Identități trigonometrice de bază cum se rezolvă. Lecție pe tema „identități trigonometrice”. Relația dintre tangentă și cotangentă

În acest articol, vom arunca o privire cuprinzătoare asupra. Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre aceste funcții trigonometrice prin celălalt cunoscut.

Să enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Să le notăm în tabel, iar mai jos oferim derivarea acestor formule și oferim explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Relația dintre sinus și cosinusul unui unghi

Uneori, ei vorbesc nu despre identitățile trigonometrice de bază enumerate în tabelul de mai sus, ci despre un singur identitate trigonometrică de bază drăguț ... Explicația acestui fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică principală după împărțirea ambelor părți ale acestuia și, respectiv, și egalități și urmează din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom vorbi mai multe despre acest lucru în paragrafele următoare.

Adică este egalitatea, care a primit numele identității trigonometrice de bază, de un interes deosebit.

Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică principală, să oferim formularea sa: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identică egală cu unul. Acum să dovedim.

Identitatea trigonometrică de bază este foarte des utilizată atunci când convertirea expresiilor trigonometrice... Permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu una. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este utilizată în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi.

Tangent și cotangent în termeni de sinus și cosinus

Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisă, adică , iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică .

Datorită acestei evidențe a identităților și adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci, tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.

În concluzia acestui paragraf, trebuie remarcat faptul că identitățile și au loc pentru toate astfel de unghiuri în care funcții trigonometrice are sens. Deci formula este valabilă pentru oricare altul decât (altfel numitorul va fi zero și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - pentru toate altele decât, unde z este oricare.

Relația dintre tangentă și cotangentă

O identitate trigonometrică chiar mai evidentă decât cele două precedente este identitatea care leagă tangenta și cotangenta unui unghi al formei ... Este clar că are loc pentru orice alt unghi decât, altfel tangenta sau cotangenta nu sunt definite.

Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și, de unde ... Dovada ar fi putut fi realizată puțin diferit. De când și apoi .

Deci, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt.

Clasă: 10

„Adevăr matematic, orice
fie că e la Paris sau la Toulouse, e la fel ”
B. Pascal

Tipul lecției: O lecție de formare a abilităților.

Lecție metodologică generală.

Scopul activității: formarea capacității elevilor la un nou mod de acțiune, asociat cu construcția structurii conceptelor și algoritmilor studiați.

Obiectivele lecției:

didactic: să învețe să aplice cunoștințele, abilitățile și abilitățile dobândite anterior pentru a simplifica expresiile și a demonstra identitățile trigonometrice.

în curs de dezvoltare:

educational:

Pentru a rezolva cu succes problemele de trigonometrie, trebuie să aveți cunoștințe sigure despre numeroase formule. Trebuie amintite formulele trigonometrice. Dar asta nu înseamnă că acestea trebuie memorate pe de rost, principalul lucru nu este să memoreze formulele în sine, ci algoritmii pentru derivarea lor. Orice formulă trigonometrică poate fi obținută destul de repede dacă cunoașteți cu fermitate definițiile și proprietățile de bază ale funcțiilor sinα, cosα, tgα, ctgα, raportul sin 2 α + cos 2 α \u003d 1 etc.

Învățarea formulelor trigonometrice în școală nu este astfel încât să calculați sinusurile și cosinusurile pentru tot restul vieții, ci astfel încât creierul dvs. să capete capacitatea de a lucra. ( Prezentare. Slide 2)

“Drumurile nu sunt genul de cunoștințe care se depun în creier ca grăsimea; dragi sunt cei care se transformă în mușchi mentali ”a scris G. Speser, un filosof și sociolog englez.

Vom pompa și instrui mușchii mentali. Prin urmare, vom repeta formulele trigonometrice de bază. (Slide 3)

(Slide 4)

(Diapozitivul 5)

Am repetat formulele, acum putem ajuta doi prieteni, să le numim Peter și Stepan.

După transformarea unor expresii trigonometrice foarte complexe ȘI ei a primit următoarele expresii: (Slide 6)

(Slide 7) Fiecare și-a apărat răspunsul. De unde știi care dintre ele are dreptate? Ne-am adresat lui Artyom, care este prieten cu Peter „Platon este prietenul meu, dar adevărul este mai drag”: a spus Artyom și a oferit mai multe modalități de a rezolva disputa lor. Ce modalități puteți sugera pentru a stabili adevărul? Sugerați modalități de a stabili adevărul (diapozitivul 8):

1) Transformă, simplifică A P și A s, adică a dus la o expresie

2) A P - A c \u003d 0

Adică amândoi aveau dreptate. Iar răspunsurile lor sunt egale pentru toate valorile permise α și β.

Cum se numesc aceste expresii? Identități. Ce identități știi?

T despreaşteptare, conceptul de bază al logicii, filozofiei și matematicii; folosit în limbile teoriilor științifice pentru a formula relații constitutive, legi și teoreme.

În matematică identitate Este egalitatea, care este valabilă pentru orice valoare admisibilă a variabilelor incluse în aceasta. (Slide 9)

Subiectul lecției : „Identități trigonometrice”.

Obiective: găsi căi.

Doi lucrează la tablă.

№ 2. Dovediți identitatea.

Identitatea este dovedită.

№ 3. Dovediți identitatea:

Metoda 1:

Metoda 2:

Metode de dovedire a identităților.

partea dreaptă a identității. Dacă ajungem cu partea stângă, atunci identitatea este considerată dovedită.
Efectuați transformări echivalente laturile stânga și dreapta ale identității. Dacă, ca rezultat, obținem același rezultat, atunci identitatea este considerată dovedită.

Scădeți partea stângă din partea dreaptă a identității.

Partea dreaptă este scăzută din partea stângă a identității.

De asemenea, trebuie amintit faptul că identitatea este valabilă numai pentru valorile admisibile ale variabilelor.

De ce este necesar să putem dovedi identități trigonometrice? La examen, sarcina este ecuațiile trigonometrice C1!

Decis prin nr. 87 (p. 3)

Deci, să rezumăm lecția. (Diapozitivul 10)

Care a fost subiectul lecției?

Ce metode de dovedire a identităților cunoașteți?

1. Convertiți de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga.
2. Convertiți laturile stânga și dreapta în aceeași expresie.
3. Compilarea diferenței dintre laturile stânga și dreapta și dovada egalității acestei diferențe la zero.

Ce formule se folosesc pentru aceasta?

1. Formule pentru înmulțirea prescurtată.
2. 6 identități trigonometrice.

Reflecția lecției. (Diapozitivul 11)

Continuați fraze:

- azi în lecția pe care am învățat-o ...
- azi în lecția pe care am învățat-o ...
- azi în lecție am repetat ...
- azi în lecția pe care am întâlnit-o ...
- Mi-a plăcut lecția de azi ...

Teme pentru acasă. Capitolul VIII; §6; Nr. 78 (par); Nr. 80 (2; 4); Nr. 87 (2; 4). (Diapozitivul 12)

Activitate creativă: Pregătiți o prezentare despre identități matematice celebre. (De exemplu, identitatea lui Euler.) (Diapozitivul 13)

Identități trigonometrice de bază.

secα se citește: „secant alfa”. Acesta este inversul cosinusului alfa.

cosecα citește: „cosecant alfa”. Acesta este inversul sinusului alfa.

Exemple.Simplificați expresia:

și) 1 - sin 2 α; b) cos 2 α - 1; în) (1 - cosα) (1 + cosα); d) sin 2 αcosα - cosα; e) sin 2 α + 1 + cos 2 α;

e) sin 4 α + 2sin 2 αcos 2 α + cos 4 α; g) tg 2 α - sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α - ctg 2 α; și) cos 2 α + tg 2 αcos 2 α.

și) 1 - sin 2 α \u003d cos 2 α prin formula 1) ;

b) cos 2 α - 1 \u003d - (1 - cos 2 α) \u003d -sin 2 α am aplicat și formula 1) ;

în) (1 - cosα) (1 + cosα) \u003d 1 - cos 2 α \u003d sin 2 α. În primul rând, am aplicat formula pentru diferența pătratelor a două expresii: (a - b) (a + b) \u003d a 2 - b 2, apoi formula 1) ;

d) sin 2 αcosα - cosα. Factorizați factorul comun.

sin 2 αcosα - cosα \u003d cosα (sin 2 α - 1) \u003d -cosα (1 - sin 2 α) \u003d -cosα ∙ cos 2 α \u003d -cos 3 α. Desigur, ați observat deja că, de la 1 - sin 2 α \u003d cos 2 α, atunci sin 2 α - 1 \u003d -cos 2 α. În mod similar, dacă 1 - cos 2 α \u003d sin 2 α, atunci cos 2 α - 1 \u003d -sin 2 α.

d) sin 2 α + 1 + cos 2 α \u003d (sin 2 α + cos 2 α) +1 \u003d 1 + 1 \u003d 2;

e) sin 4 α + 2sin 2 αcos 2 α + cos 4 α. Avem: pătratul expresiei sin 2 α plus de două ori produsul sin 2 α de cos 2 α și plus pătratul celei de-a doua expresii cos 2 α. Să aplicăm formula pentru pătratul sumei a două expresii: a 2 + 2ab + b 2 \u003d (a + b) 2. Apoi, aplicați formula 1) ... Obținem: sin 4 α + 2sin 2 αcos 2 α + cos 4 α \u003d (sin 2 α + cos 2 α) 2 \u003d 1 2 \u003d 1;

g) tg 2 α - sin 2 αtg 2 α \u003d tan 2 α (1 - sin 2 α) \u003d tan 2 α ∙ cos 2 α \u003d sin 2 α. A aplicat formula 1) și apoi formula 2) .

Tine minte: tgα ∙ cosα = păcatα.

În mod similar, folosind formula 3) disponibil: ctgα ∙ păcatα = cosα. Tine minte!

h) ctg 2 αcos 2 α - ctg 2 α \u003d ctg 2 α (cos 2 α - 1) \u003d ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) \u003d -cos 2 α.

și) cos 2 α + tg 2 αcos 2 α \u003d cos 2 α (1 + tg 2 α) \u003d 1. Mai întâi, am scos factorul comun din paranteze, iar conținutul parantezelor a fost simplificat prin formula 7).

Conversia expresiei:

Am aplicat formula 7) și a obținut produsul sumei a două expresii prin pătratul incomplet al diferenței dintre aceste expresii - formula pentru suma cuburilor a două expresii:

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2). Noi avem și = 1, b \u003d tg 2 α.

Simplifica:

Pagina 1 din 1 1

Identități trigonometrice - acestea sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, care vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția să se cunoască orice alta.

\\ [\\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1 \\]

\\ [tg \\ alpha \u003d \\ dfrac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace ctg \\ alpha \u003d \\ dfrac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) \\]

\\ [tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1 \\]

Relația dintre sinus și cosinus

\\ [\\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1 \\]

Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și a pătratului cosinusului unui unghi este egal cu unul, ceea ce în practică face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când este cunoscut cosinusul său și invers.

La transformarea expresiilor trigonometrice, această identitate este foarte des utilizată, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu o unitate și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă.

Găsirea tangentei și cotangentei prin sinus și cosinus

\\ [tg \\ alpha \u003d \\ dfrac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace ctg \\ alpha \u003d \\ dfrac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) \\]

Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți la el, atunci prin definiție ordonată \\ (\\ dfrac (y) (x) \u003d \\ dfrac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) \\)iar raportul \\ (\\ dfrac (x) (y) \u003d \\ dfrac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) \\) - va fi o cotangentă.

Adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \\ (\\ alfa \\) pentru care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, vor avea identitățile.

De exemplu: \\ (tg \\ alpha \u003d \\ dfrac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) \\) este valabil pentru unghiurile \\ (\\ alpha \\) care sunt diferite de \\ (\\ dfrac (\\ pi) (2) + \\ pi z \\) și \\ (ctg \\ alpha \u003d \\ dfrac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) \\) - pentru un unghi \\ (\\ alpha \\) altul decât \\ (\\ pi z \\), \\ (z \\) - este un număr întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

\\ [tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1 \\]

Această identitate este valabilă numai pentru unghiuri \\ (\\ alpha \\), altele decât \\ (\\ dfrac (\\ pi) (2) z \\). În caz contrar, nu va fi specificat nici cotangent, nici tangent.

Pe baza punctelor de mai sus, găsim că \\ (tg \\ alpha \u003d \\ dfrac (y) (x) \\) și \\ (ctg \\ alpha \u003d \\ dfrac (x) (y) \\). De aici rezultă că \\ (tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d \\ dfrac (y) (x) \\ cdot \\ dfrac (x) (y) \u003d 1 \\)... Astfel, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt numere reciproce.

Dependențe între tangentă și cosinus, cotangentă și sinus

\\ (tg ^ (2) \\ alpha + 1 \u003d \\ dfrac (1) (\\ cos ^ (2) \\ alpha) \\) - suma pătratului tangentei unghiului \\ (\\ alpha \\) și \\ (\\ alpha \\), altul decât \\ (\\ dfrac (\\ pi) (2) + \\ pi z \\).

\\ (1 + ctg ^ (2) \\ alpha \u003d \\ dfrac (1) (\\ sin ^ (2) \\ alpha) \\) - suma \\ (\\ alfa \\), egală cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \\ (\\ alpha \\), altul decât \\ (\\ pi z \\).

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a face calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!

Exemplul 2. Dovediți identitatea

Vom dovedi această identitate transformând expresia din partea dreaptă.

Metoda 1.

prin urmare

Metoda 2.

În primul rând, rețineți că ctg α \u003d / \u003d 0; altfel expresia tg α \u003d 1 / ctg α ... Dar dacă ctg α \u003d / \u003d 0, atunci numeratorul și numitorul expresiei radicale pot fi înmulțiți cu ctg α fără a modifica valoarea fracției. Prin urmare,

Folosind identitățile tg α ctg α \u003d 1 și 1+ ctg 2 α \u003d cosec 2 α , primim

prin urmare q.E.D.

Cometariu. Trebuie remarcat faptul că partea stângă a identității dovedite (păcat α ) este definit pentru toate valorile α , iar cel potrivit doar la α =/= π / 2 n.

Prin urmare, numai când toate admisibile sensuri α În general, aceste expresii nu sunt echivalente una cu cealaltă.

Exemplul 3. Dovediți identitatea

păcat (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) \u003d cos (2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )

Transformăm părțile stângi și drepte ale acestei identități folosind formulele de reducere:

păcat (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) \u003d - cos α - cos α \u003d - 2 cos α ;

cos (2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) \u003d cos α - 3 cos α \u003d - 2 cos α .

Deci, expresiile din ambele părți ale acestei identități sunt reduse la aceeași formă. Aceasta dovedește identitatea.

Exemplul 4. Dovediți identitatea

păcatul 4 α + cos 4 α - 1 \u003d - 2 sin 2 α cos 2 α .

Să arătăm că diferența dintre partea stângă și cea dreaptă. această identitate este egală cu zero.

(păcatul 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 sin 2 α cos 2 α ) \u003d (păcatul 4 α + 2 păcat 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =

\u003d (păcatul 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Aceasta dovedește identitatea.

Exemplul 5. Dovediți identitatea

Această identitate poate fi văzută ca o proporție. Dar pentru a demonstra validitatea proporției a / b \u003d c / d, este suficient să arătăm că produsul termenilor săi extremi anunț egal cu produsul membrilor săi medii bc... Aceasta este ceea ce vom face în acest caz. Să arătăm că (1 - păcat α ) (1+ păcat α ) \u003d cos α cos α .

Într-adevăr, (1 - păcat α ) (1 + păcat α ) \u003d 1-păcat 2 α \u003d cos 2 α .