile Taylor sunt utilizate în aproximare (aproximarea este o metodă științifică care constă în înlocuirea unor obiecte cu altele, într-un sens sau altul apropiat de funcțiile originale, dar mai simple) prin polinoame. În special, liniarizarea ((de la linearis - liniar), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul unui sistem neliniar este înlocuit cu o analiză a unui sistem liniar, într-un sens echivalent cu cel original.) Ecuațiile se produc prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de mai sus. prima comanda.

Astfel, aproape orice funcție poate fi reprezentată ca un polinom cu o precizie dată.

Exemple ale unor extinderi pe scară largă ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (\u003d McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0) și Taylor în vecinătatea punctului 1. Primii termeni ai expansiunilor funcțiilor principale din seria Taylor și McLaren.

Exemple ale unor expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (\u003d McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0)

Exemple ale unor expansiuni comune ale seriei Taylor în vecinătatea punctului 1

Integrale ale funcțiilor trigonometrice.
Exemple de soluții

În această lecție vom lua în considerare integralele funcțiilor trigonometrice, adică umplerea integralelor va fi sinusuri, cosinus, tangente și cotangente în diverse combinații. Toate exemplele vor fi analizate în detaliu, accesibile și ușor de înțeles chiar și pentru un ceainic.

Pentru a studia cu succes integralele funcțiilor trigonometrice, trebuie să fiți bine versat în cele mai simple integrale, precum și să stăpâniți câteva tehnici de integrare. Puteți face cunoștință cu aceste materiale la prelegeri Integrală nedefinită. Exemple de soluții și.

Și acum avem nevoie de: Masă integrală, Tabel cu derivate și Referință formulă trigonometrică... Tot mijloace didactice pot fi găsite pe pagină Formule și tabele matematice... Vă recomand să tipăriți totul. Mă concentrez în special pe formulele trigonometrice, ar trebui să fie în fața ochilor tăi - fără aceasta, eficiența muncii va scădea în mod vizibil.

Dar mai întâi, despre ce integrale din acest articol nu... Nu există integrale ale formei - cosinus, sinus, înmulțit cu un anumit polinom (mai rar ceva cu tangentă sau cotangentă). Astfel de integrale sunt integrate pe părți, iar pentru a învăța metoda, vizitați lecția Integrare pe părți. Exemple de soluții. De asemenea, nu există integrale cu „arcade” - arctangent, arcsine etc., ele sunt, de asemenea, cel mai adesea integrate de piese.

Pentru a găsi integralele funcțiilor trigonometrice, se utilizează o serie de metode:

(4) Folosim formula tabelară , singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă.

Exemplul 2

Exemplul 3

Găsiți integralul nedefinit.

Un clasic al genului pentru cei care se îneacă în test. După cum probabil ați observat, în tabelul integralelor nu există nicio integrală a tangentei și cotangentei, dar, cu toate acestea, astfel de integrale pot fi găsite.

(1) Folosim formula trigonometrică

(2) Aducem funcția sub semnul diferențialului.

(3) Folosim integralul tabelar .

Exemplul 4

Găsiți integralul nedefinit.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, o soluție completă și un răspuns - la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Găsiți integralul nedefinit.

Gradele noastre vor crește treptat \u003d).
Soluția întâi:

(1) Folosim formula

(2) Folosim identitatea trigonometrică de bază , din care rezultă că .

(3) Împarte termenul numărătorului la numitor.

(4) Folosim proprietatea liniarității integralei nedeterminate.

(5) Ne integrăm folosind un tabel.

Exemplul 6

Găsiți integralul nedefinit.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, o soluție completă și un răspuns - la sfârșitul lecției.

Există, de asemenea, integrale de tangente și cotangente, care sunt în grade superioare. Integrala tangentei într-un cub este luată în considerare în lecție Cum calculez aria unei figuri plate? Integralele tangentei (cotangentei) în gradele patru și cinci pot fi găsite pe pagină Integrale complexe.

Scăderea gradului integrandului

Această tehnică funcționează atunci când integranzii sunt umpluți cu sinusuri și cosinusuri chiar grade. Pentru a reduce gradul, se folosesc formule trigonometrice , și, în plus, ultima formulă este adesea folosită în direcția opusă: .

Exemplul 7

Găsiți integralul nedefinit.

Decizie:

Practic, nu este nimic nou aici, cu excepția faptului că am aplicat formula (prin scăderea gradului integrandului). Vă rugăm să rețineți că am scurtat soluția. Odată cu acumularea de experiență, integralul poate fi găsit oral, acest lucru economisește timp și este destul de acceptabil la finalizarea sarcinilor. În acest caz, este recomandabil să nu descrieți regula , mai întâi luăm oral integralul 1, apoi - din.

Exemplul 8

Găsiți integralul nedefinit.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, o soluție completă și un răspuns - la sfârșitul lecției.

Acestea sunt creșterea promisă a gradului:

Exemplul 9

Găsiți integralul nedefinit.

Soluția mai întâi, apoi comentează:

(1) Pregătiți integrandul pentru a aplica formula .

(2) De fapt, aplicăm formula.

(3) Păstrați numitorul și mutați constanta în afara semnului integral. Ai fi putut face un pic diferit, dar, în opinia mea, este mai convenabil.

(4) Folosim formula

(5) În al treilea termen, scădem din nou gradul, dar de data aceasta folosind formula .

(6) Prezentăm termeni similari (aici am împărțit la termen și a făcut adăugarea).

(7) De fapt, luăm integralul, regula liniarității iar metoda de a aduce funcția sub semnul diferențial se realizează oral.

(8) Combinarea răspunsului.

! Într-o integrală nedefinită, răspunsul poate fi adesea scris în mai multe moduri

În exemplul tocmai luat în considerare, răspunsul final ar putea fi scris diferit - pentru a extinde parantezele și chiar pentru a face acest lucru chiar înainte de a integra expresia, adică următorul exemplu de finalizare este destul de acceptabil:

Este foarte posibil ca această opțiune să fie și mai convenabilă, tocmai am explicat-o așa cum obișnuiam să mă decid eu). Iată un alt exemplu tipic pentru o soluție independentă:

Exemplul 10

Găsiți integralul nedefinit.

Acest exemplu poate fi rezolvat în două moduri și este posibil să obțineți două răspunsuri complet diferite (mai exact, vor arăta complet diferiți și din punct de vedere matematic vor fi echivalenți). Cel mai probabil, nu veți vedea cel mai rațional mod și veți avea de suferit odată cu deschiderea parantezelor, folosind alte formule trigonometrice. Cea mai eficientă soluție este prezentată la sfârșitul lecției.

Rezumând paragraful, concluzionăm: orice integrantă a formei , unde și - chiar , se rezolvă prin metoda de scădere a gradului integrandului.
În practică, am întâlnit integrale cu 8 și 10 grade, a trebuit să le rezolv teribilele hemoroizi prin scăderea gradului de mai multe ori, ceea ce a dus la răspunsuri lungi.

Metoda de înlocuire variabilă

După cum se menționează în articol Metoda schimbării variabilei în integrală nedeterminată, principala condiție prealabilă pentru utilizarea metodei de înlocuire este faptul că există o anumită funcție și derivatul acesteia în integrand:
(funcții, nu neapărat în produs)

Exemplul 11

Găsiți integralul nedefinit.

Ne uităm la tabelul derivatelor și observăm formulele, , adică în integrandul nostru există o funcție și derivatul ei. Cu toate acestea, vedem că în timpul diferențierii, cosinusul și sinusul se transformă reciproc, și apare întrebarea: cum să schimbăm variabila și ce să denotăm prin - sinus sau cosinus?! Întrebarea poate fi rezolvată printr-o lovitură științifică: dacă efectuăm greșit înlocuirea, atunci nu va rezulta nimic bun.

Ghid general: în cazuri similare, trebuie să desemnați funcția care se află în numitor.

Întrerupem soluția și efectuăm o înlocuire

La numitor, totul este în regulă la noi, totul depinde doar de, acum rămâne să aflăm în ce se va transforma.
Pentru a face acest lucru, găsim diferențialul:

Sau, pe scurt:
Din egalitatea obținută, conform regulii proporționale, exprimăm expresia de care avem nevoie:

Asa de:

Acum întregul integrand depinde doar de și puteți continua soluția

Terminat. Permiteți-mi să vă reamintesc că scopul înlocuirii este de a simplifica integrandul, în acest caz totul sa rezumat la integrarea funcției de putere peste masă.

Nu întâmplător am pictat acest exemplu în detaliu, acest lucru a fost făcut pentru a repeta și a consolida materialele lecției Metoda schimbării variabilei în integrală nedeterminată.

Și acum două exemple pentru o soluție independentă:

Exemplul 12

Găsiți integralul nedefinit.

Exemplul 13

Găsiți integralul nedefinit.

Completați soluțiile și răspunsurile la sfârșitul lecției.

Exemplul 14

Găsiți integralul nedefinit.

Aici din nou, în integrand, există un sinus cu un cosinus (o funcție cu o derivată), dar deja în produs, și apare o dilemă - cu ce să denotăm sinus sau cosinus?

Puteți încerca să efectuați înlocuirea prin metoda științifică și, dacă nu funcționează nimic, atunci desemnați pentru o altă funcție, dar există:

Orientare generală: pentru că este necesar să se desemneze funcția care, la figurat vorbind, se află într-o „poziție incomodă”.

Vedem că în acest exemplu, cosinusul studențesc „suferă” de grad, iar sinusul stă liber singur.

Prin urmare, vom înlocui:

Dacă cineva mai are dificultăți cu algoritmul de înlocuire variabilă și cu găsirea diferențialului, atunci ar trebui să reveniți la lecție Metoda schimbării variabilei în integrală nedeterminată.

Exemplul 15

Găsiți integralul nedefinit.

Analizăm integrandul, cu ce ar trebui notat?
Ne reamintim reperele noastre:
1) Funcția este cel mai probabil la numitor;
2) Funcția este într-o „poziție incomodă”.

Apropo, aceste linii directoare sunt valabile nu numai pentru funcțiile trigonometrice.

Sinusul se potrivește ambelor criterii (în special cel de-al doilea), deci este sugerată o înlocuire. În principiu, înlocuirea poate fi deja efectuată, dar la început ar fi frumos să ne dăm seama, dar cu ce să facem? Mai întâi, „ciupim” un cosinus:

Ne rezervăm diferențialul „viitor”

Și exprimăm prin sinus folosind principalul identitate trigonometrică:

Iată înlocuitorul:

Regula generală: dacă în integrand una dintre funcțiile trigonometrice (sinus sau cosinus) este în ciudat grad, atunci este necesar să „mușcăm” o funcție din gradul impar și să desemnăm o altă funcție.Vorbim doar despre integrale unde există cosinus și sinus.

În exemplul considerat, am avut un cosinus într-un grad impar, așa că am scos un cosinus din grad și am notat un sinus în spate.

Exemplul 16

Găsiți integralul nedefinit.

Gradele decolează \u003d).
Acesta este un exemplu pentru o soluție autonomă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Substituție trigonometrică universală

Substituția trigonometrică generică este un caz obișnuit de substituție variabilă. Puteți încerca să îl aplicați când „nu știți ce să faceți”. Dar, de fapt, există câteva linii directoare pentru aplicarea acestuia. Integrale tipice în care trebuie să aplicați substituție trigonometrică universală sunt următoarele integrale: , , , etc.

Exemplul 17

Găsiți integralul nedefinit.

În acest caz, substituția trigonometrică universală este implementată în felul următor. Să înlocuim:. Nu folosesc o scrisoare, ci o scrisoare, aceasta nu este un fel de regulă, doar că din nou sunt atât de obișnuit să rezolv.

Este mai convenabil să găsim diferențialul aici, pentru asta din egalitate, exprim:
Atasez arctangenta la ambele parti:

Arc tangent și tangent se anulează reciproc:

În acest fel:

În practică, nu puteți descrie în detaliu, ci pur și simplu utilizați rezultatul final:

! Expresia este valabilă numai dacă sub sinusuri și cosinusuri avem doar "x", pentru integral (despre care vom vorbi mai târziu) totul va fi ușor diferit!

Când înlocuim sinusurile și cosinuzii, ne transformăm în următoarele fracții:
,, aceste egalități se bazează pe formule trigonometrice bine cunoscute: ,

Deci, designul final poate fi astfel:

Să efectuăm o substituție trigonometrică universală:

Exemple de soluții de integrale pe părți sunt luate în considerare în detaliu, al cărui integrand este produsul unui polinom printr-un exponențial (e la puterea lui x) sau printr-un sinus (sin x) sau un cosinus (cos x).

Conţinut

Vezi si: Integrare pe piese
Tabel integral nedefinit
Metode pentru calcularea integralelor nedeterminate
Funcțiile elementare de bază și proprietățile acestora

Formula integrării prin părți

La rezolvarea exemplelor din această secțiune, se utilizează formula integrării prin părți:
;
.

Exemple de integrale care conțin produsul unui polinom și sin x, cos x sau e x

Iată exemple de astfel de integrale:
, , .

Pentru a integra astfel de integrale, polinomul este notat cu u, iar restul - cu v dx. Mai mult, se aplică formula de integrare pe părți.

O soluție detaliată la aceste exemple este dată mai jos.

Exemple de soluții integrate

Exemplu cu exponent, e la puterea x

Determinați integralul:
.

Să introducem un exponent sub semnul diferențial:
e - x dx \u003d - e - x d (-x) \u003d - d (e - x).

Ne integrăm pe părți.

aici
.
Integrala rămasă este, de asemenea, integrabilă prin părți.
.
.
.
În cele din urmă, avem:
.

Un exemplu de definire a unei integrale cu un sinus

Calculați integralul:
.

Să introducem un sinus sub semnul diferențialului:

Ne integrăm pe părți.

aici u \u003d x 2, v \u003d cos (2 x + 3), du \u003d ( x 2 )′ dx

Integrala rămasă este, de asemenea, integrabilă prin părți. Pentru aceasta, introducem cosinusul sub semnul diferențial.


aici u \u003d x, v \u003d sin (2 x + 3), du \u003d dx

În cele din urmă, avem:

Un exemplu de produs al unui polinom și al unui cosinus

Calculați integralul:
.

Să introducem cosinusul sub semnul diferențial:

Ne integrăm pe părți.

aici u \u003d x 2 + 3 x + 5, v \u003d sin 2 x, du \u003d ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx