Formula pentru suma unei progresii aritmetice. Cum să găsiți o progresie aritmetică? Exemple de progresie aritmetică cu soluție. III. Rezolvarea sarcinii

Matematica are propria ei frumusețe, ca și pictura și poezia.

Om de știință rus, mecanic N.E. Jukovski

Sarcinile foarte frecvente la probele de admitere la matematică sunt sarcini legate de conceptul de progresie aritmetică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, este necesar să cunoașteți bine proprietățile unei progresii aritmetice și să aveți anumite abilități în aplicarea lor.

Să ne amintim mai întâi principalele proprietăți ale unei progresii aritmetice și să prezentăm cele mai importante formule, asociat cu acest concept.

Definiție. Secvență numerică, în care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent prin acelaşi număr, numită progresie aritmetică. În același timp, numărulse numeste diferenta de progresie.

Pentru o progresie aritmetică, formulele sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului comun al unei progresii aritmetice, iar formula (2) este proprietatea principală a unei progresii aritmetice: fiecare membru al progresiei coincide cu media aritmetică a membrilor săi vecini și .

Rețineți că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia luată în considerare este numită „aritmetică”.

Formulele (1) și (2) de mai sus sunt rezumate după cum urmează:

(3)

Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii aritmeticese folosește de obicei formula

(5) unde și .

Dacă luăm în considerare formula (1), atunci formula (5) implică

Dacă desemnăm

Unde . Deoarece , atunci formulele (7) și (8) sunt o generalizare a formulelor corespunzătoare (5) și (6).

În special , din formula (5) rezultă, ce

Printre cele puțin cunoscute de majoritatea studenților se numără proprietatea unei progresii aritmetice, formulată prin intermediul următoarei teoreme.

Teorema. Daca atunci

Dovada. Daca atunci

Teorema a fost demonstrată.

De exemplu , folosind teorema, se poate arăta că

Să trecem la luarea în considerare a exemplelor tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Progresia aritmetică”.

Exemplul 1 Lasă și . Găsi .

Soluţie. Aplicând formula (6), obținem . Din moment ce și , apoi sau .

Exemplul 2 Mai lasă de trei ori, iar la împărțirea la cât, rezultă 2, iar restul este 8. Determinați și.

Soluţie. Sistemul de ecuații rezultă din condiția exemplului

Deoarece , , și , atunci din sistemul de ecuații (10) obținem

Rezolvarea acestui sistem de ecuații sunt și .

Exemplul 3 Găsiți dacă și .

Soluţie. Conform formulei (5), avem sau . Cu toate acestea, folosind proprietatea (9), obținem .

Din moment ce și , apoi din egalitate urmează ecuația sau .

Exemplul 4 Găsiți dacă .

Soluţie.Prin formula (5) avem

Cu toate acestea, folosind teorema, se poate scrie

De aici și din formula (11) obținem .

Exemplul 5. Dat: . Găsi .

Soluţie. De atunci . Cu toate acestea , prin urmare .

Exemplul 6 Să , și . Găsi .

Soluţie. Folosind formula (9), obținem . Prin urmare, dacă , atunci sau .

Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații

Rezolvând care, obținem și .

Rădăcina naturală a ecuației este un .

Exemplul 7 Găsiți dacă și .

Soluţie. Deoarece conform formulei (3) avem că , atunci sistemul de ecuații rezultă din condiția problemei

Dacă înlocuim expresiaîn a doua ecuație a sistemului, atunci obținem sau .

Rădăcinile ecuației pătratice suntși .

Să luăm în considerare două cazuri.

1. Fie , atunci . De când și , atunci .

În acest caz, conform formulei (6), avem

2. Dacă , atunci , și

Raspuns: si.

Exemplul 8 Se ştie că şi Găsi .

Soluţie.Ținând cont de formula (5) și de condiția exemplului, scriem și .

Aceasta implică sistemul de ecuații

Dacă înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2 și apoi o adăugăm la a doua ecuație, obținem

Conform formulei (9), avem. În acest sens, din (12) rezultă sau .

De când și , atunci .

Răspuns: .

Exemplul 9 Găsiți dacă și .

Soluţie. Din moment ce , și după condiție , atunci sau .

Din formula (5) se știe, ce . De atunci .

Prin urmare, aici avem un sistem de ecuații liniare

De aici obținem și . Ținând cont de formula (8), scriem .

Exemplul 10 Rezolvați ecuația.

Soluţie. Din ecuația dată rezultă că . Să presupunem că , , și . În acest caz .

Conform formulei (1), putem scrie sau .

Deoarece , ecuația (13) are o rădăcină adecvată unică .

Exemplul 11. Găsiți valoarea maximă cu condiția ca și .

Soluţie. De la , atunci progresia aritmetică considerată este în scădere. În acest sens, expresia capătă o valoare maximă atunci când este numărul membrului pozitiv minim al progresiei.

Folosim formula (1) și faptul, care și . Apoi obținem asta sau .

Pentru că, atunci sau . Cu toate acestea, în această inegalitatecel mai mare număr natural, De aceea .

Dacă valorile și sunt înlocuite în formula (6), atunci obținem .

Răspuns: .

Exemplul 12. Aflați suma tuturor numerelor naturale din două cifre care, atunci când sunt împărțite la 6, au restul de 5.

Soluţie. Se notează prin mulțimea tuturor numerelor naturale cu două valori, adică . În continuare, construim o submulțime constând din acele elemente (numere) ale mulțimii care, împărțite la numărul 6, dau un rest de 5.

Ușor de instalat, ce . Evident , că elementele ansambluluiformează o progresie aritmetică, în care și .

Pentru a determina cardinalitatea (numărul de elemente) mulțimii, presupunem că . Deoarece și , atunci formula (1) implică sau . Ținând cont de formula (5), obținem .

Exemplele de mai sus de rezolvare a problemelor nu pot pretinde în niciun caz a fi exhaustive. Acest articol este scris pe baza unei analize a metodelor moderne de rezolvare a problemelor tipice pe o anumită temă. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor legate de progresia aritmetică, este indicat să consultați lista de literatură recomandată.

1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Lumea și educația, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Aveti vreo intrebare?

Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

• extinderea și aprofundarea ideilor elevilor despre sarcinile rezolvate cu ajutorul progresiei aritmetice; organizarea activității de căutare a elevilor la derivarea formulei pentru suma primilor n membri ai unei progresii aritmetice;
• dezvoltarea abilităților de a dobândi în mod independent noi cunoștințe, de a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a îndeplini sarcina;
• dezvoltarea dorinței și nevoii de generalizare a faptelor obținute, dezvoltarea independenței.

Sarcini:

• generalizarea și sistematizarea cunoștințelor existente pe tema „Progresia aritmetică”;
• deduceți formule pentru calcularea sumei primilor n membri ai unei progresii aritmetice;
• invata modul de aplicare a formulelor obtinute in rezolvarea diverselor probleme;
• atrage atenţia elevilor asupra procedeului de aflare a valorii unei expresii numerice.

Echipament:

• fișe cu sarcini pentru lucru în grupuri și perechi;
• lucrare de evaluare;
• prezentare„Progresie aritmetică”.

I. Actualizarea cunoștințelor de bază.

1. Munca independentă în perechi.

prima varianta:

Definiți o progresie aritmetică. Scrieți o formulă recursivă care definește o progresie aritmetică. Dați un exemplu de progresie aritmetică și indicați diferența acesteia.

a 2-a varianta:

Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al unei progresii aritmetice ( un n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi elevi din spatele tablei pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului comparând-o cu tabla. (Se predau pliante cu răspunsuri).

2. Momentul jocului.

Exercitiul 1.

Profesor. Am conceput o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări pentru ca după răspunsuri să poți numi rapid al 7-lea membru al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Întrebări de la studenți.

1. Care este al șaselea termen al progresiei și care este diferența?
2. Care este al optulea termen al progresiei și care este diferența?

Dacă nu mai există întrebări, atunci profesorul le poate stimula - o „interdicție” pe d (diferență), adică nu este permis să întrebați care este diferența. Puteți pune întrebări: care este al 6-lea termen al progresiei și care este al 8-lea termen al progresiei?

Sarcina 2.

Pe tablă sunt scrise 20 de numere: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii spun numărul numărului, iar profesorul sună imediat numărul însuși. Explicați cum pot face asta?

Profesorul își amintește formula celui de-al n-lea termen a n \u003d 3n - 2și, înlocuind valorile date ale lui n, găsește valorile corespunzătoare un n .

II. Enunțul sarcinii educaționale.

Imi propun sa rezolv o problema veche datand din mileniul II i.Hr., gasita in papirusurile egiptene.

Sarcină:„Să vi se spună: împărțiți 10 măsuri de orz la 10 oameni, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este de 1/8 din măsură.”

• Cum se leagă această problemă cu subiectul progresiei aritmetice? (Fiecare persoană următoare primește 1/8 din măsură în plus, deci diferența este d=1/8, 10 persoane, deci n=10.)
• Ce crezi că înseamnă numărul 10? (Suma tuturor membrilor progresiei.)
• Ce altceva trebuie să știți pentru a face ușor și simplu împărțirea orzului în funcție de starea problemei? (Primul termen al progresiei.)

Obiectivul lecției- obținerea dependenței sumei termenilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în antichitate.

Înainte de a deriva formula, să vedem cum au rezolvat egiptenii antici problema.

Și au rezolvat așa:

1) 10 masuri: 10 = 1 masura - cota medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri - dublată in medie acțiune.
dublat in medie cota este suma acțiunilor persoanei a 5-a și a 6-a.
3) 2 masuri - 1/8 masura = 1 7/8 masuri - dublul cotei persoanei a cincea.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - cota celui de-al cincilea; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.

Obținem secvența:

III. Rezolvarea sarcinii.

1. Lucrați în grupuri

grupa 1: Aflați suma a 20 de numere naturale consecutive: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

În general

grupa II: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda lui Micul Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Concluzie:

grupa III: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 21.

Rezolvare: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Concluzie:

grupa IV: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 101.

Concluzie:

Această metodă de rezolvare a problemelor luate în considerare se numește „metoda Gauss”.

2. Fiecare grupă prezintă pe tablă soluția problemei.

3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Găsim această sumă argumentând în mod similar:

4. Am rezolvat sarcina?(Da.)

IV. Înțelegerea și aplicarea primară a formulelor obținute în rezolvarea problemelor.

1. Verificarea rezolvarii unei probleme vechi prin formula.

2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.

3. Exerciţii pentru formarea capacităţii de aplicare a formulei în rezolvarea problemelor.

A) Nr. 613

Dat :( si n) - progresie aritmetică;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Găsi: S 1500

Soluţie: , și 1 = 1 și 1500 = 1500,

B) Având în vedere: ( si n) - progresie aritmetică;
(și n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Găsi: n
Soluţie:

V. Munca independentă cu verificare reciprocă.

Denis a plecat să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat într-un an?

Dat :( si n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d=30, n=12
Găsi: S 12
Soluţie:

Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble pe an.

VI. Instruirea temelor pentru acasă.

1. p. 4.3 - învață derivarea formulei.
2. №№ 585, 623 .
3. Compuneți o problemă care ar fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

VII. Rezumând lecția.

1. Fișa de punctaj

2. Continuați propozițiile

• Astăzi la clasă am învățat...
• Formule invatate...
• Cred ca …

3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?

Bibliografie.

1. Algebră, clasa a IX-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscova: Iluminismul, 2009.

Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :)

Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovada internă a capacului îmi spune că încă nu știți ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) doriți să știți. Prin urmare, nu vă voi chinui cu prezentări lungi și voi trece imediat la treabă.

Pentru început, câteva exemple. Luați în considerare mai multe seturi de numere:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ce au toate aceste seturi în comun? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Și anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.

Judecă singur. Primul set este doar numere consecutive, fiecare mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja egală cu cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, există rădăcini în general. Cu toate acestea, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, în timp ce $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, adică. caz în care fiecare element următor crește pur și simplu cu $\sqrt(2)$ (și nu vă speriați că acest număr este irațional).

Deci: toate astfel de secvențe se numesc doar progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:

Definiție. O succesiune de numere în care fiecare următor diferă de precedentul prin exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însuși valoarea cu care numerele diferă se numește diferență de progresie și este cel mai adesea notă cu litera $d$.

Notație: $\left(((a)_(n)) \right)$ este progresia în sine, $d$ este diferența acesteia.

Și doar câteva observații importante. În primul rând, progresia este luată în considerare numai ordonat succesiune de numere: au voie să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Nu puteți rearanja sau schimba numerele.

În al doilea rând, succesiunea în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este în mod evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva de genul (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie infinită. Punctele de suspensie de după cele patru, parcă, sugerează că destul de multe numere merg mai departe. Infinit multe, de exemplu. :)

De asemenea, aș dori să remarc că progresiile sunt în creștere și scădere. Am văzut deja crescătoare - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată exemple de progresii în scădere:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Bine, bine: ultimul exemplu poate părea excesiv de complicat. Dar restul, cred că ai înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:

Definiție. O progresie aritmetica se numeste:

1. crescând dacă fiecare element următor este mai mare decât cel anterior;
2. descrescătoare, dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.

În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - ele constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).

Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie crescătoare de una în scădere? Din fericire, totul aici depinde doar de semnul numărului $d$, adică. diferente de progresie:

1. Dacă $d \gt 0$, atunci progresia este în creștere;
2. Dacă $d \lt 0$, atunci progresia este în mod evident în scădere;
3. În sfârșit, există cazul $d=0$ — în acest caz întreaga progresie se reduce la o succesiune staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Să încercăm să calculăm diferența $d$ pentru cele trei progresii descrescătoare de mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți din numărul din dreapta, numărul din stânga. Va arata asa:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

După cum puteți vedea, în toate cele trei cazuri diferența sa dovedit cu adevărat negativă. Și acum că ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și ce proprietăți au acestea.

Membrii progresiei și formulei recurente

Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi interschimbate, ele pot fi numerotate:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \dreapta\)\]

Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai progresiei. Ele sunt indicate astfel cu ajutorul unui număr: primul membru, al doilea membru etc.

În plus, după cum știm deja, membrii vecini ai progresiei sunt legați prin formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Pe scurt, pentru a găsi $n$-lea termen al progresiei, trebuie să cunoașteți $n-1$-lea termen și diferența $d$. O astfel de formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul ei poți găsi orice număr, cunoscându-l doar pe cel anterior (și de fapt, pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai complicată care reduce orice calcul la primul termen și diferența:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\stanga(n-1 \dreapta)d\]

Probabil ați mai întâlnit această formulă. Le place să-l dea în tot felul de cărți de referință și reshebniks. Și în orice manual sensibil de matematică, este unul dintre primele.

Totuși, vă sugerez să exersați puțin.

Sarcina numărul 1. Notați primii trei termeni ai progresiei aritmetice $\left(((a)_(n)) \right)$ dacă $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluţie. Deci, cunoaștem primul termen $((a)_(1))=8$ și diferența de progresie $d=-5$. Să folosim formula tocmai dată și să înlocuim $n=1$, $n=2$ și $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Răspuns: (8; 3; -2)

Asta e tot! Rețineți că progresia noastră este în scădere.

Desigur, $n=1$ nu ar fi putut fi înlocuit - știm deja primul termen. Totuși, înlocuind unitatea, ne-am asigurat că și pentru primul termen formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul s-a rezumat la aritmetică banală.

Sarcina numărul 2. Scrieți primii trei termeni ai unei progresii aritmetice dacă al șaptelea termen este -40 și al șaptesprezecelea termen este -50.

Soluţie. Scriem starea problemei în termenii obișnuiți:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \dreapta.\]

Am pus semnul sistemului pentru că aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Și acum observăm că dacă scădem prima ecuație din a doua ecuație (avem dreptul să facem asta, deoarece avem un sistem), obținem asta:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Așa am găsit diferența de progres! Rămâne să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Gata! Problema rezolvata.

Răspuns: (-34; -35; -36)

Atenție la o proprietate curioasă a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $n$th și $m$th și îi scădem unul de la celălalt, atunci obținem diferența de progresie înmulțită cu numărul $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

O proprietate simplă, dar foarte utilă pe care cu siguranță ar trebui să o cunoașteți - cu ajutorul ei, puteți accelera semnificativ rezolvarea multor probleme de progresie. Iată un prim exemplu în acest sens:

Sarcina numărul 3. Al cincilea termen al progresiei aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.

Soluţie. Deoarece $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ și trebuie să găsim $((a)_(15))$, observăm următoarele:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Dar prin condiția $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, deci $5d=6$, de unde avem:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Răspuns: 20.4

Asta e tot! Nu a fost nevoie să compunem niciun sistem de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost decis în doar câteva linii.

Acum să luăm în considerare un alt tip de problemă - căutarea membrilor negativi și pozitivi ai progresiei. Nu este un secret că, dacă progresia crește, în timp ce primul său termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în ea. Și invers: termenii unei progresii descrescătoare vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.

În același timp, este departe de a fi întotdeauna posibil să găsim acest moment „pe frunte”, sortând secvenţial printre elemente. Adesea, problemele sunt concepute în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar dura mai multe foi - doar am adormi până am găsi răspunsul. Prin urmare, vom încerca să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.

Sarcina numărul 4. Câți termeni negativi într-o progresie aritmetică -38,5; -35,8; …?

Soluţie. Deci, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, din care găsim imediat diferența:

Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia este în creștere. Primul termen este negativ, așa că într-adevăr, la un moment dat, ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla asta.

Să încercăm să aflăm: cât timp (adică până la ce număr natural $n$) se păstrează negativitatea termenilor:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dreapta. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ultima linie are nevoie de clarificare. Deci știm că $n \lt 15\frac(7)(27)$. Pe de altă parte, doar valorile întregi ale numărului ne vor potrivi (mai mult: $n\in \mathbb(N)$), deci cel mai mare număr permis este tocmai $n=15$ și în niciun caz 16.

Sarcina numărul 5. În progresia aritmetică $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Aflați numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.

Aceasta ar fi exact aceeași problemă ca cea anterioară, dar nu știm $((a)_(1))$. Dar termenii vecini sunt cunoscuți: $((a)_(5))$ și $((a)_(6))$, așa că putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

În plus, să încercăm să exprimăm al cincilea termen în termeni de primul și diferența folosind formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Acum procedăm prin analogie cu problema anterioară. Aflăm în ce moment în succesiunea noastră vor apărea numerele pozitive:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Soluția întreagă minimă a acestei inegalități este numărul 56.

Vă rugăm să rețineți că în ultima sarcină totul a fost redus la o inegalitate strictă, așa că opțiunea $n=55$ nu ne va potrivi.

Acum că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să învățăm o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care ne va economisi mult timp și celule inegale în viitor. :)

Media aritmetică și liniuțe egale

Luați în considerare câțiva termeni consecutivi ai progresiei aritmetice crescătoare $\left(((a)_(n)) \right)$. Să încercăm să le marchem pe o linie numerică:

Membrii progresiei aritmetice pe linia numerică

Am notat în mod special membrii arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ și nu orice $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Pentru că regula, pe care o voi spune acum, funcționează la fel pentru orice „segmente”.

Și regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recursivă și să o notăm pentru toți membrii marcați:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Ei bine, ce? Dar faptul că termenii $((a)_(n-1))$ și $((a)_(n+1))$ se află la aceeași distanță de $((a)_(n)) $ . Și această distanță este egală cu $d$. Același lucru se poate spune despre termenii $((a)_(n-2))$ și $((a)_(n+2))$ - ei sunt, de asemenea, eliminați din $((a)_(n) )$ cu aceeași distanță egală cu $2d$. Puteți continua la nesfârșit, dar imaginea ilustrează bine sensul

Membrii progresiei se află la aceeași distanță de centru

Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că puteți găsi $((a)_(n))$ dacă numerele învecinate sunt cunoscute:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Am dedus o afirmație magnifică: fiecare membru al unei progresii aritmetice este egal cu media aritmetică a membrilor vecini! Mai mult, ne putem abate de la $((a)_(n))$ la stânga și la dreapta nu cu un pas, ci cu $k$ pași - și totuși formula va fi corectă:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Acestea. putem găsi cu ușurință câțiva $((a)_(150))$ dacă știm $((a)_(100))$ și $((a)_(200))$, deoarece $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe sarcini sunt special „ascuțite” pentru utilizarea mediei aritmetice. Aruncă o privire:

Sarcina numărul 6. Găsiți toate valorile lui $x$ astfel încât numerele $-6((x)^(2))$, $x+1$ și $14+4((x)^(2))$ să fie membri consecutivi ai o progresie aritmetică (în ordinea specificată).

Soluţie. Deoarece aceste numere sunt membre ale unei progresii, condiția mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $x+1$ poate fi exprimat în termeni de elemente învecinate:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultatul este o ecuație pătratică clasică. Rădăcinile sale: $x=2$ și $x=-3$ sunt răspunsurile.

Răspuns: -3; 2.

Sarcina numărul 7. Găsiți valorile lui $$ astfel încât numerele $-1;4-3;(()^(2))+1$ să formeze o progresie aritmetică (în această ordine).

Soluţie. Din nou, exprimăm termenul de mijloc în termenii mediei aritmetice a termenilor învecinați:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\dreapta.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

O altă ecuație pătratică. Și din nou două rădăcini: $x=6$ și $x=1$.

Raspunsul 1; 6.

Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme obții niște numere brutale, sau nu ești complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există un truc minunat care îți permite să verifici: am rezolvat corect problema?

Să presupunem că în problema 6 avem răspunsurile -3 și 2. Cum putem verifica dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea originală și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($-6(()^(2))$, $+1$ și $14+4(()^(2))$), care ar trebui să formeze o progresie aritmetică. Înlocuiește $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Am primit numerele -54; −2; 50 care diferă cu 52 este, fără îndoială, o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă și pentru $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema este rezolvată corect. Cei care doresc pot verifica singuri a doua sarcină, dar voi spune imediat: totul este corect și acolo.

În general, în timp ce rezolvăm ultimele probleme, am dat peste un alt fapt interesant care trebuie să ne amintim:

Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media primului și ultimului, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.

În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „construim” literalmente progresiile necesare pe baza stării problemei. Dar înainte de a ne angaja într-o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care decurge direct din ceea ce a fost deja luat în considerare.

Gruparea și suma elementelor

Să revenim din nou la linia numerică. Remarcăm acolo câțiva membri ai progresiei, între care, poate. merită mulți alți membri:

6 elemente marcate pe linia numerică

Să încercăm să exprimăm „coada din stânga” în termeni de $((a)_(n))$ și $d$, iar „coada din dreapta” în termeni de $((a)_(k))$ și $ d$. E foarte simplu:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Acum rețineți că următoarele sume sunt egale:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Mai simplu spus, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un anumit număr $S$, apoi începem să pășim din aceste elemente în direcții opuse (unul față de celălalt sau invers pentru a ne îndepărta), atunci sumele elementelor de care ne vom împiedica vor fi de asemenea egale$S$. Acest lucru poate fi cel mai bine reprezentat grafic:

Aceleași liniuțe dau sume egale

Înțelegerea acestui fapt ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel fundamental de complexitate mai mare decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, acestea:

Sarcina numărul 8. Determinați diferența unei progresii aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul dintre al doilea și al doisprezecelea termeni este cel mai mic posibil.

Soluţie. Să scriem tot ce știm:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Deci, nu cunoaștem diferența progresiei $d$. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ poate fi rescris după cum urmează:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pentru cei din rezervor: am scos factorul comun 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul dorit este o funcție pătratică în raport cu variabila $d$. Prin urmare, luați în considerare funcția $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă deschidem parantezele, obținem:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

După cum puteți vedea, coeficientul cu cel mai mare termen este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:

graficul unei funcții pătratice - parabolă

Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârful său cu abscisa $((d)_(0))$. Desigur, putem calcula această abscisă după schema standard (există o formulă $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), dar ar fi mult mai rezonabil să rețineți că vârful dorit se află pe simetria axei parabolei, deci punctul $((d)_(0))$ este echidistant de rădăcinile ecuației $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

De aceea nu m-am grăbit să deschid parantezele: în forma originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media aritmetică a numerelor −66 și −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ce ne dă numărul descoperit? Cu acesta, produsul solicitat ia cea mai mică valoare (apropo, nu am calculat $((y)_(\min ))$ - acest lucru nu este cerut de la noi). În același timp, acest număr este diferența progresiei inițiale, adică. am gasit raspunsul. :)

Răspuns: -36

Sarcina numărul 9. Introduceți trei numere între numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac(1)(6)$ astfel încât împreună cu numerele date să formeze o progresie aritmetică.

Soluţie. De fapt, trebuie să facem o succesiune de cinci numere, primul și ultimul număr fiind deja cunoscute. Notează numerele lipsă prin variabilele $x$, $y$ și $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Rețineți că numărul $y$ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant de numerele $x$ și $z$ și de numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac (1)( 6)$. Și dacă în acest moment nu putem obține $y$ din numerele $x$ și $z$, atunci situația este diferită cu capetele progresiei. Amintiți-vă media aritmetică:

Acum, cunoscând $y$, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $x$ se află între $-\frac(1)(2)$ și $y=-\frac(1)(3)$ tocmai găsit. Asa de

Argumentând în mod similar, găsim numărul rămas:

Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le notăm în răspuns în ordinea în care ar trebui să fie introduse între numerele originale.

Răspuns: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Sarcina numărul 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere care, împreună cu numerele date, formează o progresie aritmetică, dacă se știe că suma primului, al doilea și ultimul dintre numerele introduse este 56.

Soluţie. O sarcină și mai dificilă, care, însă, se rezolvă la fel ca și cele precedente - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere să introducem. Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că după inserare vor fi exact $n$ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică dorită poate fi reprezentată ca:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dreapta\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Rețineți, totuși, că numerele $((a)_(2))$ și $((a)_(n-1))$ sunt obținute din numerele 2 și 42 care stau la margini cu un pas unul față de celălalt. , adică . spre centrul secvenței. Și asta înseamnă că

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Dar atunci expresia de mai sus poate fi rescrisă astfel:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Cunoscând $((a)_(3))$ și $((a)_(1))$, putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Săgeată la dreapta d=5. \\ \end(align)\]

Rămâne doar să găsiți membrii rămași:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul din stânga secvenței - numărul 42. În total, au trebuit introduse doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Sarcini de text cu progresii

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme relativ simple. Ei bine, la fel de simple: pentru majoritatea elevilor care studiază matematica la școală și nu au citit ce este scris mai sus, aceste sarcini pot părea un gest. Cu toate acestea, tocmai astfel de sarcini sunt întâlnite în OGE și USE în matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.

Sarcina numărul 11. Echipa a produs 62 de piese în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs cu 14 piese mai multe decât în ​​cea precedentă. Câte piese a produs brigada în noiembrie?

Soluţie. Evident, numărul de piese, vopsit pe lună, va fi o progresie aritmetică din ce în ce mai mare. Și:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noiembrie este a 11-a lună a anului, așa că trebuie să găsim $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Prin urmare, în noiembrie vor fi fabricate 202 piese.

Sarcina numărul 12. Atelierul de legătorie a legat 216 cărți în ianuarie, iar în fiecare lună a legat cu 4 cărți mai multe decât luna precedentă. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?

Soluţie. Tot la fel:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Decembrie este ultima, a 12-a lună a anului, așa că căutăm $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.

Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați finalizat cu succes „cursul tânăr de luptători” în progresii aritmetice. Putem trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula sumei progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.

Cineva tratează cu prudență cuvântul „progresie”, ca pe un termen foarte complex din secțiunile de matematică superioară. Între timp, cea mai simplă progresie aritmetică este munca contorului de taxi (unde rămân încă). Și a înțelege esența (și în matematică nu este nimic mai important decât „a înțelege esența”) a unei secvențe aritmetice nu este atât de dificil, având în vedere câteva concepte elementare.

Succesiunea de numere matematice

Se obișnuiește să se numească o secvență numerică o serie de numere, fiecare având propriul său număr.

şi 1 este primul membru al secvenţei;

şi 2 este al doilea membru al secvenţei;

și 7 este al șaptelea membru al secvenței;

şi n este al n-lea membru al secvenţei;

Cu toate acestea, nu ne interesează niciun set arbitrar de cifre și numere. Ne vom concentra atenția asupra unei secvențe numerice în care valoarea celui de-al n-lea membru este legată de numărul său ordinal printr-o dependență care poate fi formulată clar matematic. Cu alte cuvinte: valoarea numerică a numărului al n-lea este o funcție a lui n.

a - valoarea unui membru al succesiunii numerice;

n este numărul său de serie;

f(n) este o funcție în care ordinalul din șirul numeric n este argumentul.

Definiție

O progresie aritmetică se numește de obicei o succesiune numerică în care fiecare termen ulterior este mai mare (mai mic) decât cel anterior cu același număr. Formula pentru al n-lea membru al unei secvențe aritmetice este următoarea:

a n - valoarea membrului curent al progresiei aritmetice;

a n+1 - formula următorului număr;

d - diferență (un anumit număr).

Este ușor de determinat că, dacă diferența este pozitivă (d>0), atunci fiecare membru ulterior al seriei luate în considerare va fi mai mare decât cel anterior, iar o astfel de progresie aritmetică va crește.

În graficul de mai jos, este ușor de înțeles de ce succesiunea de numere se numește „în creștere”.

În cazurile în care diferența este negativă (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valoarea membrului specificat

Uneori este necesar să se determine valoarea unui termen arbitrar a n al unei progresii aritmetice. Puteți face acest lucru calculând succesiv valorile tuturor membrilor progresiei aritmetice, de la primul la cel dorit. Cu toate acestea, acest mod nu este întotdeauna acceptabil dacă, de exemplu, este necesar să se găsească valoarea celui de cinci mii sau opt milioane. Calculul tradițional va dura mult timp. Cu toate acestea, o anumită progresie aritmetică poate fi investigată folosind anumite formule. Există și o formulă pentru al n-lea termen: valoarea oricărui membru al unei progresii aritmetice poate fi determinată ca suma primului membru al progresiei cu diferența progresiei, înmulțită cu numărul membrului dorit, minus unu .

Formula este universală pentru creșterea și scăderea progresiei.

Un exemplu de calcul al valorii unui membru dat

Să rezolvăm următoarea problemă de a găsi valoarea celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Condiție: există o progresie aritmetică cu parametrii:

Primul membru al secvenței este 3;

Diferența în seria de numere este 1,2.

Sarcină: este necesar să găsiți valoarea a 214 termeni

Soluție: pentru a determina valoarea unui membru dat, folosim formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Înlocuind datele din enunțul problemei în expresie, avem:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Răspuns: Al 214-lea membru al secvenței este egal cu 258,6.

Avantajele acestei metode de calcul sunt evidente - întreaga soluție nu necesită mai mult de 2 linii.

Suma unui număr dat de termeni

Foarte des, într-o serie aritmetică dată, este necesar să se determine suma valorilor unora dintre segmentele sale. De asemenea, nu trebuie să calculeze valorile fiecărui termen și apoi să le însumeze. Această metodă este aplicabilă dacă numărul de termeni a căror sumă trebuie găsită este mic. În alte cazuri, este mai convenabil să folosiți următoarea formulă.

Suma membrilor unei progresii aritmetice de la 1 la n este egală cu suma primului și al n-lea membru, înmulțită cu numărul membrului n și împărțită la doi. Dacă în formulă valoarea celui de-al n-lea membru este înlocuită cu expresia din paragraful anterior al articolului, obținem:

Exemplu de calcul

De exemplu, să rezolvăm o problemă cu următoarele condiții:

Primul termen al secvenței este zero;

Diferența este de 0,5.

În problemă, este necesar să se determine suma termenilor seriei de la 56 la 101.

Soluţie. Să folosim formula pentru a determina suma progresiei:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

În primul rând, determinăm suma valorilor a 101 membri ai progresiei prin înlocuirea condițiilor date ale problemei noastre în formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Evident, pentru a afla suma termenilor progresiei de la 56 la 101, este necesar să se scadă S 55 din S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Deci suma progresiei aritmetice pentru acest exemplu este:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Exemplu de aplicare practică a progresiei aritmetice

La sfârșitul articolului, să revenim la exemplul secvenței aritmetice din primul paragraf - un taximetru (contor de mașină de taxi). Să luăm în considerare un astfel de exemplu.

Urcarea într-un taxi (care include 3 km) costă 50 de ruble. Fiecare kilometru următor este plătit la rata de 22 de ruble / km. Distanta de parcurs 30 km. Calculați costul călătoriei.

1. Să renunțăm la primii 3 km, al căror preț este inclus în costul de aterizare.

30 - 3 = 27 km.

2. Calculul suplimentar nu este altceva decât analizarea unei serii de numere aritmetice.

Numărul de membru este numărul de kilometri parcurși (minus primii trei).

Valoarea membrului este suma.

Primul termen din această problemă va fi egal cu 1 = 50 de ruble.

Diferența de progresie d = 22 p.

numărul de interes pentru noi - valoarea (27 + 1)-lea membru al progresiei aritmetice - citirea contorului la sfârșitul celui de-al 27-lea kilometru - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Calculele datelor calendaristice pentru o perioadă arbitrar de lungă se bazează pe formule care descriu anumite secvențe numerice. În astronomie, lungimea orbitei depinde din punct de vedere geometric de distanța dintre corpul ceresc și lumina. În plus, diverse serii numerice sunt utilizate cu succes în statistică și în alte ramuri aplicate ale matematicii.

Un alt tip de succesiune de numere este geometrică

O progresie geometrică este caracterizată de o rată de schimbare mare, în comparație cu o rată aritmetică. Nu întâmplător, în politică, sociologie, medicină, de multe ori, pentru a arăta viteza mare de răspândire a unui anumit fenomen, de exemplu, o boală în timpul unei epidemii, ei spun că procesul se dezvoltă exponențial.

Al N-lea membru al seriei numerice geometrice diferă de cel precedent prin faptul că este înmulțit cu un număr constant - numitorul, de exemplu, primul membru este 1, numitorul este 2, respectiv:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - valoarea membrului curent al progresiei geometrice;

b n+1 - formula următorului membru al progresiei geometrice;

q este numitorul unei progresii geometrice (număr constant).

Dacă graficul unei progresii aritmetice este o linie dreaptă, atunci cel geometric desenează o imagine ușor diferită:

Ca și în cazul aritmeticii, o progresie geometrică are o formulă pentru valoarea unui membru arbitrar. Orice al n-lea termen al unei progresii geometrice este egal cu produsul primului termen și numitorul progresiei la puterea lui n redus cu unu:

Exemplu. Avem o progresie geometrică cu primul termen egal cu 3 și numitorul progresiei egal cu 1,5. Găsiți al 5-lea termen al progresiei

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Suma unui număr dat de membri este de asemenea calculată folosind o formulă specială. Suma primilor n membri ai unei progresii geometrice este egală cu diferența dintre produsul dintre al n-lea membru al progresiei și numitorul său și primul membru al progresiei, împărțit la numitorul redus cu unu:

Dacă b n este înlocuit folosind formula discutată mai sus, valoarea sumei primilor n membri ai seriei de numere considerate va lua forma:

Exemplu. Progresia geometrică începe cu primul termen egal cu 1. Numitorul este stabilit egal cu 3. Să aflăm suma primilor opt termeni.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(opt\); \(unsprezece\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.

Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ. de exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii sunt numite in scadere.

Notarea progresiei aritmetice

Progresia este indicată de o literă latină mică.

Numerele care formează o progresie se numesc aceasta membrii(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) este formată din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor pe o progresie aritmetică

În principiu, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă pe o progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de conditiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_5=23\)

Exemplu (OGE). Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Soluţie:

	Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică fiecare element diferă de cel vecin prin același număr. Aflați care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).
	Acum ne putem restabili progresul la elementul dorit (primul negativ).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(-3\)

Exemplu (OGE). Sunt date mai multe elemente succesive ale unei progresii aritmetice: \(...5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului notat cu litera \(x\).
Soluţie:

	Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).
	Și acum găsim fără probleme ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(7,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

	Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile, ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile pe rând, folosind cele care ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	S-a găsit suma solicitată.

Răspuns: \(S_6=9\).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(d=7\).

Formule importante de progresie aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme de progresie aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element următor din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent (diferența a progresiei).

Cu toate acestea, uneori există situații când este foarte incomod să decizi „pe frunte”. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu, trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ce este, \ (385 \) ori să adunăm patru? Sau imaginați-vă că, în penultimul exemplu, trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Numărarea este confuză...

Prin urmare, în astfel de cazuri, ei nu rezolvă „pe frunte”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) a primilor termeni.

Formula pentru \(n\)-lea membru: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul membru al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) este un membru al progresiei cu numărul \(n\).

Această formulă ne permite să găsim rapid cel puțin elementul trei sute, chiar milionul, cunoscând doar primul și diferența de progresie.

Exemplu. Progresia aritmetica este data de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde

\(a_n\) este ultimul termen însumat;

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este dată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pentru a calcula suma primelor douăzeci și cinci de elemente, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (vezi detalii). Să calculăm primul element înlocuind \(n\) cu unul.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Ei bine, acum calculăm suma necesară fără probleme.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula pentru aceasta \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară \(n\) a primelor elemente;
\(a_1\) este primul termen care trebuie însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) - numărul de elemente din sumă.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluţie:

Răspuns: \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare problemele în care trebuie nu numai să aplici formule, ci și să te gândești puțin (la matematică, acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-nouăsprezece\); \(-18,7\)…
Soluţie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm la fel: mai întâi găsim \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Acum am înlocui \(d\) în formula pentru suma ... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom opri adăugarea elementelor când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Avem nevoie ca \(a_n\) să fie mai mare decât zero. Să aflăm pentru ce \(n\) se va întâmpla asta.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Tehnica de calcul...
\(n>65.333…\)		…și se dovedește că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Astfel, trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea la \(42\) element inclusiv.
Soluţie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	În această problemă, trebuie să găsiți și suma elementelor, dar pornind nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Nu avem o formulă pentru asta. Cum să decizi? Ușor - pentru a obține suma de la \(26\)th la \(42\)th, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)th la \(42\)th, apoi scădeți din ea suma din primul la \ (25 \) al-lea (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \(a_1=-33\), și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm patru la elementul anterior pentru a găsi următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Acum suma primelor \(25\)-celele elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Și, în sfârșit, calculăm răspunsul.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Răspuns: \(S=1683\).

Pentru o progresie aritmetică, mai există câteva formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilităţii lor practice reduse. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.