Valoarea matematică a zonei este cunoscută încă din Grecia antică. Chiar și în acele vremuri îndepărtate, grecii au aflat că zona este o parte solidă a suprafeței, care este mărginită de toate părțile de un contur închis. Aceasta este o valoare numerică care se măsoară în unități pătrate... Zona este o caracteristică numerică atât a figurilor geometrice plate (planimetrice), cât și a suprafețelor corpurilor din spațiu (volumetrice).
În prezent, se găsește nu numai în programa școlară în lecțiile de geometrie și matematică, ci și în astronomie, viața de zi cu zi, în construcții, în dezvoltarea proiectelor, în producție și în mulți alți oameni. Foarte des, recurgem la calcularea suprafețelor de segmente pe un teren personal atunci când decorăm o zonă peisagistică sau când renovăm un design ultramodern al camerei. Prin urmare, cunoașterea metodelor de calcul al ariei diverselor va fi utilă întotdeauna și peste tot.
Pentru a calcula aria unui segment circular și a unui segment al unei sfere, trebuie să înțelegeți termenii geometrici care vor fi necesari în procesul de calcul.
În primul rând, un segment al unui cerc este un fragment al unei figuri plate a unui cerc, care este situat între arcul unui cerc și coarda care îl taie. Acest concept nu trebuie confundat cu cifra sectorială. Sunt lucruri complet diferite.
Un acord este un segment care leagă două puncte pe un cerc.
Colțul central este format între două segmente de linie - raze. Se măsoară în grade prin arcul pe care se sprijină.
Un segment al unei sfere se formează atunci când o parte este tăiată de orice plan.În acest caz, baza segmentului sferic este un cerc, iar înălțimea este o perpendiculară care se extinde de la centrul cercului până la intersecția cu suprafața sferei. Acest punct de intersecție se numește vârful segmentului de bilă.
Pentru a determina aria unui segment de sferă, trebuie să cunoașteți cercul tăiat și înălțimea segmentului sferic. Produsul acestor două componente va fi aria segmentului de sferă: S \u003d 2πRh, unde h este înălțimea segmentului, 2πR este circumferința și R este raza cercului mare.
Pentru a calcula aria unui segment de cerc, puteți utiliza următoarele formule:
1. Pentru a găsi aria unui segment cu cel mai mult într-un mod simplu, este necesar să se calculeze diferența dintre aria sectorului în care este inscripționat segmentul și a cărei bază este acordul segmentului: S1 \u003d S2-S3, unde S1 este aria segmentului, S2 este aria sectorului, iar S3 este aria triunghiului.
Puteți utiliza formula aproximativă pentru calcularea ariei unui segment circular: S \u003d 2/3 * (a * h), unde a este baza triunghiului sau h este înălțimea segmentului, care este rezultatul diferenței dintre raza cercului și
2. Aria unui segment altul decât un semicerc este calculată după cum urmează: S \u003d (π R2: 360) * α ± S3, unde π R2 este aria unui cerc, α este măsura de grad a unghiului central care conține arcul unui segment al unui cerc, S3 este aria unui triunghi care s-a format între două raze ale unui cerc și o coardă care deține un unghi la punctul central al cercului și două vârfuri la punctele de contact ale razelor cu cerc.
Dacă unghiul α< 180 градусов, используется знак минус, если α > Se aplică semnul plus 180 de grade.
3. Puteți calcula aria unui segment folosind alte metode folosind trigonometria. De regulă, un triunghi este luat ca bază. Dacă unghiul central este măsurat în grade, atunci următoarea formulă este acceptabilă: S \u003d R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, unde R2 este pătratul razei cercului, α este măsura de grad a unghiului central.
4. Pentru a calcula aria unui segment folosind funcții trigonometrice, puteți utiliza o altă formulă, cu condiția ca unghiul central să fie măsurat în radiani: S \u003d R2 * (α - sin α) / 2, unde R2 este pătratul razei cercului, α este măsura de grad a unghiului central.
Definirea unui segment de cerc
Segment - aceasta este figura geometrică, care se obține prin tăierea unei părți a cercului cu o coardă.
Calculator online
Această figură este situată între coardă și arcul cercului.
CoardăAcesta este un segment de linie care se află în interiorul unui cerc și conectează două puncte arbitrare pe acesta.
Atunci când tăiem o parte a unui cerc cu o coardă, putem lua în considerare două figuri: acesta este segmentul nostru și un triunghi isoscel, ale cărui laturi sunt razele cercului.
Aria unui segment poate fi găsită ca diferență între ariile unui sector al unui cerc și acest triunghi isoscel.
Zona unui segment poate fi găsită în mai multe moduri. Să ne oprim asupra lor mai detaliat.
Formula pentru aria unui segment de cerc în ceea ce privește raza și lungimea unui arc de cerc, înălțimea și baza unui triunghi
S \u003d 1 2 ⋅ R ⋅ s - 1 2 ⋅ h ⋅ a S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot R \\ cdot s- \\ frac (1) (2) \\ cdot h \\ cdot aS \u003d2 1 ⋅ R ⋅s -2 1 ⋅ h ⋅a
R R R - raza cercului;
s s s - lungimea arcului;
h h h - înălțimea triunghiului isoscel;
a a a este lungimea bazei acestui triunghi.
Se dă un cerc, raza sa este numerică egală cu 5 (vezi), înălțimea, care este trasă la baza triunghiului, este egală cu 2 (vezi), lungimea arcului este 10 (vezi). Găsiți aria unui segment de cerc.
Decizie
R \u003d 5 R \u003d 5 R \u003d5
h \u003d 2 h \u003d 2 h \u003d2
s \u003d 10 s \u003d 10 s \u003d1
0
Pentru a calcula aria, ne lipsește doar baza triunghiului. Să-l găsim după formula:
A \u003d 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R - h) \u003d 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 - 2) \u003d 8 a \u003d 2 \\ cdot \\ sqrt (h \\ cdot (2 \\ cdot Rh)) \u003d 2 \\ cdot \\ a \u003dh ⋅ (2 ⋅ R - h)2 ⋅ acum putem calcula aria segmentului: = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8
S \u003d 1 2 ⋅ R ⋅ s - 1 2 ⋅ h ⋅ a \u003d 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 - 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 \u003d 17 S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot R \\ cdot s- \\ frac (1) (2) \\ cdot h \\ cdot a \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 5 \\ cdot 10- \\ frac (1) (2) \\ cdot 2 \\ cdot 8 \u003d 17
(vezi sq.)S \u003d2 1 ⋅ R ⋅s -2 1 ⋅ h ⋅h ⋅ (2 ⋅ R - h)2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 Răspuns:
17 cm. Formula pentru aria unui segment de cerc după raza cercului și unghiul central
S \u003d R 2 2 ⋅ (α - sin \u2061 (α)) S \u003d \\ frac (R ^ 2) (2) \\ cdot (\\ alpha- \\ sin (\\ alpha))
RS \u003d2 păcat (α)) 2 ⋅ (α − α \\ alpha
R R R - raza cercului;
- unghiul central dintre două raze, subordonând coarda, α
măsurată în radiani găsiți aria unui segment de cerc dacă raza cercului este 7 (a se vedea) și unghiul central este de 30 de grade..
R \u003d 7 R \u003d 7
Decizie
α \u003d 3 0 ∘ \\ alpha \u003d 30 ^ (\\ circ) R \u003d7
Să transformăm mai întâi unghiul în grade în radiani. În măsura în careα
=
3
0
∘
π \\ pi radianul este egal cu 180 de grade, apoi: π
3 0 ∘ \u003d 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ \u003d π 6 30 ^ (\\ circ) \u003d 30 ^ (\\ circ) \\ cdot \\ frac (\\ pi) (180 ^ (\\ circ)) \u003d \\ frac (\\ pi ) (6)
radian. Atunci aria segmentului este:3
0
∘
=
3
0
∘
⋅
1
8
0
∘
π
=
6
π
S \u003d R 2 2 ⋅ (α - sin \u2061 (α)) \u003d 49 2 ⋅ (π 6 - sin \u2061 (π 6)) ≈ 0,57 S \u003d \\ frac (R ^ 2) (2) \\ cdot (\\ alpha- \\ sin (\\ alpha)) \u003d \\ frac (49) (2) \\ cdot \\ Big (\\ frac (\\ pi) (6) - \\ sin \\ Big (\\ frac (\\ pi) (6) \\ Big) \\ Big ) \\ aproximativ 0,57
sin (α)) \u003dS \u003d2 păcat (α)) 2 ⋅ (α − păcat2 4 9 ⋅ ( 6 π − 0,57 cm. ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 Răspuns:
17 cm. Cercul, părțile sale, dimensiunile și proporțiile lor sunt lucrurile pe care bijutierul le întâlnește constant. Inele, brățări, caste, țevi, bile, spirale - trebuie făcute o mulțime de lucruri rotunde. Cum poți calcula toate acestea, mai ales dacă ai avut norocul să ratezi lecțiile de geometrie la școală? ..
Să vedem mai întâi ce părți ale unui cerc sunt și cum se numesc acestea.
Un cerc este o linie care cuprinde un cerc.
- Un arc face parte dintr-un cerc.
- Raza este un segment de linie care leagă centrul cercului cu orice punct al cercului.
- Coarda este un segment care leagă două puncte ale unui cerc.
- Un segment este partea unui cerc mărginită de o coardă și un arc.
- Un sector este partea unui cerc mărginit de două raze și un arc.
- Cantitățile care ne interesează și denumirile acestora:
Acum să vedem ce sarcini legate de părțile cercului trebuie rezolvate.
Găsiți lungimea măturării oricărei părți a inelului (brățară). Având în vedere diametrul și coarda (opțiune: diametrul și unghiul central), găsiți lungimea arcului.
- {!LANG-0811b33fbe7467799065108450bea381!}
- Există un desen pe plan, trebuie să știți dimensiunea sa în proiecție după ce ați îndoit într-un arc. Având în vedere lungimea și diametrul arcului, găsiți lungimea coardei.
- Aflați înălțimea piesei obținute prin îndoirea unei piese plate într-un arc. Opțiuni de date de intrare: lungimea și diametrul arcului, lungimea arcului și coarda; găsiți înălțimea segmentului.
Viața îți va spune alte exemple și le-am citat doar pentru a arăta nevoia de a seta câțiva doi parametri pentru a-i găsi pe toți ceilalți. Asta vom face. Anume, luăm cinci parametri de segment: D, L, X,, și H. Apoi, alegând toate perechile posibile din ele, le vom considera drept date inițiale și prin brainstorming le vom găsi pe toate celelalte.
Pentru a nu împovăra cititorul în zadar, nu voi da soluții detaliate, ci voi da doar rezultatele sub formă de formule (acele cazuri în care nu există o soluție formală, voi specifica pe parcurs).
Și încă o notă: despre unitățile de măsură. Toate cantitățile, cu excepția unghiului central, sunt măsurate în aceleași unități abstracte. Acest lucru înseamnă că, dacă, de exemplu, specificați o valoare în milimetri, atunci cealaltă nu trebuie specificată în centimetri, iar valorile rezultate vor fi măsurate în aceiași milimetri (și aria - în milimetri pătrați). Același lucru se poate spune pentru centimetri, picioare și mile marine.
Și numai unghiul central în toate cazurile este măsurat în grade și în nimic altceva. Pentru că, după cum arată practica, oamenii care proiectează ceva rotund nu sunt înclinați să măsoare unghiurile în radiani. Expresia „unghiul lui pi cu patru” îi descurajează pe mulți, în timp ce „unghiul de patruzeci și cinci de grade” este de înțeles de toată lumea, deoarece este cu doar cinci grade peste normal. Cu toate acestea, în toate formulele va fi prezent încă un unghi ca valoare intermediară - α. În sensul acesta, acesta este jumătate din unghiul central, măsurat în radiani, dar acest sens poate fi ignorat în siguranță.
1. Având în vedere diametrul D și lungimea arcului L
; lungimea coardei 
;
înălțimea segmentului 
; colțul central 
.
2. Având în vedere diametrul D și lungimea coardei X
; lungimea arcului;
înălțimea segmentului ; colțul central 
.
Deoarece acordul împarte cercul în două segmente, această problemă nu are una, ci două soluții. Pentru a obține al doilea, trebuie să înlocuiți unghiul α cu unghiul din formulele de mai sus.
3. Având în vedere diametrul D și unghiul central φ
; lungimea arcului;
lungimea coardei ; înălțimea segmentului .
4. Având în vedere diametrul D și înălțimea segmentului H
; lungimea arcului;
lungimea coardei ; colțul central .
6. Date fiind lungimea arcului L și unghiul central φ
; diametru;
lungimea coardei ; înălțimea segmentului .
8. Având în vedere lungimea coardei X și unghiul central φ
; lungimea arcului 
;
diametru; înălțimea segmentului .
9. Având în vedere lungimea coardei X și înălțimea segmentului H
; lungimea arcului ;
diametru; colțul central .
10. Având în vedere unghiul central φ și înălțimea segmentului H
; diametru 
;
lungimea arcului; lungimea coardei .
Cititorul atent nu a putut să nu observe că am pierdut două opțiuni:
5. Având în vedere lungimea arcului L și lungimea coardei X
7. Având în vedere lungimea arcului L și înălțimea segmentului H
Acestea sunt exact cele două cazuri neplăcute când problema nu are o soluție care ar putea fi scrisă sub forma unei formule. Și sarcina nu este atât de rară. De exemplu, să presupunem că aveți o piesă plană de lungime L și doriți să o îndoiți astfel încât lungimea sa să devină X (sau înălțimea să devină H). Care este diametrul mandrinei (șurubului)?
Această sarcină se reduce la rezolvarea ecuațiilor: 
; - în opțiunea 5
; - în opțiunea 7
și, deși nu sunt rezolvate analitic, sunt ușor rezolvate programatic. Și chiar știu de unde să obțin un astfel de program: chiar pe acest site, sub numele. Ea face tot ceea ce sunt aici în microsecunde.
Pentru completare, adăugați circumferința și trei valori ale ariei - cerc, sector și segment la rezultatele calculelor noastre. (Zonele ne vor ajuta foarte mult atunci când calculăm masa oricărei părți rotunde și semicirculare, dar mai multe despre asta într-un articol separat.) Toate aceste valori sunt calculate folosind aceleași formule:
circumferinta;
zona unui cerc 
;
zona sectorului 
;
zona segmentului 
;
Și, în concluzie, permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată despre existența unui program absolut gratuit care efectuează toate calculele de mai sus, eliberându-vă de nevoia de a vă aminti ce este arctangentul și unde să îl căutați.
Aria unui segment circular este egală cu diferența dintre aria sectorului circular corespunzător și aria triunghiului format din razele sectorului corespunzător segmentului și coardei care limitează segmentul.
Exemplul 1
Lungimea coardei care contractă cercul este egală cu a. Măsura gradului arcul corespunzător coardei este de 60 °. Găsiți aria unui segment circular.
Decizie
Un triunghi format din două raze și o coardă este isoscel; prin urmare, înălțimea trasă de la vârful unghiului central până la latura triunghiului format de coardă va fi și bisectoarea unghiului central, împărțindu-l în jumătate și mediană, împărțind coarda în jumătate. Știind că sinusul unghiului este egal cu raportul piciorului opus față de hipotenuză, puteți calcula valoarea razei:
Sin 30 ° \u003d a / 2: R \u003d 1/2;
Sc \u003d πR² / 360 ° * 60 ° \u003d πa² / 6
S ▲ \u003d 1/2 * ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Prin teorema lui Pitagora, h \u003d √ (R²-a² / 4) \u003d √3 * a / 2.
În consecință, S ▲ \u003d √3 / 4 * a².
Aria segmentului, calculată ca Sseg \u003d Sc - S ▲, este egală cu:
Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a²
Înlocuind o valoare numerică cu a, puteți calcula cu ușurință valoarea numerică pentru aria unui segment.
Exemplul 2
Raza cercului este egală cu a. Arcul corespunzător segmentului este de 60 °. Găsiți aria unui segment circular.
Decizie:
Aria sectorului corespunzătoare unui unghi dat poate fi calculată folosind următoarea formulă:
Sc \u003d πa² / 360 ° * 60 ° \u003d πa² / 6,
Aria triunghiului corespunzător sectorului se calculează după cum urmează:
S ▲ \u003d 1/2 * ah, unde h este înălțimea trasă de la vârful unghiului central la coardă. Prin teorema lui Pitagora, h \u003d √ (a²-a² / 4) \u003d √3 * a / 2.
În consecință, S ▲ \u003d √3 / 4 * a².
Și, în cele din urmă, aria segmentului, calculată ca Sseg \u003d Sc - S ▲, este egală cu:
Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a².
Soluțiile în ambele cazuri sunt aproape identice. Astfel, putem concluziona că pentru a calcula aria unui segment în cel mai simplu caz, este suficient să cunoaștem valoarea unghiului corespunzător arcului segmentului și unul dintre cei doi parametri - fie raza cercului, fie lungimea coardei care contractă arcul cercului care formează segmentul.
Se încarcă ...