Principala problemă aplicată a electrostaticii este calculul câmpurilor electrice generate în diferite dispozitive și aparate. În termeni generali, această problemă este rezolvată folosind legea lui Coulomb și principiul suprapunerii. Cu toate acestea, această sarcină devine foarte complicată atunci când se ia în considerare un număr mare de sarcini punctuale sau distribuite spațial. Dificultăți și mai mari apar atunci când există dielectrici sau conductori în spațiu, când, sub acțiunea unui câmp extern E 0, are loc o redistribuire a sarcinilor microscopice, creându-și propriul câmp suplimentar E. Prin urmare, pentru soluționarea practică a acestor probleme, metodele și tehnicile auxiliare sunt utilizate folosind un aparat matematic complex. Vom lua în considerare cea mai simplă metodă bazată pe aplicarea teoremei Ostrogradsky - Gauss. Pentru a formula această teoremă, introducem mai multe concepte noi:
A) densitatea sarcinii
Dacă corpul încărcat este mare, atunci trebuie să cunoașteți distribuția sarcinilor în interiorul corpului.
Densitatea încărcării în vrac- măsurat prin taxa pe unitate de volum:
Densitatea sarcinii de suprafață- măsurată prin încărcarea pe unitate de suprafață a corpului (când sarcina este distribuită pe suprafață):
Densitatea sarcinii liniare(distribuția sarcinii de-a lungul conductorului):
b) inducție electrostatică vectorială
Inducție electrostatică vectorială
(vectorul deplasării electrice) este o mărime vectorială care caracterizează câmpul electric.
Vector 
este egal cu produsul vectorului 
pe constanta dielectrică absolută a mediului într-un punct dat:
Verificați dimensiunea D în unități SI:
de cand 
,
atunci dimensiunile D și E nu coincid, iar valorile lor numerice sunt, de asemenea, diferite.
Din definiție 
rezultă că pentru câmpul vector 
se aplică același principiu de suprapunere ca și pentru câmp 
:
Camp 
este reprezentată grafic de linii de inducție, la fel ca câmpul
... Liniile de inducție sunt trasate astfel încât tangenta din fiecare punct să coincidă cu direcția 
, iar numărul de linii este egal cu valoarea numerică a lui D în această locație.
Pentru a înțelege sensul introducerii 
ia în considerare un exemplu.
|
|
|
la limita cavității cu dielectric, se concentrează sarcinile negative legate și |
|
Pentru același caz: D \u003d Eεε 0 |
În acest fel - continuitatea liniilor de inducție face calculul mult mai ușor |
|
ε\u003e 1
câmpul scade dramatic și densitatea scade brusc.
apoi: linii 
mergi continuu. Linii 
începe cu taxe gratuite (y 
pe orice - conectat sau liber), și la limita dielectricului, densitatea lor rămâne neschimbată.
, și, cunoscând conexiunea 
din 
poate fi găsit vector 
.
în) inducție electrostatică a vectorului de flux
Luați în considerare suprafața S într-un câmp electric și alegeți direcția normalului 
1. Dacă câmpul este uniform, atunci numărul de linii de forță prin suprafața S:
2. Dacă câmpul este neomogen, atunci suprafața este împărțită în elemente infinitezimale dS, care sunt considerate plate și câmpul din jurul lor este uniform. Prin urmare, fluxul printr-un element de suprafață este: dN \u003d D n dS,
și debitul total prin orice suprafață:
(6)
Fluxul de inducție N este o cantitate scalară; în funcție de poate fi\u003e 0 sau< 0, или = 0.
Atunci când există multe taxe, apar dificultăți la calcularea câmpurilor.
Teorema lui Gauss ajută la depășirea lor. Esenta teorema lui Gauss este redus la următorul: dacă un număr arbitrar de sarcini este înconjurat mental de o suprafață închisă S, atunci fluxul intensității câmpului electric prin zona elementară dS poate fi scris ca dФ \u003d ЕСОsα۰dS unde α este unghiul dintre normal la plan și vectorul de intensitate 
... (fig 12.7)
Fluxul total pe întreaga suprafață va fi egal cu suma fluxurilor din toate sarcinile, distribuite în mod arbitrar în interiorul acestuia și proporțional cu magnitudinea acestei sarcini
(12.9)
Să determinăm fluxul vectorului de intensitate printr-o suprafață sferică cu raza r, în centrul căreia există o sarcină punctuală + q (Figura 12.8). Liniile de tensiune sunt perpendiculare pe suprafața sferei, α \u003d 0, deci cosα \u003d 1. Atunci
Dacă câmpul este format dintr-un sistem de taxe, atunci
Teorema lui Gauss: fluxul vectorului puterii câmpului electrostatic în vid prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în această suprafață, împărțită la constanta electrică.
(12.10)
Dacă nu există sarcini în interiorul sferei, atunci Ф \u003d 0.
Teorema lui Gauss face relativ ușoară calcularea câmpurilor electrice pentru sarcini distribuite simetric.
Să introducem conceptul de densitate a sarcinilor distribuite.
Densitatea liniară este notată cu τ și caracterizează sarcina q pe unitatea de lungime ℓ. În general, poate fi calculat prin formula
(12.11)
Cu o distribuție uniformă a sarcinilor, densitatea liniară este 
Densitatea suprafeței este notată cu σ și caracterizează sarcina q pe unitatea de suprafață S. În general, este determinată de formula
(12.12)
Cu o distribuție uniformă a sarcinilor pe suprafață, densitatea suprafeței este 
Densitatea în vrac, notată cu ρ, caracterizează sarcina q pe unitatea de volum V. În formă generală, este determinată de formula
(12.13)
Cu o distribuție uniformă a taxelor, este egal cu 
.
Deoarece sarcina q este distribuită uniform pe sferă, atunci
σ \u003d const. Aplicăm teorema lui Gauss. Să trasăm o sferă cu o rază prin punctul A. Fluxul vectorului de intensitate din Fig. 12.9 printr-o suprafață sferică de rază este egal cu cosα \u003d 1, deoarece α \u003d 0. Conform teoremei lui Gauss, 
.
sau
(12.14)
Din expresia (12.14) rezultă că intensitatea câmpului în afara sferei încărcate este aceeași cu intensitatea câmpului unei sarcini punctuale plasate în centrul sferei. Pe suprafața sferei, adică r 1 \u003d r 0, tensiune 
.
În interiorul sferei r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу este egal cu zero.
Un cilindru cu raza r 0 este încărcat uniform cu o densitate a suprafeței σ (Figura 12.10). Să determinăm intensitatea câmpului într-un punct ales în mod arbitrar A. Trageți prin punctul A o suprafață cilindrică imaginară cu raza R și lungimea ℓ. Datorită simetriei, fluxul va ieși numai prin suprafețele laterale ale cilindrului, deoarece sarcinile de pe cilindrul cu raza r 0 sunt distribuite uniform pe suprafața acestuia, adică liniile de tensiune vor fi drepte radiale perpendiculare pe suprafețele laterale ale ambilor cilindri. Deoarece fluxul prin baza cilindrilor este zero (cos α \u003d 0), iar suprafața laterală a cilindrului este perpendiculară pe liniile de forță (cos α \u003d 1), atunci
sau
(12.15)
Să exprimăm valoarea lui E prin σ - densitatea suprafeței. Prin definitie,
prin urmare, 
Înlocuiți valoarea lui q în formula (12.15)
(12.16)
Prin definiția densității liniare, 
de unde 
; înlocuim această expresie cu formula (12.16):
(12.17)
acestea. intensitatea câmpului creat de un cilindru încărcat infinit de lung este proporțională cu densitatea de sarcină liniară și invers proporțională cu distanța.
Intensitatea câmpului creată de un plan infinit încărcat uniform
Să determinăm puterea câmpului creat de un plan infinit încărcat uniform în punctul A. Să fie densitatea de încărcare a suprafeței planului egală cu σ. Ca suprafață închisă, este convenabil să alegeți un cilindru a cărui axă este perpendiculară pe plan, iar baza dreaptă conține punctul A. Planul împarte cilindrul în jumătate. Evident, liniile de forță sunt perpendiculare pe plan și paralele cu suprafața laterală a cilindrului; prin urmare, întregul flux trece doar prin bazele cilindrului. Pe ambele baze, intensitatea câmpului este aceeași, deoarece punctele A și B sunt simetrice față de plan. Apoi fluxul prin bazele cilindrului este
Conform teoremei lui Gauss,
pentru că 
apoi 
de unde
(12.18)
Astfel, intensitatea câmpului unui plan încărcat infinit este proporțională cu densitatea de încărcare a suprafeței și nu depinde de distanța față de plan. În consecință, câmpul avionului este uniform.
Intensitatea câmpului creată de două planuri paralele încărcate uniform
Câmpul rezultat creat de cele două planuri este determinat în conformitate cu principiul suprapunerii câmpurilor: 
(Figura 12.12). Câmpul creat de fiecare plan este omogen, punctele forte ale acestor câmpuri sunt egale în mărime, dar opuse în direcție: 
... Conform principiului suprapunerii, puterea câmpului total în afara planului este zero:
Între planuri, forțele câmpului au aceleași direcții, deci puterea rezultată este
Astfel, câmpul dintre două planuri încărcate în mod opus uniform este omogen și intensitatea acestuia este de două ori mai mare decât intensitatea câmpului creat de un singur plan. Nu există câmp la stânga și la dreapta avioanelor. Câmpul planurilor finite are aceeași formă; distorsiunea apare doar lângă limitele lor. Folosind formula obținută, puteți calcula câmpul dintre plăcile unui condensator plat.
Legea interacțiunii sarcinilor electrice - legea lui Coulomb - poate fi formulată diferit, sub forma așa-numitei teoreme a lui Gauss. Teorema lui Gauss este obținută ca o consecință a legii lui Coulomb și a principiului suprapunerii. Dovada se bazează pe proporționalitatea inversă a forței de interacțiune a două sarcini punctuale față de pătratul distanței dintre ele. Prin urmare, teorema lui Gauss este aplicabilă oricărui câmp fizic în care legea pătratului invers și principiul suprapunerii se aplică, de exemplu, unui câmp gravitațional.
Figura: 9. Linii de tensiune câmp electric sarcină punct intersectând suprafața închisă X
Pentru a formula teorema lui Gauss, să revenim la imaginea liniilor de forță ale câmpului electric al unei încărcări punct staționare. Liniile de forță ale unei sarcini punctiforme solitare sunt dispuse simetric drepte radiale (Fig. 7). Orice număr de astfel de linii pot fi trasate. Să denotăm numărul lor total prin Apoi densitatea liniilor de forță la o distanță de sarcină, adică numărul de linii care intersectează suprafața unității unei sfere de rază este egal Comparând această relație cu expresia intensității câmpului unei sarcini punctuale (4), vedem că densitatea liniilor este proporțională cu intensitatea câmpului. Putem face aceste valori egale numeric alegând în mod corespunzător numărul total de linii de forță N:
Astfel, suprafața unei sfere de orice rază care cuprinde o sarcină punctuală intersectează același număr de linii de forță. Aceasta înseamnă că liniile de forță sunt continue: în intervalul dintre oricare două sfere concentrice de raze diferite, niciuna dintre linii nu este tăiată și nu se adaugă altele noi. Deoarece liniile de forță sunt continue, același număr de linii de forță intersectează orice suprafață închisă (Fig. 9), acoperind sarcina
Liniile de forță au direcție. În cazul unei sarcini pozitive, acestea ies de pe suprafața închisă care înconjoară sarcina, așa cum se arată în Fig. 9. În cazul unei sarcini negative, acestea intră în interiorul suprafeței. Dacă numărul de linii de ieșire este considerat pozitiv, iar numărul de linii de intrare este negativ, atunci în formula (8) putem omite semnul modulului de încărcare și îl putem scrie în forma
Flux de tensiune. Să introducem acum conceptul fluxului vectorului de intensitate a câmpului prin suprafață. Un câmp arbitrar poate fi împărțit mental în zone mici, în care intensitatea se modifică în mărime și direcție atât de puțin încât în \u200b\u200baceastă zonă câmpul poate fi considerat uniform. În fiecare astfel de zonă, liniile de forță sunt drepte paralele și au o densitate constantă.
Figura: 10. Pentru a determina fluxul vectorului de intensitate a câmpului prin sit
Să luăm în considerare câte linii de forță pătrund într-o zonă mică, direcția normală către care formează un unghi a cu direcția liniilor de tensiune (Fig. 10). Fie o proiecție pe un plan perpendicular pe liniile de forță. Deoarece numărul de linii care traversează aceleași și densitatea liniilor, în funcție de condiția acceptată, este egal cu modulul intensității câmpului E, atunci
Cantitatea a este proiecția vectorului E pe direcția normalului către sit
Prin urmare, numărul de linii de forță care traversează situl este
Produsul este numit fluxul intensității câmpului prin suprafață Formula (10) arată că fluxul vectorului E prin suprafață este egal cu numărul de linii de forță care traversează această suprafață. Rețineți că fluxul vectorului de intensitate, precum numărul de linii de forță care trec prin suprafață, este un scalar.
Figura: 11. Fluxul vectorului de intensitate E prin sit
Dependența fluxului de orientarea amplasamentului față de liniile de forță este ilustrată în Fig.
Fluxul intensității câmpului printr-o suprafață arbitrară este suma fluxurilor prin zonele elementare în care această suprafață poate fi împărțită. În virtutea relațiilor (9) și (10), se poate argumenta că fluxul intensității câmpului unei sarcini punctuale prin orice suprafață închisă 2 care cuprinde sarcina (vezi Fig. 9), deoarece numărul de linii de forță care ies din această suprafață este egal. În acest caz, vectorul normal la zonele elementare suprafața închisă trebuie îndreptată spre exterior. Dacă sarcina din interiorul suprafeței este negativă, atunci liniile de forță intră în interiorul acestei suprafețe și fluxul vectorului de forță al câmpului asociat cu sarcina este, de asemenea, negativ.
Dacă există mai multe încărcături în interiorul unei suprafețe închise, atunci, în conformitate cu principiul suprapunerii, fluxurile puterilor câmpului lor se vor aduna. Fluxul total va fi egal cu unde ar trebui înțeles ca suma algebrică a tuturor sarcinilor din interiorul suprafeței.
Dacă nu există sarcini electrice în interiorul unei suprafețe închise sau suma lor algebrică este egală cu zero, atunci fluxul total al intensității câmpului prin această suprafață este zero: câte linii de forță intră în volumul delimitat de suprafață, aceeași cantitate se stinge.
Acum putem formula în cele din urmă teorema lui Gauss: fluxul vectorului de forță al câmpului electric E în vid prin orice suprafață închisă este proporțional cu sarcina totală din interiorul acestei suprafețe. Matematic, teorema lui Gauss este exprimată prin aceeași formulă (9), unde se înțelege prin suma algebrică a sarcinilor. În electrostatic absolut
sistemul de unități CGSE, coeficientul și teorema lui Gauss sunt scrise în formă
În SI și fluxul de tensiune printr-o suprafață închisă este exprimat prin formula
Teorema lui Gauss este utilizată pe scară largă în electrostatice. În unele cazuri, poate fi folosit pentru a calcula cu ușurință câmpurile create de sarcini situate simetric.
Câmpuri sursă echilibrate. Să aplicăm teorema lui Gauss pentru a calcula intensitatea câmpului electric al unei sfere cu o rază încărcată uniform pe suprafață. Pentru claritate, vom considera că sarcina sa este pozitivă. Distribuția sarcinilor care creează câmpul are simetrie sferică. Prin urmare, câmpul are aceeași simetrie. Liniile de forță ale unui astfel de câmp sunt direcționate de-a lungul razelor, iar modulul de intensitate este același în toate punctele echidistante de centrul mingii.
Pentru a găsi puterea câmpului la o distanță de centrul mingii, vom trasa mental o suprafață sferică de rază concentrică cu bila. Deoarece în toate punctele acestei sfere, forța câmpului este direcționată perpendicular pe suprafața sa și este aceeași ca mărime, fluxul de intensitate este pur și simplu egal cu produsul puterii câmpului de către suprafața sferei:
Dar această cantitate poate fi exprimată și folosind teorema lui Gauss. Dacă suntem interesați de câmpul din afara mingii, adică pentru, de exemplu, în SI și, comparând cu (13), găsim
În sistemul de unități CGSE, evident,
Astfel, în afara mingii, intensitatea câmpului este aceeași cu cea a câmpului unei sarcini punctuale plasate în centrul mingii. Dacă suntem interesați de câmpul din interiorul mingii, adică atunci, întrucât întreaga sarcină distribuită pe suprafața mingii este în afara sferei, desenăm mental. Prin urmare, nu există câmp în interiorul mingii:
În mod similar, folosind teorema lui Gauss, puteți calcula câmpul electrostatic creat de o încărcare infinită
plan cu densitate constantă în toate punctele planului. Din motive de simetrie, putem presupune că liniile de forță sunt perpendiculare pe plan, direcționate de la acesta în ambele direcții și au aceeași densitate peste tot. Într-adevăr, dacă densitatea liniilor de forță în diferite puncte ar fi diferită, atunci mișcarea planului încărcat de-a lungul sine ar duce la o schimbare a câmpului în aceste puncte, ceea ce contrazice simetria sistemului - o astfel de deplasare nu ar trebui să schimbe câmpul. Cu alte cuvinte, câmpul unui plan infinit încărcat uniform este uniform.
Ca suprafață închisă pentru aplicarea teoremei lui Gauss, alegem suprafața unui cilindru construit după cum urmează: generatoarea cilindrului este paralelă cu liniile de forță, iar bazele au zone paralele cu planul încărcat și se află pe laturile opuse ale acestuia (Fig. 12). Fluxul de intensitate a câmpului prin suprafața laterală este zero, prin urmare fluxul total prin suprafața închisă este egal cu suma fluxului prin baza cilindrului:
Figura: 12. La calcularea intensității câmpului unui plan încărcat uniform
Conform teoremei lui Gauss, același flux este determinat de sarcina acelei părți a planului care se află în interiorul cilindrului, iar în SI este egală. Comparând aceste expresii pentru flux, găsim
În sistemul CGSE, intensitatea câmpului unui plan infinit încărcat uniform este dată de formulă
Pentru o placă încărcată uniform de dimensiuni finite, expresiile obținute sunt aproximativ valabile într-o regiune situată suficient de departe de marginile plăcii și nu prea departe de suprafața acesteia. Lângă marginile plăcii, câmpul nu va mai fi uniform și liniile sale de forță sunt îndoite. La distanțe foarte mari comparativ cu dimensiunile plăcii, câmpul scade cu distanța în același mod ca și câmpul unei sarcini punctuale.
Ca și alte exemple de câmpuri create de surse distribuite simetric, se poate cita câmpul unui filament rectiliniu infinit încărcat uniform pe lungime, câmpul unui cilindru circular infinit încărcat uniform, câmpul unei bile,
încărcat uniform peste volum, etc. Teorema lui Gauss facilitează calcularea intensității câmpului în toate aceste cazuri.
Teorema lui Gauss oferă o relație între câmp și sursele sale, într-un anumit sens, opusul celei care dă legea lui Coulomb, care vă permite să determinați câmpul electric pentru sarcini date. Folosind teorema lui Gauss, se poate determina sarcina totală în orice regiune a spațiului în care este cunoscută distribuția câmpului electric.
Care este diferența dintre conceptele de rază lungă și scurtă atunci când se descrie interacțiunea sarcinilor electrice? În ce măsură pot fi aplicate aceste concepte interacțiunii gravitaționale?
Ce este puterea câmpului electric? Ce înseamnă atunci când îl numesc puterea caracteristică unui câmp electric?
Cum se poate judeca direcția și modulul intensității câmpului la un anumit punct din modelul liniilor de câmp?
Se pot intersecta liniile de forță ale unui câmp electric? Dă motive pentru răspunsul tău.
Desenați o imagine calitativă a liniilor de forță ale câmpului electrostatic a două sarcini astfel încât.
Fluxul intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă este exprimat prin diferite formule (11) și (12) în sistemele de unități ale GSE și în SI. Cum să împaci acest lucru cu sensul geometric debit determinat de numărul de linii de forță care traversează suprafața?
Cum se folosește teorema lui Gauss pentru a găsi intensitatea câmpului electric cu o distribuție simetrică a sarcinilor care o creează?
Cum se aplică formulele (14) și (15) la calculul intensității câmpului unei sfere cu sarcină negativă?
Teorema lui Gauss și geometria spațiului fizic. Să privim dovada teoremei lui Gauss dintr-un punct de vedere ușor diferit. Să ne întoarcem la formula (7), din care sa concluzionat că același număr de linii de forță trece prin orice suprafață sferică care înconjoară sarcina. Această concluzie se datorează faptului că există o reducere a numitorilor ambelor părți ale egalității.
Pe partea dreaptă a apărut datorită faptului că forța de interacțiune a sarcinilor, descrisă de legea lui Coulomb, este invers proporțională cu pătratul distanței dintre sarcini. În stânga, aspectul este asociat cu geometria: suprafața unei sfere este proporțională cu pătratul razei sale.
Proporționalitatea suprafeței față de pătratul dimensiunilor liniare este un semn distinctiv al geometriei euclidiene în spațiul tridimensional. Într-adevăr, proporționalitatea zonelor tocmai la pătrate de dimensiuni liniare, și nu la orice alt grad integral, este caracteristică spațiului
trei dimensiuni. Faptul că acest exponent este exact doi și nu diferă de doi, chiar și printr-o cantitate nesemnificativă, mărturisește non-curbura acestui spațiu tridimensional, adică, faptul că geometria sa este tocmai euclidiană.
Astfel, teorema lui Gauss este o manifestare a proprietăților spațiului fizic în legea fundamentală a interacțiunii sarcinilor electrice.
Ideea unei legături strânse între legile fundamentale ale fizicii și proprietățile spațiului a fost exprimată de multe minți remarcabile cu mult înainte de stabilirea acestor legi. Deci, I. Kant, cu trei decenii înainte de descoperirea legii lui Coulomb, a scris despre proprietățile spațiului: „Tridimensionalitatea apare, aparent, deoarece substanțele din lumea existentă acționează una pe alta în așa fel încât forța de acțiune este invers proporțională cu pătratul distanței”.
Legea lui Coulomb și teorema lui Gauss reprezintă de fapt aceeași lege a naturii, exprimată în forme diferite. Legea lui Coulomb reflectă conceptul de acțiune pe distanțe lungi, în timp ce teorema lui Gauss pleacă de la conceptul de câmp de forță care umple spațiul, adică de la conceptul de acțiune la distanță scurtă. În electrostatică, sursa câmpului de forță este o sarcină, iar caracteristica câmpului asociat sursei - fluxul de intensitate - nu se poate schimba în spațiul gol, unde nu există alte sarcini. Deoarece fluxul poate fi vizualizat ca un set de linii de forță ale câmpului, invariabilitatea fluxului se manifestă prin continuitatea acestor linii.
Teorema lui Gauss, bazată pe proporționalitatea inversă a interacțiunii cu pătratul distanței și pe principiul suprapunerii (aditivitatea interacțiunii), este aplicabilă oricărui câmp fizic în care operează legea pătratului invers. În special, este valabil și pentru câmpul gravitațional. Este clar că aceasta nu este doar o coincidență accidentală, ci o reflectare a faptului că atât interacțiunile electrice, cât și cele gravitaționale se desfășoară în spațiul fizic euclidian tridimensional.
Pe ce caracteristică a legii interacțiunii sarcinilor electrice se bazează teorema lui Gauss?
Demonstrați, pe baza teoremei lui Gauss, că puterea câmpului electric al unei sarcini punctuale este invers proporțională cu pătratul distanței. Ce proprietăți de simetrie a spațiului sunt utilizate în această dovadă?
Cum se reflectă geometria spațiului fizic în legea lui Coulomb și teorema lui Gauss? Ce caracteristică a acestor legi mărturisește natura euclidiană a geometriei și tridimensionalității spațiului fizic?
Să luăm în considerare modul în care se modifică valoarea vectorului E la interfața dintre două medii, de exemplu, aerul (ε 1) și apa (ε \u003d 81). Puterea câmpului în apă scade cu un factor de 81. Acest comportament vectorial E creează anumite inconveniente la calcularea câmpurilor din diferite medii. Pentru a evita acest inconvenient, este introdus un nou vector D - vector de inducție sau deplasare a câmpului electric. Legați vectorii D și Eare forma
D = ε ε 0 E.
Evident, pentru câmpul unei sarcini punctuale, deplasarea electrică va fi egală cu
Este ușor de văzut că deplasarea electrică este măsurată în C / m 2, nu depinde de proprietăți și este reprezentată grafic de linii similare cu liniile de tensiune.
Direcția liniilor de forță ale câmpului caracterizează direcția câmpului în spațiu (liniile de forță, desigur, nu există, sunt introduse pentru comoditate de ilustrare) sau direcția vectorului de forță al câmpului. Cu ajutorul liniilor de tensiune, este posibil să se caracterizeze nu numai direcția, ci și magnitudinea intensității câmpului. Pentru aceasta, s-a convenit efectuarea acestora cu o anumită densitate, astfel încât numărul liniilor de tensiune care pătrund într-o unitate de suprafață perpendiculară pe liniile de tensiune să fie proporțional cu modulul vectorului E(fig. 78). Apoi, numărul de linii care pătrund în aria elementară dS, normal la care n formează un unghi α cu vectorul E, este egal cu E dScos α \u003d E n dS,
unde E n este o componentă a vectorului Edirecție normală n... DF E \u003d E n dS \u003d Ed Snumit fluxul vectorului de tensiune prin sitd S (d S \u003d dS n).
Pentru o suprafață S închisă arbitrar, fluxul vectorului Eprin această suprafață este
Fluxul vectorului de deplasare electrică Ф D are o expresie similară
.
Teorema Ostrogradsky-Gauss
Această teoremă vă permite să determinați fluxul vectorilor E și D din orice număr de sarcini. Luați o sarcină punctuală Q și definiți fluxul vectorului E printr-o suprafață sferică cu raza r, în centrul căreia se află.
Pentru o suprafață sferică α \u003d 0, cos α \u003d 1, E n \u003d E, S \u003d 4 πr 2 și
Ф E \u003d E 4 πr 2.
Înlocuind expresia cu E obținem
Astfel, din fiecare punct se încarcă un flux Φ E al vectorului E egal cu Q / ε 0. Generalizând această concluzie la cazul general al unui număr arbitrar de sarcini punctuale, se formulează teorema: fluxul total al vectorului E printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este numeric egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice conținute în această suprafață împărțită la ε 0, adică
Pentru fluxul vectorial deplasarea electrică D puteți obține o formulă similară
fluxul vectorului de inducție printr-o suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor electrice acoperite de această suprafață.
Dacă luăm o suprafață închisă care nu acoperă sarcina, atunci fiecare linie E și D va traversa această suprafață de două ori - la intrare și ieșire, astfel încât fluxul total se dovedește a fi zero. Aici este necesar să se ia în considerare suma algebrică a liniilor care intră și ies.
Aplicarea teoremei Ostrogradsky-Gauss pentru calcularea câmpurilor electrice create de avioane, o sferă și un cilindru
O suprafață sferică cu raza R poartă o sarcină Q distribuită uniform pe suprafață cu o densitate a suprafeței σ
Luați un punct A în afara sferei la o distanță r de centru și trageți mental o sferă de rază r încărcată simetric (Fig. 79). Aria sa este S \u003d 4 πr 2. Fluxul vectorului E va fi egal cu
Prin teorema Ostrogradsky-Gauss 
, prin urmare, 
ținând cont că Q \u003d σ 4 πr 2, obținem 
Pentru punctele de pe suprafața sferei (R \u003d r)
D 
pentru punctele din interiorul unei sfere goale (nu există nicio sarcină în interiorul sferei), E \u003d 0.
2
... Suprafață cilindrică goală cu rază R și lungime l încărcat cu densitate constantă a suprafeței 
(Fig. 80). Să trasăm o suprafață cilindrică coaxială de rază r\u003e R.
Flux vectorial E pe această suprafață
Prin teorema lui Gauss
Echivalând laturile din dreapta egalităților de mai sus, obținem
.
Dacă este specificată densitatea de încărcare liniară a unui cilindru (sau a unui filet subțire) 
apoi
3. Câmpul planurilor infinite cu densitatea de încărcare a suprafeței σ (Fig. 81).
Luați în considerare un câmp creat de un plan infinit. Din considerații de simetrie, rezultă că intensitatea în orice punct al câmpului are o direcție perpendiculară pe plan.
În punctele simetrice, E va fi același în mărime și opus în direcție.
Să construim mental suprafața cilindrului cu baza ΔS. Apoi prin fiecare dintre bazele cilindrului va exista un flux
Ф Е \u003d Е ΔS, iar debitul total prin suprafața cilindrică va fi egal Ф Е \u003d 2Е ΔS.
În interiorul suprafeței există o sarcină Q \u003d σ · ΔS. Conform teoremei lui Gauss,
de unde 
Rezultatul obținut nu depinde de înălțimea cilindrului selectat. Astfel, intensitatea câmpului E la orice distanță este aceeași ca mărime.
Pentru două planuri încărcate în mod opus, cu aceeași densitate de sarcină de suprafață σ conform principiului suprapunerii în afara spațiului dintre planuri, intensitatea câmpului este egală cu zero E \u003d 0, iar în spațiul dintre planuri 
(fig.82a). Dacă avioanele sunt încărcate cu sarcini cu același nume cu aceeași densitate de sarcină de suprafață, se observă imaginea opusă (Fig. 82b). În spațiul dintre planurile E \u003d 0 și în spațiul din afara planurilor 
.
Cel mai dificil este studiul fenomenelor electrice într-un mediu electric neomogen. Într-un astfel de mediu, ε are valori diferite, schimbându-se brusc la limita dielectricelor. Să presupunem că determinăm intensitatea câmpului la interfața dintre două medii: ε 1 \u003d 1 (vid sau aer) și ε 2 \u003d 3 (lichid - ulei). La interfața la trecerea de la vid la dielectric, intensitatea câmpului scade de trei ori, iar fluxul vectorului de intensitate scade cu aceeași cantitate (Fig. 12.25, a). O schimbare bruscă a vectorului puterii câmpului electrostatic la interfața dintre două medii creează anumite dificultăți în calcularea câmpurilor. În ceea ce privește teorema lui Gauss, în aceste condiții își pierde complet sensul.
Deoarece polarizabilitatea și rezistența dielectricelor diferite sunt diferite, numărul de linii de forță din fiecare dielectric va fi, de asemenea, diferit. Această dificultate poate fi eliminată prin introducerea unei noi caracteristici fizice a câmpului - inducție electrică D (sau vector deplasarea electrică ).
Conform formulei
ε 1 Е 1 \u003d ε 2 Е 2 \u003d Е 0 \u003d const
Înmulțind toate părțile acestor egalități cu constanta electrică ε 0, obținem
ε 0 ε 1 Е 1 \u003d ε 0 ε 2 Е 2 \u003d ε 0 Е 0 \u003d const
Introducem notația ε 0 εЕ \u003d D atunci penultima relație ia forma
D 1 \u003d D 2 \u003d D 0 \u003d const
Se numește vectorul D, egal cu produsul puterii câmpului electric din dielectric și constanta sa dielectrică absolutăvectorul deplasării electrice
(12.45)
Unitate de deplasare electrică - pandantiv pe metru pătrat(Cl / m 2).
Deplasarea electrică este o mărime vectorială, poate fi exprimată și ca
D \u003d εε 0 E \u003d (1 + χ) ε 0 E \u003d ε 0 E + χε 0 E \u003d ε 0 E + P
(12.46)
Spre deosebire de tensiunea E, deplasarea electrică D este constantă în toate dielectricele (Figura 12.25, b). Prin urmare, câmpul electric într-un mediu dielectric neomogen este caracterizat în mod convenabil nu de puterea E, ci de vectorul de deplasare D. Vectorul D descrie câmpul electrostatic creat de sarcini libere (adică în vid), dar cu distribuția lor în spațiu, care este disponibilă în prezența unui dielectric, deoarece sarcinile legate care apar în dielectric pot provoca o redistribuire a sarcinilor libere care creează câmpul.
Câmpul vector 
este reprezentat cu linii de deplasare electrică la fel ca un câmp 
descrisă de linii de forță.
Linia de deplasare electrică - acestea sunt linii, tangente la care în fiecare punct coincid în direcție cu vectorul deplasării electrice.
Liniile vectorului E pot începe și se pot termina la orice sarcină - liberă și legată, în timp ce liniile vectoruluiD - numai cu taxe gratuite. Linii vectorialeD spre deosebire de liniile de tensiune, acestea sunt continue.
Deoarece vectorul deplasării electrice nu are o discontinuitate la interfața dintre cele două medii, atunci toate liniile de inducție care provin din sarcini înconjurate de o suprafață închisă vor pătrunde în el. Prin urmare, pentru vectorul deplasării electrice, teorema lui Gauss își păstrează pe deplin semnificația pentru un mediu dielectric neomogen.
Teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic într-un dielectric : fluxul vectorului de deplasare electrică printr-o suprafață închisă arbitrar este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în această suprafață.
(12.47)
Se încarcă ...