Fluxul vectorului de deplasare printr-o suprafață închisă. Ostrogradskiy - Teorema lui Gauss. Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică

Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică) [

Pentru un câmp dintr-un mediu dielectric, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă într-un alt mod (într-un mod alternativ) - prin fluxul vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului de deplasare electrică printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă conținută în această suprafață:

În formă diferențială:

Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică

Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:

sau sub formă diferențială

Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” (monopoluri) care ar crea un câmp magnetic, deoarece sarcinile electrice creează un câmp electric. Cu alte cuvinte, teorema lui Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este (complet) vartej.

Teorema lui Gauss pentru gravitația newtoniană

Pentru intensitatea câmpului gravitației newtoniene (accelerația gravitației), teorema lui Gauss coincide practic cu cea din electrostatică, cu excepția doar a constantelor (totuși, depinde totuși de o alegere arbitrară a sistemului de unități) și, cel mai important, semnul:

unde g - puterea câmpului gravitațional; M - sarcina gravitațională (adică masa) în interiorul suprafeței S, ρ - densitatea masei, G este o constantă newtoniană.

Conductori într-un câmp electric. Câmpul din interiorul conductorului și pe suprafața acestuia.

Conductorii sunt corpuri prin care sarcinile electrice pot trece de la un corp încărcat la unul neîncărcat. Capacitatea conductoarelor de a trece prin ele însele sarcini electrice se explică prin prezența purtătorilor de sarcină gratuită în ele. Conductori - corpuri metalice în stare solidă și lichidă, soluții lichide de electroliți. Sarcinile libere ale unui conductor introdus într-un câmp electric intră în mișcare sub acțiunea sa. Redistribuirea sarcinilor determină o schimbare a câmpului electric. Când câmpul electric din conductor devine zero, electronii se opresc din mișcare. Fenomenul separării sarcinilor diferite de un conductor plasat într-un câmp electric se numește inducție electrostatică. Nu există câmp electric în interiorul conductorului. Se folosește pentru protecție electrostatică - protecție cu conductori metalici dintr-un câmp electric. Suprafața unui corp conductor de orice formă într-un câmp electric este o suprafață echipotențială.

Condensatoare

Pentru a obține dispozitive care, cu un potențial mic în raport cu mediul, ar acumula (condensa) sarcini vizibile, se folosește faptul că capacitatea electrică a unui conductor crește atunci când alte corpuri se apropie de acesta. Într-adevăr, sub acțiunea unui câmp creat de conductori încărcați, apar sarcini induse (pe un conductor) sau asociate (pe un dielectric) pe un corp adus la el (Figura 15.5). Încărcările, opuse în semn cu sarcina conductorului q, sunt situate mai aproape de conductor decât cele cu același nume cu q și, prin urmare, au o mare influență asupra potențialului său.

Prin urmare, atunci când un corp este adus la un conductor încărcat, intensitatea câmpului scade și, prin urmare, potențialul conductorului scade. Conform ecuației, aceasta înseamnă o creștere a capacității conductorului.

Condensatorul este format din doi conductori (plăci) (Figura 15.6), separați printr-un strat dielectric. Când se aplică o anumită diferență de potențial unui conductor, plăcile sale sunt încărcate cu sarcini egale ale semnului opus. Capacitatea electrică a unui condensator este înțeleasă ca o mărime fizică proporțională cu sarcina q și invers proporțională cu diferența de potențial dintre plăci

Să determinăm capacitatea unui condensator plat.

Dacă aria plăcii este S și sarcina pe aceasta este q, atunci intensitatea câmpului dintre plăci este

Pe de altă parte, diferența de potențial dintre plăcile de unde

Energia unui sistem de sarcini punctuale, a unui conductor încărcat și a unui condensator.

Orice sistem de sarcini are o anumită energie potențială de interacțiune, care este egală cu munca cheltuită pentru crearea acestui sistem. Energia sistemului de sarcini punctuale q 1 , q 2 , q 3 ,… q N este definit după cum urmează:

unde φ 1 - potențialul câmpului electric creat de toate sarcinile, cu excepția q 1 în punctul în care se află taxa q 1 etc. Dacă se schimbă configurația sistemului de taxe, atunci se schimbă și energia sistemului. Pentru a modifica configurația sistemului, este necesar să lucrați.

Energia potențială a unui sistem de sarcini punctuale poate fi calculată în alt mod. Energia potențială a încărcăturilor în două puncte q 1 , q 2 la distanță unul de celălalt este egal cu. Dacă există mai multe sarcini, atunci energia potențială a acestui sistem de sarcini poate fi definită ca suma energiilor potențiale ale tuturor perechilor de sarcini care pot fi compensate pentru acest sistem. Deci, pentru un sistem de trei sarcini pozitive, energia sistemului este

Câmp electric cu încărcare punctuală q 0 la distanță de acesta într-un mediu cu constantă dielectrică ε (vezi figura 3.1.3). Figura 3.1.3	; Potențialul este un scalar, semnul său depinde de semnul încărcării care creează câmpul.
Figura 3.1.4. Câmpul electric al unei sfere de rază încărcate uniform în punctul C la o distanță de suprafața sa (Figura 3.1.4). Câmpul electric al unei sfere este similar cu câmpul unei sarcini punctuale egal cu sarcina sferei qsp și concentrat în centrul său. Distanța până la punctul în care se determină tensiunea este ( R+a)	În afara sferei: ; Potențialul din interiorul sferei este constant și egal , iar tensiunea din interiorul sferei este zero
Câmp electric de plan infinit încărcat uniform cu densitatea suprafeței σ (vezi figura 3.1.5). Figura 3.1.5.	Se numește câmpul, a cărui forță este aceeași în toate punctele omogen. Densitatea suprafeței σ Este sarcina pe unitate de suprafață (unde sunt sarcina și zona respectivă a planului). Dimensiunea densității de încărcare a suprafeței.
Câmpul electric al unui condensator plat cu aceeași magnitudine, dar opus în semnele de încărcare pe plăci (a se vedea figura 3.1.6). Figura 3.1.6	Tensiunea dintre plăcile unui condensator plat, în afara condensatorului E=0. Diferenta potentiala tuîntre plăcile (plăcile) condensatorului :, unde d Este distanța dintre plăci, este constanta dielectrică a dielectricului plasată între plăcile condensatorului. Densitatea de încărcare a suprafeței pe plăcile condensatorului este egală cu raportul dintre cantitatea de încărcare pe ea și suprafața plăcii:

Energia unui conductor și condensator solitar încărcat

Dacă un conductor solitar are o sarcină q, atunci există un câmp electric în jurul său, al cărui potențial pe suprafața conductorului este egal, iar capacitatea este C. Să creștem sarcina cu dq. Când transferați încărcarea dq de la infinit, lucrarea trebuie să fie egală cu ... Dar potențialul câmpului electrostatic al unui conductor dat la infinit este zero. Apoi

Când sarcina dq este transferată de la conductor la infinit, aceeași lucrare este efectuată de forțele câmpului electrostatic. În consecință, cu o creștere a sarcinii conductorului cu dq, energia potențială a câmpului crește, adică

Prin integrarea acestei expresii, găsim energia potențială a câmpului electrostatic al unui conductor încărcat cu o creștere a sarcinii sale de la zero la q:

Aplicând raportul, se pot obține următoarele expresii pentru energia potențială W:

Pentru un condensator încărcat, diferența de potențial (tensiune) este, prin urmare, egală cu raportul pentru energia totală a câmpului său electrostatic au forma

Principala problemă aplicată a electrostaticii este calculul câmpurilor electrice generate în diferite dispozitive și aparate. În termeni generali, această problemă este rezolvată folosind legea lui Coulomb și principiul suprapunerii. Cu toate acestea, această sarcină devine foarte complicată atunci când se ia în considerare un număr mare de sarcini punctuale sau distribuite spațial. Dificultăți și mai mari apar atunci când există dielectrici sau conductori în spațiu, când, sub acțiunea unui câmp extern E 0, are loc o redistribuire a sarcinilor microscopice, creându-și propriul câmp suplimentar E. Prin urmare, pentru soluționarea practică a acestor probleme, metodele și tehnicile auxiliare sunt utilizate folosind un aparat matematic complex. Vom lua în considerare cea mai simplă metodă bazată pe aplicarea teoremei Ostrogradsky - Gauss. Pentru a formula această teoremă, introducem mai multe concepte noi:

A) densitatea sarcinii

Dacă corpul încărcat este mare, atunci trebuie să cunoașteți distribuția sarcinilor în interiorul corpului.

Densitatea încărcării în vrac- măsurat prin taxa pe unitate de volum:

Densitatea sarcinii de suprafață- măsurată prin încărcarea pe unitate de suprafață a corpului (când sarcina este distribuită pe suprafață):

Densitatea sarcinii liniare(distribuția sarcinii de-a lungul conductorului):

b) inducție electrostatică vectorială

Inducție electrostatică vectorială (vectorul deplasării electrice) este o mărime vectorială care caracterizează câmpul electric.

Vector este egal cu produsul vectorului pe constanta dielectrică absolută a mediului într-un punct dat:

Verificați dimensiunea D în unități SI:

de cand
,

atunci dimensiunile D și E nu coincid, iar valorile lor numerice sunt, de asemenea, diferite.

Din definiție rezultă că pentru câmpul vector se aplică același principiu de suprapunere ca și pentru câmp :

Camp este reprezentată grafic de linii de inducție, la fel ca câmpul ... Liniile de inducție sunt trasate astfel încât tangenta din fiecare punct să coincidă cu direcția , iar numărul de linii este egal cu valoarea numerică a lui D în această locație.

Pentru a înțelege sensul introducerii ia în considerare un exemplu.

	ε\u003e 1	la limita cavității cu dielectric, se concentrează sarcinile negative legate și câmpul scade dramatic și densitatea scade brusc.
Pentru același caz: D \u003d Eεε 0	apoi: linii mergi continuu. Linii începe cu taxe gratuite (y pe orice - conectat sau liber), și la limita dielectricului, densitatea lor rămâne neschimbată. În acest fel - continuitatea liniilor de inducție face calculul mult mai ușor , și, cunoscând conexiunea din poate fi găsit vector .

în) inducție electrostatică a vectorului de flux

Luați în considerare suprafața S într-un câmp electric și alegeți direcția normalului

1. Dacă câmpul este uniform, atunci numărul de linii de forță prin suprafața S:

2. Dacă câmpul este neomogen, atunci suprafața este împărțită în elemente infinitezimale dS, care sunt considerate plate și câmpul din jurul lor este uniform. Prin urmare, fluxul printr-un element de suprafață este: dN \u003d D n dS,

și debitul total prin orice suprafață:

(6)

Fluxul de inducție N este o cantitate scalară; în funcție de  poate fi\u003e 0 sau< 0, или = 0.

Scopul lecției: Teorema Ostrogradsky - Gauss a fost stabilită de matematicianul și mecanicul rus Mihail Vasilievich Ostrogradsky sub forma unei teoreme matematice generale și de matematicianul german Karl Friedrich Gauss. Această teoremă poate fi utilizată în studiul fizicii la nivel de profil, deoarece permite calcule mai raționale ale câmpurilor electrice.

Vector de inducție electrică

Pentru a deriva teorema Ostrogradsky - Gauss, este necesar să se introducă concepte auxiliare atât de importante precum vectorul inducție electrică și fluxul acestui vector F.

Se știe că câmpul electrostatic este adesea descris folosind linii de forță. Să presupunem că determinăm tensiunea într-un punct situat la interfața dintre două medii: aer (\u003d 1) și apă (\u003d 81). În acest moment, în timpul tranziției de la aer la apă, intensitatea câmpului electric conform formulei va scădea de 81 de ori. Dacă neglijăm conductivitatea apei, atunci numărul de linii de forță va scădea cu aceeași cantitate. La rezolvarea diferitelor probleme pentru calcularea câmpurilor, se creează anumite inconveniente datorită discontinuității vectorului de solicitare la interfața dintre medii și pe dielectric. Pentru a le evita, se introduce un nou vector, care se numește vectorul de inducție electrică:

Vectorul de inducție electrică este egal cu produsul vectorului de constanta electrică și de constanta dielectrică a mediului într-un punct dat.

Evident, la trecerea graniței a două dielectrice, numărul liniilor de inducție electrică nu se modifică pentru câmpul unei sarcini punctuale (1).

În sistemul SI, vectorul de inducție electrică este măsurat în coulombi pe metru pătrat (C / m2). Expresia (1) arată că valoarea numerică a vectorului nu depinde de proprietățile mediului. Câmpul vector este reprezentat grafic în mod similar cu câmpul de tensiune (de exemplu, pentru o încărcare punctuală, vezi Fig. 1). Principiul suprapunerii este valabil pentru câmpul vector:

Fluxul de inducție electrică

Vectorul de inducție electrică caracterizează câmpul electric în fiecare punct al spațiului. Poate fi introdusă încă o valoare, în funcție de valorile vectorului nu la un moment dat, ci la toate punctele suprafeței delimitate de un contur plat închis.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un conductor închis plat (circuit) cu o suprafață S, plasat într-un câmp electric uniform. Normalul către planul conductorului face un unghi cu direcția vectorului de inducție electrică (Fig. 2).

Fluxul inducției electrice prin suprafața S se numește valoarea egală cu produsul modulului vectorului de inducție de aria S și de cosinusul unghiului dintre vector și normal:

Derivarea teoremei Ostrogradsky - Gauss

Această teoremă vă permite să găsiți fluxul vectorului de inducție electrică printr-o suprafață închisă, în interiorul căreia există sarcini electrice.

Să se plaseze mai întâi o singură încărcare punct q în centrul unei sfere cu rază arbitrară r 1 (Fig. 3). Apoi ; ... Să calculăm fluxul total de inducție care trece pe întreaga suprafață a acestei sfere :; (). Dacă luăm o sferă de rază, atunci și Ф \u003d q. Dacă desenăm o sferă care nu acoperă sarcina q, atunci fluxul total Ф \u003d 0 (deoarece fiecare linie va intra în suprafață, iar cealaltă dată o va părăsi).

Astfel, Ф \u003d q dacă sarcina este localizată în interiorul suprafeței închise și Ф \u003d 0 dacă sarcina este situată în afara suprafeței închise. Fluxul Φ nu depinde de forma suprafeței. De asemenea, nu depinde de amplasarea sarcinilor în interiorul suprafeței. Aceasta înseamnă că rezultatul obținut este valabil nu numai pentru o singură sarcină, ci și pentru orice număr de sarcini situate în mod arbitrar, dacă doar înțelegem prin q suma algebrică a tuturor sarcinilor din interiorul suprafeței.

Teorema lui Gauss: fluxul inducției electrice prin orice suprafață închisă este egal cu suma algebrică a tuturor sarcinilor din interiorul suprafeței:.

Formula arată că dimensiunea debitului electric este aceeași cu cea a sarcinii electrice. Prin urmare, unitatea fluxului de inducție electrică este coulombul (C).

Notă: dacă câmpul este neomogen și suprafața prin care se determină fluxul nu este un plan, atunci această suprafață poate fi împărțită în elemente infinitezimale ds și fiecare element este considerat plat, iar câmpul din jurul său este uniform. Prin urmare, pentru orice câmp electric, fluxul vectorului de inducție electrică prin elementul de suprafață este: dF \u003d. Ca urmare a integrării, fluxul total prin suprafața închisă S în orice câmp electric neomogen este egal cu: , unde q este suma algebrică a tuturor sarcinilor înconjurate de o suprafață închisă S. Să exprimăm ultima ecuație în termeni de intensitate a câmpului electric (pentru vid) :.

Aceasta este una dintre ecuațiile Maxwell fundamentale pentru câmpul electromagnetic, scrise în formă integrală. Arată că sarcinile electrice staționare sunt sursa unui câmp electric constant în timp.

Aplicarea teoremei lui Gauss

Domeniul tarifelor distribuite continuu

Să determinăm acum intensitatea câmpului pentru un număr de cazuri folosind teorema Ostrogradsky-Gauss.

1. Câmp electric al unei suprafețe sferice uniform încărcate.

O sferă de rază R. Să fie distribuită uniform sarcina + q pe o suprafață sferică de rază R. Distribuția sarcinii pe suprafață se caracterizează prin densitatea sarcinii de suprafață (Fig. 4). Densitatea sarcinii de suprafață este raportul dintre sarcina și suprafața pe care este distribuită. ... În SI.

Determinați intensitatea câmpului:

a) în afara suprafeței sferice,
b) în interiorul unei suprafețe sferice.

a) Luați punctul A, distanțat de centrul suprafeței sferice încărcate la o distanță r\u003e R. Să trasăm o suprafață mentală sferică S cu raza r prin ea, care are un centru comun cu o suprafață sferică încărcată. Din considerații de simetrie, este evident că liniile de forță sunt drepte radiale perpendiculare pe suprafața S și pătrund uniform pe această suprafață, adică tensiunea în toate punctele acestei suprafețe este constantă în mărime. Aplicăm teorema Ostrogradsky-Gauss pe această suprafață sferică S cu raza r. Prin urmare, fluxul total prin sferă este egal cu N \u003d E? S; N \u003d E. Pe de altă parte . Echivalăm:. Prin urmare: pentru r\u003e R.

Astfel: tensiunea creată de o suprafață sferică încărcată uniform în afara acesteia este aceeași ca și când întreaga sarcină ar fi în centrul său (Fig. 5).

b) Să găsim intensitatea câmpului în punctele situate în interiorul suprafeței sferice încărcate. Luați punctul B la o distanță de centrul sferei ... Apoi, E \u003d 0 pentru r

2. Intensitatea câmpului unui plan infinit încărcat uniform

Luați în considerare câmpul electric creat de un plan infinit încărcat cu o constantă de densitate în toate punctele planului. Din motive de simetrie, putem presupune că liniile de tensiune sunt perpendiculare pe plan și direcționate din acesta în ambele direcții (Fig. 6).

Alegem punctul A, aflat în dreapta planului și calculăm în acest moment, aplicând teorema Ostrogradsky-Gauss. Ca suprafață închisă, alegem o suprafață cilindrică, astfel încât suprafața laterală a cilindrului să fie paralelă cu liniile de forță, iar bazele sale să fie paralele cu planul, iar baza să treacă prin punctul A (Fig. 7). Să calculăm fluxul de solicitare prin suprafața cilindrică considerată. Debitul prin suprafața laterală este 0, deoarece liniile de tensiune sunt paralele cu suprafața laterală. Apoi, debitul total este alcătuit din debituri și trecând prin bazele cilindrului și. Ambele fluxuri sunt pozitive \u003d +; \u003d; \u003d; \u003d\u003d; N \u003d 2.

- o secțiune a planului situată în interiorul suprafeței cilindrice selectate. Sarcina din interiorul acestei suprafețe este q.

Apoi; - poate fi luat ca o sarcină punctuală) cu punctul A. Pentru a găsi câmpul total, este necesar să se adauge geometric toate câmpurile create de fiecare element :; ...