În matematică, există trucuri speciale cu care multe ecuații pătratice sunt rezolvate foarte repede și fără discriminatori. Mai mult, cu o pregătire adecvată, mulți încep să rezolve ecuațiile pătratice verbal, literal „dintr-o privire”.
Din păcate, în cursul modern al matematicii școlare, astfel de tehnologii aproape nu sunt studiate. Și trebuie să știi! Și astăzi vom lua în considerare una dintre aceste tehnici - teorema lui Vieta. Mai întâi, să introducem o nouă definiție.
O ecuație pătratică de forma x 2 + bx + c = 0 se numește redusă. Vă rugăm să rețineți că coeficientul la x 2 este egal cu 1. Nu există alte restricții asupra coeficienților.
- x 2 + 7x + 12 = 0 este ecuația pătratică redusă;
- x 2 − 5x + 6 = 0 este de asemenea redus;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - dar acest lucru nu este dat deloc, deoarece coeficientul la x 2 este 2.
Desigur, orice ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi redusă - este suficient să împărțiți toți coeficienții la numărul a . Putem face întotdeauna acest lucru, deoarece din definiția unei ecuații pătratice rezultă că a ≠ 0.
Adevărat, aceste transformări nu vor fi întotdeauna utile pentru găsirea rădăcinilor. Puțin mai jos, ne vom asigura că acest lucru ar trebui făcut numai atunci când în ecuația finală la pătrat toți coeficienții sunt întregi. Deocamdată, să ne uităm la câteva exemple simple:
Sarcină. Convertiți ecuația pătratică în redusă:
- 3x2 − 12x + 18 = 0;
- −4x2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x2 + 7x − 11 = 0.
Să împărțim fiecare ecuație la coeficientul variabilei x 2 . Primim:
- 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - împărțit totul la 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - împărțit la −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - împărțit la 1,5, toți coeficienții au devenit întregi;
- 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - împărțit la 2. În acest caz, au apărut coeficienți fracționali.
După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice date pot avea coeficienți întregi chiar dacă ecuația inițială conținea fracții.
Acum formulăm teorema principală, pentru care, de fapt, a fost introdus conceptul de ecuație pătratică redusă:
teorema lui Vieta. Luați în considerare ecuația pătratică redusă de forma x 2 + bx + c \u003d 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x 1 și x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:
- x1 + x2 = −b. Cu alte cuvinte, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul variabilei x, luată cu semnul opus;
- x 1 x 2 = c. Produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu coeficientul liber.
Exemple. Pentru simplitate, vom lua în considerare numai ecuațiile pătratice date care nu necesită transformări suplimentare:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rădăcini: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; rădăcini: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rădăcini: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.
Teorema lui Vieta ne oferă informații suplimentare despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere, acest lucru poate părea complicat, dar chiar și cu un antrenament minim, veți învăța să „vedeți” rădăcinile și să le ghiciți literalmente în câteva secunde.
Sarcină. Rezolvați ecuația pătratică:
- x2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 - 12x + 27 = 0;
- 3x2 + 33x + 30 = 0;
- −7x2 + 77x − 210 = 0.
Să încercăm să scriem coeficienții conform teoremei Vieta și să „ghicim” rădăcinile:
- x 2 − 9x + 14 = 0 este o ecuație pătratică redusă.
După teorema Vieta, avem: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile sunt numerele 2 și 7; - x 2 − 12x + 27 = 0 este de asemenea redus.
După teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De aici rădăcinile: 3 și 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - Această ecuație nu este redusă. Dar vom rezolva acest lucru acum împărțind ambele părți ale ecuației la coeficientul a \u003d 3. Obținem: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Rezolvăm după teorema Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rădăcini: −10 și −1; - −7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - din nou coeficientul la x 2 nu este egal cu 1, adică. ecuația nu este dată. Împărțim totul la numărul a = −7. Se obține: x 2 - 11x + 30 = 0.
După teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; din aceste ecuații este ușor de ghicit rădăcinile: 5 și 6.
Din raționamentul de mai sus, se poate observa cum teorema lui Vieta simplifică soluția ecuațiilor pătratice. Fără calcule complicate, fără rădăcini și fracții aritmetice. Și chiar și discriminantul (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”) Nu aveam nevoie.
Desigur, în toate reflecțiile noastre, am plecat de la două ipoteze importante, care, în general, nu sunt întotdeauna îndeplinite în problemele reale:
- Ecuația pătratică este redusă, adică coeficientul la x 2 este 1;
- Ecuația are două rădăcini diferite. Din punctul de vedere al algebrei, în acest caz discriminantul D > 0 - de fapt, presupunem inițial că această inegalitate este adevărată.
Cu toate acestea, în problemele matematice tipice aceste condiții sunt îndeplinite. Dacă rezultatul calculelor este o ecuație pătratică „rea” (coeficientul la x 2 este diferit de 1), aceasta este ușor de remediat - aruncați o privire la exemplele de la începutul lecției. Tac în general despre rădăcini: ce fel de sarcină este aceasta în care nu există răspuns? Bineînțeles că vor exista rădăcini.
Astfel, schema generală de rezolvare a ecuațiilor pătratice conform teoremei Vieta este următoarea:
- Reduceți ecuația pătratică la cea dată, dacă aceasta nu a fost deja făcută în starea problemei;
- Dacă coeficienții din ecuația pătratică de mai sus s-au dovedit a fi fracționali, rezolvăm prin discriminant. Puteți chiar să vă întoarceți la ecuația inițială pentru a lucra cu numere mai „conveniente”;
- În cazul coeficienților întregi, rezolvăm ecuația folosind teorema Vieta;
- Dacă în câteva secunde nu s-a putut ghici rădăcinile, punctăm pe teorema Vieta și rezolvăm prin discriminant.
Sarcină. Rezolvați ecuația: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Deci, avem o ecuație care nu este redusă, pentru că coeficient a \u003d 5. Împărțiți totul la 5, obținem: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.
Toți coeficienții ecuației pătratice sunt întregi - să încercăm să-i rezolvăm folosind teorema lui Vieta. Avem: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. În acest caz, rădăcinile sunt ușor de ghicit - acestea sunt 2 și 5. Nu trebuie să numărați prin discriminant.
Sarcină. Rezolvați ecuația: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.
Ne uităm: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - această ecuație nu se reduce, împărțim ambele părți la coeficientul a = −5. Obținem: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - o ecuație cu coeficienți fracționali.
Este mai bine să reveniți la ecuația inițială și să numărați prin discriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.
Sarcină. Rezolvați ecuația: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Pentru început, împărțim totul la coeficientul a \u003d 2. Obținem ecuația x 2 + 5x - 300 \u003d 0.
Aceasta este ecuația redusă, conform teoremei Vieta avem: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Este dificil de ghicit rădăcinile ecuației pătratice în acest caz - personal, am „înghețat” serios când am rezolvat această problemă.
Va trebui să căutăm rădăcini prin discriminant: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminantului, voi observa doar că 1225: 25 = 49. Prin urmare, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .
Acum că rădăcina discriminantului este cunoscută, rezolvarea ecuației nu este dificilă. Obținem: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.
Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversă teoremei lui Vieta) ne permite să reducem timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații patratice folosind teorema lui Vieta? Este ușor dacă te gândești puțin.
Acum vom vorbi doar despre soluția ecuației pătratice reduse folosind teorema Vieta.Ecuația pătratică redusă este o ecuație în care a, adică coeficientul în fața lui x², este egal cu unu. Ecuațiile pătratice care nu sunt date pot fi rezolvate și folosind teorema Vieta, dar deja cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.
Teorema inversă la teorema lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât
atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice
Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți cursul raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.
I. Dacă q este un număr pozitiv,
asta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (pentru că numai la înmulțirea numerelor cu aceleași semne se obține un număr pozitiv).
In absenta. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Dacă -p este un număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (au adăugat numere de același semn, au primit un număr negativ).
II. Dacă q este un număr negativ,
aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1 + x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, atunci când adunăm numere cu semne diferite, le scădem pe cel mai mic din modul mai mare). Prin urmare, x1 + x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mult decât cealaltă (modulo).
II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.
Luați în considerare soluția ecuațiilor pătratice conform teoremei lui Vieta folosind exemple.
Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:
Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Prin urmare, 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.
În acest exemplu, q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Teorema lui Vieta este adesea folosită pentru a testa rădăcinile deja găsite. Dacă ați găsit rădăcinile, puteți utiliza formulele \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) pentru a calcula valorile \(p\ ) și \(q\ ). Și dacă se dovedesc a fi la fel ca în ecuația originală, atunci rădăcinile sunt găsite corect.
De exemplu, să folosim , să rezolvăm ecuația \(x^2+x-56=0\) și să obținem rădăcinile: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Să verificăm dacă am făcut o greșeală în procesul de rezolvare. În cazul nostru, \(p=1\) și \(q=-56\). După teorema lui Vieta avem:
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
Ambele afirmații au convergit, ceea ce înseamnă că am rezolvat corect ecuația.
Acest test se poate face pe cale orală. Va dura 5 secunde și te va scuti de greșeli stupide.
Teorema inversă Vieta
Dacă \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), atunci \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ecuației pătratice \ (x^ 2+px+q=0\).
Sau într-un mod simplu: dacă aveți o ecuație de forma \(x^2+px+q=0\), atunci rezolvând sistemul \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) îi vei găsi rădăcinile.
Datorită acestei teoreme, puteți găsi rapid rădăcinile unei ecuații pătratice, mai ales dacă aceste rădăcini sunt . Această abilitate este importantă deoarece economisește mult timp.
Exemplu . Rezolvați ecuația \(x^2-5x+6=0\).
Soluţie
: Folosind teorema inversă Vieta, obținem că rădăcinile îndeplinesc condițiile: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Priviți a doua ecuație a sistemului \(x_1 \cdot x_2=6\). În ce două poate fi descompus numărul \(6\)? Pe \(2\) și \(3\), \(6\) și \(1\) sau \(-2\) și \(-3\), și \(-6\) și \(- unu\). Și ce pereche să alegeți, prima ecuație a sistemului va spune: \(x_1+x_2=5\). \(2\) și \(3\) sunt similare, deoarece \(2+3=5\).
Răspuns
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Exemple
. Folosind inversul teoremei lui Vieta, găsiți rădăcinile ecuației pătratice:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
Soluţie
:
a) \(x^2-15x+14=0\) - în ce factori se descompune \(14\)? \(2\) și \(7\), \(-2\) și \(-7\), \(-1\) și \(-14\), \(1\) și \(14\). ). Ce perechi de numere însumează \(15\)? Răspuns: \(1\) și \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) - în ce factori se descompune \(-4\)? \(-2\) și \(2\), \(4\) și \(-1\), \(1\) și \(-4\). Ce perechi de numere însumează \(-3\)? Răspuns: \(1\) și \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – în ce factori se descompune \(20\)? \(4\) și \(5\), \(-4\) și \(-5\), \(2\) și \(10\), \(-2\) și \(-10\ ), \(-20\) și \(-1\), \(20\) și \(1\). Ce perechi de numere însumează \(-9\)? Răspuns: \(-4\) și \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) - în ce factori se descompune \(780\)? \(390\) și \(2\). Se adună la \(88\)? Nu. Ce alți multiplicatori are \(780\)? \(78\) și \(10\). Se adună la \(88\)? Da. Răspuns: \(78\) și \(10\).
Nu este necesar să descompuneți ultimul termen în toți factorii posibili (ca în ultimul exemplu). Puteți verifica imediat dacă suma lor dă \(-p\).
Important! Teorema lui Vieta și teorema inversă funcționează numai cu , adică cu una al cărui coeficient în fața lui \(x^2\) este egal cu unu. Dacă inițial avem o ecuație neredusă, atunci o putem reduce prin simpla împărțire la coeficientul din fața lui \ (x ^ 2 \).
de exemplu, să fie dată ecuația \(2x^2-4x-6=0\) și vrem să folosim una dintre teoremele lui Vieta. Dar nu putem, deoarece coeficientul înainte de \(x^2\) este egal cu \(2\). Să scăpăm de el împărțind întreaga ecuație la \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Gata. Acum putem folosi ambele teoreme.
Răspunsuri la întrebările frecvente
Întrebare:
Prin teorema lui Vieta, puteți rezolva oricare?
Răspuns:
Din pacate, nu. Dacă nu există numere întregi în ecuație sau ecuația nu are deloc rădăcini, atunci teorema lui Vieta nu va ajuta. În acest caz, trebuie să utilizați discriminant
. Din fericire, 80% dintre ecuațiile din cursul de matematică de la școală au soluții întregi.
Aproape orice ecuație pătratică \ poate fi convertită în forma \ Totuși, acest lucru este posibil dacă fiecare termen este inițial împărțit la coeficientul \ în fața \ În plus, se poate introduce o nouă notație:
\[(\frac (b)(a))= p\] și \[(\frac (c)(a)) = q\]
Datorită acesteia, vom avea o ecuație \ numită în matematică ecuație pătratică redusă. Rădăcinile acestei ecuații și coeficienții \ sunt interconectați, ceea ce este confirmat de teorema Vieta.
Teorema lui Vieta: Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse \ este egală cu al doilea coeficient \ luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber \
Pentru claritate, rezolvăm ecuația de următoarea formă:
Rezolvăm această ecuație pătratică folosind regulile scrise. După analiza datelor inițiale, putem concluziona că ecuația va avea două rădăcini diferite, deoarece:
Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. În această condiție se încadrează numerele 3 și 5. Punem semnul minus în fața celui mai mic. număr. Astfel, obținem rădăcinile ecuației \
Răspuns: \[ x_1= -3 și x_2 = 5\]
Unde pot rezolva ecuația folosind teorema lui Vieta online?
Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.
Există o serie de relații în ecuațiile pătratice. Principalele sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți. De asemenea, o serie de relații funcționează în ecuații pătratice, care sunt date de teorema Vieta.
În acest subiect, prezentăm teorema lui Vieta în sine și demonstrația ei pentru o ecuație pătratică, o teoremă inversă cu teorema lui Vieta și analizăm o serie de exemple de rezolvare a problemelor. Vom acorda o atenție deosebită în material luării în considerare a formulelor Vieta, care definesc legătura dintre rădăcinile reale ale ecuației algebrice de grad. nși coeficienții săi.
Afirmație și demonstrație a teoremei lui Vieta
Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice a x 2 + b x + c = 0 de forma x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, unde D = b 2 − 4 a c, stabilește raportul x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Acest lucru este confirmat de teorema lui Vieta.
Teorema 1
Într-o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, Unde x 1și x2- rădăcini, suma rădăcinilor va fi egală cu raportul coeficienților bși A, care a fost luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor va fi egal cu raportul coeficienților cși A, adică x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.
Dovada 1
Vă oferim următoarea schemă pentru efectuarea demonstrației: luăm formula rădăcinilor, compunem suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice și apoi transformăm expresiile rezultate pentru a ne asigura că sunt egale. -b ași c a respectiv.
Compuneți suma rădăcinilor x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Să aducem fracțiile la un numitor comun - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Să deschidem parantezele din numărătorul fracției rezultate și să dăm termeni similari: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Reduceți fracția cu: 2 - b a \u003d - b a.
Deci am demonstrat prima relație a teoremei lui Vieta, care se referă la suma rădăcinilor unei ecuații pătratice.
Acum să trecem la a doua relație.
Pentru a face acest lucru, trebuie să compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.
Amintiți-vă regula de înmulțire a fracțiilor și scrieți ultimul produs astfel: - b + D · - b - D 4 · a 2 .
Vom efectua înmulțirea parantezei cu paranteza din numărătorul fracției, sau vom folosi formula diferenței de pătrate pentru a transforma mai rapid acest produs: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Să folosim definiția unei rădăcini pătrate pentru a efectua următoarea tranziție: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formulă D = b 2 − 4 a c corespunde discriminantului ecuației pătratice, prin urmare, într-o fracție în loc de D poate fi înlocuit b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Să deschidem parantezele, să dăm termeni similari și să obținem: 4 · a · c 4 · a 2 . Dacă o scurtăm la 4 a, atunci c a rămâne. Deci am demonstrat a doua relație a teoremei Vieta pentru produsul rădăcinilor.
Înregistrarea demonstrației teoremei lui Vieta poate avea o formă foarte concisă, dacă omitem explicațiile:
x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - ba, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 ac = b 2 - b 2 - 4 ac 4 a 2 = 4 ac 4 a 2 = ca.
Când discriminantul unei ecuații pătratice este zero, ecuația va avea o singură rădăcină. Pentru a putea aplica teorema lui Vieta unei astfel de ecuații, putem presupune că ecuația cu un discriminant egal cu zero are două rădăcini identice. Într-adevăr, la D=0 rădăcina ecuației pătratice este: - b 2 a, apoi x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - ba și x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, și deoarece D \u003d 0, adică b 2 - 4 ac = 0, de unde b 2 = 4 ac, apoi b 2 4 a 2 = 4 ac 4 a 2 = ca.
Cel mai adesea în practică, teorema Vieta este aplicată în raport cu ecuația pătratică redusă a formei x 2 + p x + q = 0, unde coeficientul de conducere a este egal cu 1 . În acest sens, teorema lui Vieta este formulată tocmai pentru ecuații de acest tip. Acest lucru nu limitează generalitatea datorită faptului că orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă. Pentru a face acest lucru, este necesar să împărțiți ambele părți la numărul a, care este diferit de zero.
Să mai dăm o formulare a teoremei lui Vieta.
Teorema 2
Suma rădăcinilor din ecuația pătratică dată x 2 + p x + q = 0 va fi egal cu coeficientul de la x, care se ia cu semnul opus, produsul rădăcinilor va fi egal cu termenul liber, adică. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.
Teoremă inversă teoremei lui Vieta
Dacă te uiți cu atenție la a doua formulare a teoremei lui Vieta, poți vedea că pentru rădăcini x 1și x2 ecuație pătratică redusă x 2 + p x + q = 0 relațiile x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q vor fi valabile. Din aceste relații x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, rezultă că x 1și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 + p x + q = 0. Astfel ajungem la o afirmație care este inversa teoremei lui Vieta.
Ne propunem acum să formalizăm această afirmație ca o teoremă și să realizăm demonstrația ei.
Teorema 3
Dacă numerele x 1și x2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = − pși x 1 x 2 = q, atunci x 1și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0.
Dovada 2
Modificarea coeficienților pși q la exprimarea lor prin x 1și x2 vă permite să transformați ecuația x 2 + p x + q = 0într-un echivalent .
Dacă înlocuim numărul în ecuația rezultată x 1 in loc de X, atunci obținem egalitatea x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Această egalitate pentru orice x 1și x2 se transformă într-o adevărată egalitate numerică 0 = 0 , deoarece x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Înseamnă că x 1- rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, si ce x 1 este, de asemenea, rădăcina ecuației echivalente x 2 + p x + q = 0.
Substituția ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numerele x2în loc de x vă permite să obțineți egalitate x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Această egalitate poate fi considerată adevărată, deoarece x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Se pare că x2 este rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, și de aici ecuațiile x 2 + p x + q = 0.
Se demonstrează teorema inversă la teorema lui Vieta.
Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta
Să trecem acum la analiza celor mai tipice exemple pe această temă. Să începem cu analiza problemelor care necesită aplicarea teoremei, invers teoremei lui Vieta. Poate fi folosit pentru a verifica numerele obținute în cursul calculelor, dacă sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați suma și diferența lor, apoi verificați validitatea rapoartelor x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.
Îndeplinirea ambelor relații indică faptul că numerele obținute în cursul calculelor sunt rădăcinile ecuației. Dacă vedem că cel puțin una dintre condiții nu este îndeplinită, atunci aceste numere nu pot fi rădăcinile ecuației pătratice date în condiția problemei.
Exemplul 1
Care dintre perechile de numere 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 sau 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 sau 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Soluţie
Aflați coeficienții ecuației pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Acesta este a = 4 , b = − 16 , c = 9 . În conformitate cu teorema Vieta, suma rădăcinilor ecuației pătratice trebuie să fie egală cu -b a, acesta este, 16 4 = 4 , iar produsul rădăcinilor ar trebui să fie egal cu c a, acesta este, 9 4 .
Să verificăm numerele obținute calculând suma și produsul numerelor din trei perechi date și comparându-le cu valorile obținute.
In primul caz x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Această valoare este diferită de 4, așa că nu trebuie să continuați verificarea. Conform teoremei, inversul teoremei lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
În al doilea caz x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vedem că prima condiție este îndeplinită. Dar a doua condiție nu este: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Valoarea pe care o obținem este diferită de 9 4 . Aceasta înseamnă că a doua pereche de numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice.
Să trecem la a treia pereche. Aici x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 și x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că x 1și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.
Răspuns: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2
De asemenea, putem folosi inversul teoremei lui Vieta pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Cel mai simplu mod este de a selecta rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi. Pot fi luate în considerare și alte opțiuni. Dar acest lucru poate complica semnificativ calculele.
Pentru a selecta rădăcinile, folosim faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
Exemplul 2
Ca exemplu, folosim ecuația pătratică x 2 − 5 x + 6 = 0. Numerele x 1și x2 pot fi rădăcinile acestei ecuații dacă cele două egalități sunt îndeplinite x1 + x2 = 5și x 1 x 2 = 6. Să alegem acele numere. Acestea sunt numerele 2 și 3 pentru că 2 + 3 = 5 și 2 3 = 6. Se pare că 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
Inversul teoremei lui Vieta poate fi folosit pentru a găsi a doua rădăcină atunci când prima este cunoscută sau evidentă. Pentru aceasta putem folosi rapoartele x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .
Exemplul 3
Luați în considerare ecuația pătratică 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Trebuie să găsim rădăcinile acestei ecuații.
Soluţie
Prima rădăcină a ecuației este 1, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Se pare că x 1 = 1.
Acum să găsim a doua rădăcină. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza raportul x 1 x 2 = c a. Se pare că 1 x 2 = − 3 512, Unde x 2 \u003d - 3 512.
Răspuns: rădăcinile ecuației pătratice specificate în condiția problemei 1 și - 3 512 .
Este posibil să selectați rădăcini folosind teorema inversă la teorema lui Vieta numai în cazuri simple. În alte cazuri, este mai bine să căutați folosind formula rădăcinilor ecuației pătratice prin discriminant.
Datorită teoremei inverse a lui Vieta, putem forma și ecuații pătratice având în vedere rădăcinile x 1și x2. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm suma rădăcinilor, care dă coeficientul la X cu semnul opus al ecuației pătratice reduse și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.
Exemplul 4
Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numere − 11 și 23 .
Soluţie
Să acceptăm asta x 1 = − 11și x2 = 23. Suma și produsul acestor numere vor fi egale cu: x1 + x2 = 12și x 1 x 2 = − 253. Aceasta înseamnă că al doilea coeficient este 12, termenul liber − 253.
Facem o ecuație: x 2 - 12 x - 253 = 0.
Răspuns: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Putem folosi teorema Vieta pentru a rezolva probleme care au legătură cu semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Legătura dintre teorema lui Vieta este legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0 in felul urmator:
- dacă ecuaţia pătratică are rădăcini reale şi dacă termenul liber q este un număr pozitiv, atunci aceste rădăcini vor avea același semn „+” sau „-”;
- dacă ecuaţia pătratică are rădăcini şi dacă termenul liber q este un număr negativ, atunci o rădăcină va fi „+” și a doua „-”.
Ambele afirmații sunt o consecință a formulei x 1 x 2 = qși reguli de înmulțire pentru numere pozitive și negative, precum și pentru numere cu semne diferite.
Exemplul 5
Sunt rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitiv?
Soluţie
După teorema lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații nu pot fi ambele pozitive, deoarece trebuie să satisfacă egalitatea x 1 x 2 = − 21. Acest lucru nu este posibil cu pozitiv x 1și x2.
Răspuns: Nu
Exemplul 6
La ce valori ale parametrului r ecuație pătratică x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 va avea două rădăcini reale cu semne diferite.
Soluţie
Să începem prin a găsi valorile a ceea ce r, pentru care ecuația are două rădăcini. Să găsim discriminantul și să vedem pentru ce r va lua valori pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Valoarea expresiei r2 + 8 pozitiv pentru orice real r, prin urmare, discriminantul va fi mai mare decât zero pentru orice real r. Aceasta înseamnă că ecuația pătratică originală va avea două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.
Acum să vedem când rădăcinile vor avea semne diferite. Acest lucru este posibil dacă produsul lor este negativ. Conform teoremei Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Deci soluția corectă sunt acele valori r, pentru care termenul liber r − 1 este negativ. Rezolvăm inegalitatea liniară r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Răspuns: la r< 1 .
formule Vieta
Există o serie de formule care sunt aplicabile pentru efectuarea de operații cu rădăcini și coeficienți nu numai pătrați, ci și cubici și alte tipuri de ecuații. Se numesc formule Vieta.
Pentru o ecuație algebrică a gradului n de forma a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 se consideră că are ecuația n rădăcini adevărate x 1 , x 2 , … , x n, care poate include următoarele:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0
Definiția 1
Obțineți formulele Vieta ajută-ne:
- teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari;
- definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători.
Deci, polinomul a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n și extinderea lui în factori liniari de forma a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sunt egale.
Dacă deschidem parantezele din ultimul produs și echivalăm coeficienții corespunzători, atunci obținem formulele Vieta. Luând n \u003d 2, putem obține formula Vieta pentru ecuația pătratică: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.
Definiția 2
Formula lui Vieta pentru o ecuație cubică:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Partea stângă a formulelor Vieta conține așa-numitele polinoame simetrice elementare.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Se încarcă...