Există un raport al componentelor egal cu 1. Cum se calculează rapoartele. Cum se calculează proporția

Proporțiile sunt o combinație atât de familiară, care este probabil cunoscută din clasele primare ale unei școli cuprinzătoare. În sensul cel mai general, proporția este egalitatea a două sau mai multe rapoarte.

Adică, dacă există unele numere A, B și C

apoi proporția

dacă sunt patru numere A, B, C și D

fie este și o proporție

Cel mai simplu exemplu în care se folosește proporția este calculul procentelor.

În general, utilizarea proporțiilor este atât de largă, încât este mai ușor de spus unde nu se aplică.

Proporțiile pot fi folosite pentru a determina distanțe, mase, volume, precum și cantitatea de orice, cu o condiție importantă: proporțional, ar trebui să existe dependențe liniare între diferite obiecte. Mai jos, folosind exemplul de construire a unui aspect Bronze Horseman, veți vedea cum să calculați proporțiile în care există dependențe neliniare.

Stabiliți câte kilograme de orez vor fi dacă luați 17 la sută din volumul total de orez de 150 de kilograme?

Să facem o proporție în cuvinte: 150 de kilograme este volumul total de orez. Deci, să o luăm ca 100%. Apoi 17% din 100% va fi calculat ca proporție a două rapoarte: 100% este la 150 de kilograme la fel ca 17% este la un număr necunoscut.

Acum numărul necunoscut este calculat elementar

Adică răspunsul nostru este 25,5 kilograme de orez.

Există, de asemenea, mistere interesante asociate cu proporțiile, care arată că nu este necesar să se aplice neplăcut proporții pentru toate ocaziile.

Iată una dintre ele, ușor modificată:

Pentru demonstrație în biroul companiei, directorul a ordonat realizarea unui model al sculpturii „Călărețul de bronz” fără piedestal de granit. Una dintre condiții este ca macheta să fie realizată din aceleași materiale ca și originalul, proporțiile trebuie respectate și înălțimea machetei să fie de exact 1 metru. Întrebare: Care va fi greutatea aspectului?

Să începem cu cărțile de referință.

Înălțimea călărețului este de 5,35 metri și greutatea sa este de 8.000 kg.

Dacă folosim primul gând - pentru a face o proporție: 5,35 metri este raportat la 8.000 de kilograme ca 1 metru la o valoare necunoscută, atunci s-ar putea să nu începem nici măcar calculul, deoarece răspunsul va fi greșit.

Este vorba despre o mică nuanță de care trebuie luată în considerare. Totul tine de conexiune între masă și înălțime sculpturi neliniară, adică nu se poate spune că mărind, de exemplu, un cub cu 1 metru (respectând proporțiile astfel încât să rămână cub), îi vom crește greutatea cu aceeași cantitate.

Acest lucru este ușor de verificat cu exemple:

1. lipiți un cub cu lungimea marginii de 10 centimetri. Câtă apă va intra acolo? Este logic ca 10 * 10 * 10 \u003d 1000 de centimetri cubi, adică 1 litru. Ei bine, deoarece au turnat apă acolo (densitatea este egală cu unul) și nu un alt lichid, atunci masa va fi egală cu 1 kg.

2. lipiți un cub similar, dar cu lungimea coastei de 20 cm.Volumul de apă turnat în el va fi egal cu 20 * 20 * 20 = 8000 centimetri cubi, adică 8 litri. Ei bine, greutatea este în mod natural de 8 kg.

Este ușor de observat că relația dintre masă și modificarea lungimii muchiei cubului este neliniară, sau mai degrabă cubică.

Amintiți-vă că volumul este produsul dintre înălțime, lățime și adâncime.

Adică, atunci când o figură se modifică (în funcție de proporții / forme) de o dimensiune liniară (înălțime, lățime, adâncime), masa / volumul unei figuri tridimensionale se modifică cub.

Ne certam:

Dimensiunea noastră liniară s-a schimbat de la 5,35 metri la 1 metru, apoi masa (volumul) se va schimba ca rădăcină cubă de 8000/x

Și obțineți acel aspect Călăreț de bronzîn biroul firmei cu înălțimea de 1 metru va cântări 52 kilograme 243 grame.

Dar, pe de altă parte, dacă sarcina ar fi stabilită astfel " layout-ul trebuie să fie realizat din aceleași materiale ca și originalul, proporțiile și volum 1 metru cub „Atunci, știind că există o relație liniară între volum și masă, am folosi doar raportul standard, volumul vechi la nou și masa veche la un număr necunoscut.

Dar botul nostru ajută la calcularea proporțiilor în alte cazuri, mai frecvente și mai practice.

Cu siguranță, va fi de folos tuturor gospodinelor care gătesc mâncare.

Apar situații când se găsește o rețetă pentru un tort uimitor de 10 kg, dar volumul său este prea mare pentru a fi pregătit.. Aș dori să fie mai mic, de exemplu, doar două kilograme, dar cum să calculez toate greutățile noi și volume de ingrediente?

Aici te va ajuta un bot, care va putea calcula noii parametri ai unui tort de 2 kilograme.

De asemenea, botul va ajuta la calculele bărbaților harnici care își construiesc o casă și trebuie să calculeze câte ingrediente de beton să ia dacă au doar 50 de kilograme de nisip.

Sintaxă

Pentru utilizatorii client XMPP: pro<строка>

unde șir are elemente necesare

număr1 / număr2 - găsirea proporției.

Pentru a nu vă teme de o descriere atât de scurtă, dăm un exemplu aici.

200 300 100 3 400/100

Care spune, de exemplu, următoarele:

200 de grame de făină, 300 de mililitri de lapte, 100 de grame de unt, 3 ouă - randamentul de clătite este de 400 de grame.

Câte ingrediente trebuie să luați pentru a coace doar 100 de grame de clătite?

Cât de ușor este de observat

400/100 este raportul dintre rețeta tipică și randamentul pe care îl dorim.

Vom lua în considerare exemple mai detaliat în secțiunea corespunzătoare.

Exemple

Un prieten a împărtășit o rețetă minunată

Aluat: 200 de grame de mac, 8 oua, 200 de zahar pudra, 50 de grame de rulouri ras, 200 de grame de nuci macinate, 3 cani de miere.
Macul se fierbe timp de 30 de minute la foc mic, se pisează cu un pistil, se adaugă miere topită, biscuiți măcinați, nuci.
Bateți ouăle cu zahăr pudră, adăugați la masă.
Se amestecă ușor aluatul, se toarnă într-o formă, se coace.
Tăiați prăjitura răcită în 2 straturi, acoperiți cu gem acru, apoi cu smântână.
Se ornează cu gem de fructe de pădure.
Smântână: 1 cană smântână, 1/2 cană zahăr, bate.

bază cercetarea matematică este capacitatea de a dobândi cunoștințe despre anumite mărimi prin compararea lor cu alte mărimi care sunt fie egal, sau Mai mult sau Mai puțin decât cele care fac obiectul studiului. Acest lucru se face de obicei cu o serie ecuațiiși proporții. Când folosim ecuații, determinăm cantitatea pe care o căutăm găsind-o egalitate cu o altă cantitate sau cantități deja cunoscute.

Cu toate acestea, se întâmplă adesea să comparăm o cantitate necunoscută cu altele care nu este egal ea, dar mai mult sau mai puțin din ea. Aici avem nevoie de o abordare diferită a procesării datelor. Poate că trebuie să știm, de exemplu, cât costă o valoare este mai mare decât cealaltă, sau De câte ori unul îl conține pe celălalt. Pentru a găsi răspunsuri la aceste întrebări, vom afla ce este raport doua marimi. Se numește un singur raport aritmetic, si altul geometric. Deși este de remarcat faptul că ambii acești termeni nu au fost adoptați întâmplător sau doar de dragul distincției. Atât relațiile aritmetice, cât și cele geometrice se aplică atât aritmeticii, cât și geometriei.

Fiind o componentă a unui subiect vast și important, proporția depinde de rapoarte, așa că este necesară o înțelegere clară și completă a acestor concepte.

338. Raportul aritmetic aceasta diferențăîntre două mărimi sau o serie de mărimi. Cantitățile în sine sunt numite membrii rapoarte, adică termeni între care există un raport. Astfel, 2 este raportul aritmetic de 5 și 3. Acesta se exprimă prin plasarea unui semn minus între cele două valori, adică 5 - 3. Desigur, termenul de raport aritmetic și detalierea lui este practic inutil, deoarece numai cuvântul este înlocuit. diferență la semnul minus din expresie.

339. Dacă ambii membri ai unei relaţii aritmetice multiplica sau divide cu aceeași sumă, atunci raport, va fi în cele din urmă înmulțit sau împărțit cu acea sumă.
Astfel, dacă avem a - b = r
Apoi înmulțiți ambele părți cu h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
Și împărțind la h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Dacă termenii unui raport aritmetic se adună sau se scad din termenii corespunzători altuia, atunci raportul sumei sau diferenței va fi egal cu suma sau diferența celor două rapoarte.
Dacă a - b
Și d-h
sunt două rapoarte,
Atunci (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Care în fiecare caz = a + d - b - h.
Și (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Care în fiecare caz = a - d - b + h.
Deci raportul aritmetic de 11 - 4 este 7
Și raportul aritmetic 5 - 2 este 3
Raportul sumei termenilor 16 - 6 este 10, - suma rapoartelor.
Raportul dintre diferența dintre membrii 6 - 2 este 4, - diferența rapoartelor.

341. raport geometric este relația dintre cantități, care se exprimă PRIVAT dacă o valoare este împărțită la alta.
Deci raportul de la 8 la 4 poate fi scris ca 8/4 sau 2. Adică, câtul lui 8 împărțit la 4. Cu alte cuvinte, arată de câte ori 4 este conținut în 8.

În același mod, raportul oricărei mărimi la alta poate fi determinat prin împărțirea primei la a doua, sau, ceea ce este practic același lucru, făcând din prima numărător al fracției și din a doua numitor.
Deci raportul dintre a și b este $\frac(a)(b)$
Raportul dintre d + h și b + c este $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Raportul geometric se scrie și prin plasarea a două puncte unul deasupra celuilalt între valorile comparate.
Astfel, a:b este raportul dintre a și b, iar 12:4 este raportul dintre 12 și 4. Cele două mărimi formează împreună cuplu, în care se numește primul termen antecedente, iar ultimul este consecință.

343. Această notație punctată și cealaltă, sub formă de fracție, sunt interschimbabile după caz, antecedentul devenind numărătorul fracției, iar consecvent numitorul.
Deci 10:5 este același cu $\frac(10)(5)$ și b:d este același cu $\frac(b)(d)$.

344. Dacă oricare dintre aceste trei semnificații: antecedent, consecvent și relație i se dă vreunul Două, apoi al treilea poate fi găsit.

Fie a= antecedent, c= consecință, r= relație.
Prin definiție, $r=\frac(a)(c)$, adică raportul este egal cu antecedentul împărțit la consecvent.
Înmulțind cu c, a = cr, adică antecedentul este egal cu multiplicarea raportului.
Împărțiți la r, $c=\frac(a)(r)$, adică rezultatul este egal cu antecedentul împărțit la raport.

Resp. 1. Dacă două perechi au antecedente și consecințe egale, atunci și rapoartele lor sunt egale.

Resp. 2. Dacă rapoartele și antecedentele a două perechi sunt egale, atunci consecințele sunt egale, iar dacă rapoartele și consecințele sunt egale, atunci antecedentele sunt egale.

345. Dacă două cantităţi comparate egal, atunci raportul lor este egal cu unitatea sau egalitatea. Raportul 3 * 6:18 este egal cu unu, deoarece câtul oricărei valori împărțite la sine este egal cu 1.

Dacă antecedentul perechii Mai mult, decât rezultatul, atunci raportul este mai mare decât unu. Deoarece dividendul este mai mare decât divizorul, coeficientul este mai mare decât unu. Deci raportul de 18:6 este 3. Acesta se numește raport inegalitate mai mare.

Pe de altă parte, dacă antecedentul Mai puțin decât rezultatul, atunci raportul este mai mic decât unu, iar acesta se numește raport mai puțină inegalitate. Deci raportul 2:3 este mai mic decât unu, deoarece dividendul este mai mic decât divizorul.

346. Verso raportul este raportul a două reciproce.
Deci raportul inversului de la 6 la 3 este la, adică:.
Relația directă a lui a la b este $\frac(a)(b)$, adică antecedentul împărțit la consecvent.
Relația inversă este $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ sau $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
adică secvența b împărțită la antecedentul a.

Prin urmare, se exprimă relația inversă prin inversarea unei fracții, care afișează o relație directă sau, când notarea se face folosind puncte, inversând ordinea membrilor de scriere.
Astfel a este legat de b în sens invers în care b este legat de a.

347. Raport complex acest raport lucrări termeni corespunzători cu două sau mai multe relaţii simple.
Deci raportul este 6:3, egal cu 2
Și raport 12:4 este egal cu 3
Raportul format din ele este 72:12 = 6.

Aici se obține o relație complexă prin înmulțirea a două antecedente și, de asemenea, a două consecințe ale relațiilor simple.
Deci raportul este compus
Din raportul a:b
Și rapoarte c:d
și raportul h:y
Acesta este raportul $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
O relație complexă nu diferă în ea natură din orice alt raport. Acest termen este folosit pentru a arăta originea unei relații în anumite cazuri.

Resp. Un raport complex este egal cu produsul rapoartelor simple.
Raportul a:b este egal cu $\frac(a)(b)$
Raportul c:d este egal cu $\frac(c)(d)$
Raportul h:y este egal cu $\frac(h)(y)$
Iar raportul adăugat dintre aceste trei va fi ach/bdy, care este produsul fracțiilor care exprimă rapoarte simple.

348. Dacă în succesiunea relațiilor din fiecare pereche anterioară consecința este antecedentul în următoarea, atunci raportul dintre primul antecedent şi ultimul rezultat este egal cu cel obţinut din rapoartele intermediare.
Deci într-un număr de rapoarte
a:b
b:c
CD
d:h
raportul a:h este egal cu raportul însumat din rapoartele a:b și b:c și c:d și d:h. Deci relația complexă din ultimul articol este $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ sau a:h.

În același mod, toate cantitățile care sunt atât antecedente, cât și consecințe dispărea, când produsul fracțiilor se va simplifica la termenii săi inferiori și în rest relația complexă va fi exprimată prin primul antecedent și ultimul consecvent.

349. O clasă specială de relaţii complexe se obţine prin înmulţirea unei relaţii simple cu se sau la altul egal raport. Aceste rapoarte se numesc dubla, triplu, cvadruplu, și așa mai departe, după numărul de înmulțiri.

Raport alcătuit din Două proporții egale, adică pătrat dubla raport.

Alcătuit din Trei, acesta este, cub se numește raport simplu triplu, etc.

În mod similar, raportul rădăcini pătrate două mărimi se numește raport rădăcină pătrată, și raportul rădăcini cubice- raport rădăcină cubă, etc.
Deci raportul simplu dintre a și b este a:b
Raportul dublu dintre a și b este a 2:b 2
Raportul triplu dintre a și b este a 3:b 3
Raportul dintre rădăcina pătrată a lui a la b este √a :√b
Raportul rădăcinii cubice a lui a la b este 3 √a : 3 √b și așa mai departe.
Termeni dubla, triplu, și așa mai departe nu trebuie amestecate cu dublat, triplat, etc.
Raportul de la 6 la 2 este 6:2 = 3
Dacă dublăm acest raport, adică raportul de două ori, obținem 12:2 = 6
Triplăm acest raport, adică acest raport de trei ori, obținem 18: 2 = 9
A dubla raport, adică pătrat raportul este 6 2:2 2 = 9
ȘI triplu raportul, adică cubul raportului, este 6 3:2 3 = 27

350. Pentru ca cantitățile să fie corelate între ele, acestea trebuie să fie de același fel, astfel încât să se poată afirma cu certitudine dacă sunt egale între ele, sau dacă una dintre ele este mai mare sau mai mică. Un picior este la un inch ca 12 la 1: este de 12 ori mai mare decât un inch. Dar nu se poate spune, de exemplu, că o oră este mai lungă sau mai scurtă decât un băț, sau un acru este mai mare sau mai mic decât un grad. Cu toate acestea, dacă aceste valori sunt exprimate în numerele, atunci poate exista o relație între aceste numere. Adică, poate exista o relație între numărul de minute dintr-o oră și numărul de pași dintr-o milă.

351. Întorcându-se spre natură raporturile, următorul pas de care trebuie să luăm în considerare este modul în care schimbarea în unul sau doi termeni care sunt comparați unul cu celălalt va afecta raportul în sine. Amintiți-vă că un raport direct este exprimat ca o fracție, unde antecedet cuplurile sunt mereu numărător, A consecvent - numitor. Atunci va fi ușor de obținut din proprietatea fracțiilor că modificările raportului apar prin variarea cantităților comparate. Raportul dintre cele două cantități este același ca sens fracții, fiecare dintre acestea reprezentând privat: numărătorul împărțit la numitor. (Art. 341.) Acum s-a arătat că înmulțirea numărătorului unei fracții cu orice valoare este aceeași cu înmulțirea sens cu aceeași sumă și că împărțirea numărătorului este aceeași cu împărțirea valorilor unei fracții. Asa de,

352. A înmulți antecedentul unei perechi cu orice valoare înseamnă a înmulți rapoartele cu această valoare, iar a împărți antecedentul înseamnă a împărți acest raport.
Deci raportul 6:2 este 3
Iar raportul de 24:2 este 12.
Aici antecedentul și raportul din ultima pereche sunt de 4 ori mai mari decât în prima.
Relația a:b este egală cu $\frac(a)(b)$
Și relația na:b este egală cu $\frac(na)(b)$.

Resp. Cu o consecință cunoscută, cu atât mai mult antecedente, cu atât mai mult raport, și invers, cu cât raportul este mai mare, cu atât antecedentul este mai mare.

353. Înmulțind rezultatul unei perechi cu orice valoare, ca rezultat, obținem împărțirea raportului cu această valoare, iar împărțind rezultatul, înmulțim raportul.Înmulțind numitorul unei fracții, împărțim valoarea, iar prin împărțirea numitorului se înmulțește valoarea.
Deci raportul de 12:2 este 6
Iar raportul de 12:4 este 3.
Iată consecința celei de-a doua perechi în de două ori mai mult, dar raportul de două ori mai putin decat primul.
Raportul a:b este $\frac(a)(b)$
Iar raportul a:nb este egal cu $\frac(a)(nb)$.

Resp. Pentru un antecedent dat, cu cât rezultatul este mai mare, cu atât raportul este mai mic. Dimpotrivă, cu cât raportul este mai mare, cu atât este mai mic rezultatul.

354. Din ultimele două articole rezultă că antecedent de multiplicare perechile după orice valoare vor avea același efect asupra raportului ca împărțirea consecințelor cu această sumă, și diviziunea antecedentelor, va avea același efect ca inmultirea consecutiva.
Deci raportul 8:4 este 2
Înmulțind antecedentul cu 2, raportul 16:4 este 4
Împărțind antecedentul la 2, raportul 8:2 este 4.

Resp. Orice factor sau separator poate fi transferat de la antecedentul unei perechi la consecvent, sau de la consecvent la antecedent, fără a modifica relația.

Este demn de remarcat faptul că atunci când un factor este astfel transferat de la un termen la altul, atunci el devine un divizor, iar divizorul transferat devine un factor.
Deci raportul este 3,6:9 = 2
Schimbarea factorului 3, $6:\frac(9)(3)=2$
acelasi raport.

Relația $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Mutarea y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Mișcând m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. După cum rezultă din articole. 352 și 353, dacă antecedentul și consecința sunt ambele înmulțite sau împărțite cu aceeași sumă, atunci raportul nu se modifică.

Resp. 1. Raportul de doi fractii, care au un numitor comun, la fel ca raportul lor numărători.
Astfel, raportul a/n:b/n este același cu a:b.

Resp. 2. direct raportul a două fracții care au un numărător comun este egal cu raportul lor reciproc numitori.

356. Este ușor de determinat raportul dintre oricare două fracții din articol. Dacă fiecare termen este înmulțit cu doi numitori, atunci raportul va fi dat prin expresii integrale. Astfel, înmulțind termenii perechii a/b:c/d cu bd, obținem $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, care devine ad:bc, prin reducerea valorile totale de la numărători și numitori.

356 b. Raport inegalitate mai mare crește a lui
Fie ca raportul de inegalitate mai mare să fie dat ca 1+n:1
Și orice raport a:b
Un raport complex va fi (Art. 347,) a + na:b
Ce este mai mare decât raportul a:b (Art. 351 resp.)
Dar raportul mai puțină inegalitate, adăugat cu un alt raport, reduce a lui.
Fie raportul diferenței mai mici 1-n:1
Orice raport dat a:b
Raport complex a - na:b
Ce este mai puțin decât a:b.

357. Dacă către sau de la membrii oricărei perechiadăuga sau scădeți alte două mărimi care sunt în același raport, atunci sumele sau resturile vor avea același raport.
Fie raportul a:b
Va fi la fel ca c:d
Apoi relația sume antecedente la suma consecințelor, și anume, de la a + c la b + d, este de asemenea aceeași.
Adică $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dovada.

1. Prin presupunere, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Înmulțiți cu b și cu d, ad = bc
3. Adăugați cd pe ambele părți, ad + cd = bc + cd
4. Împărțiți cu d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Împărțiți la b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Raport diferență antecedentele diferenței de consecințe sunt și ele aceleași.

358. Dacă rapoartele din mai multe perechi sunt egale, atunci suma tuturor antecedentelor este la suma tuturor consecințelor așa cum orice antecedent este la rezultatul său.
Astfel raportul
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Astfel, raportul (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Raport inegalitate mai marescade, adăugând aceeasi cantitate ambilor membri.
Fie o relație dată a+b:a sau $\frac(a+b)(a)$
Adăugând x la ambii termeni, obținem a+b+x:a+x sau $\frac(a+b)(a)$.

Primul devine $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
Și ultimul este $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Deoarece ultimul numărător este evident mai mic decât celălalt, atunci raport ar trebui să fie mai puțin. (Art. 351 resp.)

Dar raportul mai puțină inegalitate crește, adăugând aceeași valoare ambilor termeni.
Fie relația dată (a-b):a sau $\frac(a-b)(a)$.
Adăugând x la ambii termeni, acesta devine (a-b+x):(a+x) sau $\frac(a-b+x)(a+x)$
Aducându-le la un numitor comun,
Primul devine $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
Și ultimul, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Deoarece ultimul numărător este mai mare decât celălalt, atunci raport Mai Mult.
Dacă în loc să adauge aceeași valoare la pachet din doi termeni, este evident că efectul asupra raportului va fi invers.

Exemple.

1. Care este mai mare: raportul 11:9 sau raportul 44:35?

2. Care este mai mare: raportul $(a+3):\frac(a)(6)$ sau raportul $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Dacă antecedentul unei perechi este 65 și raportul este 13, care este consecința?

4. Dacă consecința unei perechi este 7 și raportul este 18, care este antecedentul?

5. Cum arată un raport complex format din 8:7 și 2a:5b și, de asemenea, (7x+1):(3y-2)?

6. Cum arată un raport complex compus din (x + y): b și (x-y): (a + b), și de asemenea (a + b): h? Reprezentant. (x 2 - y 2):bh.

7. Dacă relațiile (5x+7):(2x-3) și $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ formează o relație complexă, atunci ce relație veți obține: mai mult sau mai puțină inegalitate? Reprezentant. Raportul inegalității mai mari.

8. Care este raportul alcătuit din (x + y):a și (x - y):b și $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Reprezentant. Raportul de egalitate.

9. Care este raportul de 7:5 și dublul 4:9 și triplul 3:2?
Reprezentant. 14:15.

10. Care este raportul alcătuit din 3:7 și tripla raportul x:y și extragerea rădăcinii din raportul de 49:9?
Reprezentant. x3:y3.

Un raport (în matematică) este o relație între două sau mai multe numere de același fel. Rapoartele compară valori absolute sau părți ale unui întreg. Ratele sunt calculate și scrise în moduri diferite, dar principiile de bază sunt aceleași pentru toate rapoartele.

Pași

Partea 1

Definiţia ratios

Folosind rapoarte. Rapoartele sunt folosite atât în știință, cât și în viața de zi cu zi pentru a compara cantitățile. Cele mai simple rapoarte raportează doar două numere, dar există rapoarte care compară trei sau mai multe valori. În orice situație în care este prezentă mai mult de o cantitate, se poate scrie un raport. Prin legarea unor valori, rapoartele pot sugera, de exemplu, cum să crească cantitatea de ingrediente dintr-o rețetă sau substanțe într-o reacție chimică.

Definiţia ratios. O relație este o relație între două (sau mai multe) valori de același fel. De exemplu, dacă o prăjitură necesită 2 căni de făină și 1 ceașcă de zahăr, atunci raportul dintre făină și zahăr este de 2 la 1.
- Raporturile pot fi folosite și atunci când două cantități nu sunt legate între ele (ca în exemplul de tort). De exemplu, dacă în clasă sunt 5 fete și 10 băieți, atunci raportul dintre fete și băieți este de 5 la 10. Aceste cantități (numărul de băieți și numărul de fete) nu depind una de alta, adică valorile lor se vor schimba dacă cineva părăsește clasa sau va veni un nou elev la clasă. Ratele compară pur și simplu valorile cantităților.
Observați diferitele moduri în care sunt reprezentate rapoartele. Relațiile pot fi reprezentate în cuvinte sau cu simboluri matematice.
- Foarte des rapoartele sunt exprimate în cuvinte (așa cum se arată mai sus). În special această formă de reprezentare a rapoartelor este folosită în viața de zi cu zi, departe de știință.
- De asemenea, rapoartele pot fi exprimate prin două puncte. Când comparați două numere într-un raport, veți folosi un singur două puncte (de exemplu, 7:13); atunci când comparați trei sau mai multe valori, puneți două puncte între fiecare pereche de numere (de exemplu, 10:2:23). În exemplul nostru de clasă, puteți exprima raportul dintre fete și băieți astfel: 5 fete: 10 băieți. Sau cam așa: 5:10.
- Mai rar, rapoartele sunt exprimate folosind o bară oblică. În exemplul clasei, ar putea fi scris astfel: 5/10. Cu toate acestea, aceasta nu este o fracție și un astfel de raport nu este citit ca o fracție; mai mult, amintiți-vă că într-un raport, numerele nu fac parte dintr-un singur întreg.
Partea 2
Utilizarea rapoartelor
1. Simplificați raportul. Raportul poate fi simplificat (similar cu fracțiile) împărțind fiecare termen (număr) al raportului la . Cu toate acestea, nu pierdeți din vedere valorile inițiale ale raportului.
  - În exemplul nostru, în clasă sunt 5 fete și 10 băieți; raportul este de 5:10. Cel mai mare divizor comun al termenilor raportului este 5 (deoarece ambele 5 și 10 sunt divizibile cu 5). Împărțiți fiecare număr de raport la 5 pentru a obține un raport de 1 fată la 2 băieți (sau 1:2). Cu toate acestea, atunci când simplificați raportul, țineți cont de valorile originale. În exemplul nostru, în clasă nu sunt 3 elevi, ci 15. Raportul simplificat compară numărul de băieți și numărul de fete. Adică pentru fiecare fată sunt 2 băieți, dar nu sunt 2 băieți și 1 fată în clasă.
  - Unele relații nu sunt simplificate. De exemplu, raportul 3:56 nu este simplificat deoarece aceste numere nu au divizori comuni (3 este un număr prim, iar 56 nu este divizibil cu 3).
2. Utilizați înmulțirea sau împărțirea pentru a crește sau a micșora raportul. O problemă comună este creșterea sau scăderea a două valori care sunt proporționale între ele. Dacă vi se oferă un raport și trebuie să găsiți un raport mai mare sau mai mic care să se potrivească cu acesta, înmulțiți sau împărțiți raportul inițial cu un anumit număr.
  - De exemplu, un brutar trebuie să tripleze cantitatea de ingrediente dată într-o rețetă. Dacă rețeta spune că raportul dintre făină și zahăr este de 2:1 (2:1), atunci brutarul va înmulți fiecare termen cu 3 pentru a obține un raport de 6:3 (6 căni de făină la 3 căni de zahăr).
  - Pe de altă parte, dacă brutarul trebuie să reducă la jumătate cantitatea de ingrediente din rețetă, atunci brutarul va împărți fiecare termen de raport cu 2 și va obține un raport de 1:½ (1 cană făină la 1/2 cană zahăr).
3. Căutați o valoare necunoscută atunci când sunt date două rapoarte echivalente. Aceasta este o problemă în care trebuie să găsiți o variabilă necunoscută într-o relație folosind o a doua relație care este echivalentă cu prima. Pentru a rezolva astfel de probleme, utilizați . Scrieți fiecare raport ca o fracție, puneți un semn egal între ele și înmulțiți-le termenii încrucișat.
  - De exemplu, dat un grup de elevi, în care sunt 2 băieți și 5 fete. Care va fi numărul de băieți dacă numărul fetelor va crește la 20 (proporția se păstrează)? În primul rând, notează două rapoarte - 2 băieți:5 fete și X băieți: 20 fete. Acum scrieți aceste rapoarte sub formă de fracții: 2/5 și x/20. Înmulțiți în cruce termenii fracțiilor și obțineți 5x = 40; prin urmare x = 40/5 = 8.
Partea 3
Greșeli comune
1. Evitați adunarea și scăderea în problemele cu raportul de text. Multe probleme cu cuvintele arată cam așa: „Rețeta necesită 4 tuberculi de cartofi și 5 morcovi rădăcină. Dacă vrei să adaugi 8 cartofi, de câți morcovi ai nevoie pentru a menține același raport?” Când rezolvă astfel de probleme, elevii fac adesea greșeala de a adăuga aceeași cantitate de ingrediente la numărul inițial. Cu toate acestea, pentru a păstra raportul, trebuie să utilizați înmulțirea. Iată exemple de soluții corecte și greșite:
  - Incorect: „8 - 4 = 4 - așa că am adăugat 4 tuberculi de cartofi. Deci, trebuie să luați 5 rădăcini de morcov și să adăugați încă 4 la ele... Oprește-te! Raporturile nu funcționează așa. Merită încercat din nou.”
  - Corect: „8 ÷ 4 = 2 - așa că am înmulțit numărul de cartofi cu 2. În consecință, 5 rădăcini de morcov trebuie, de asemenea, înmulțite cu 2. 5 x 2 = 10 - 10 rădăcini de morcov trebuie adăugate la rețetă.”

Pentru a rezolva majoritatea problemelor din matematica de liceu, sunt necesare cunoștințe de proporție. Această abilitate simplă vă va ajuta nu numai să efectuați exerciții complexe din manual, ci și să vă adânciți în însăși esența științei matematice. Cum se face o proporție? Acum să ne dăm seama.

Cel mai simplu exemplu este o problemă în care se cunosc trei parametri, iar al patrulea trebuie găsit. Proporțiile sunt, desigur, diferite, dar adesea trebuie să găsiți un număr în procente. De exemplu, băiatul avea zece mere în total. I-a dat a patra parte mamei sale. Câte mere i-au rămas băiatului? Acesta este cel mai simplu exemplu care vă va permite să faceți o proporție. Principalul lucru este să o faci. Inițial erau zece mere. Să fie 100%. Asta i-am marcat toate merele. A dat un sfert. 1/4=25/100. Deci, a plecat: 100% (a fost inițial) - 25% (a dat) = 75%. Această cifră arată procentul cantității de fructe rămase față de cantitatea de fructe care a fost disponibilă mai întâi. Acum avem trei numere prin care putem rezolva deja proporția. 10 mere - 100%, X mere - 75%, unde x este cantitatea dorită de fructe. Cum se face o proporție? Este necesar să înțelegem ce este. Matematic arată așa. Semnul egal este pentru înțelegerea ta.

10 mere = 100%;

x mere = 75%.

Se pare că 10/x = 100%/75. Aceasta este principala proprietate a proporțiilor. La urma urmei, cu cât este mai mult x, cu atât acest număr este mai mare față de original. Rezolvăm această proporție și obținem că x=7,5 mere. De ce băiatul a decis să dea o sumă care nu este întreagă, nu știm. Acum știi cum să faci o proporție. Principalul lucru este să găsiți două rapoarte, dintre care unul conține necunoscutul dorit.

Rezolvarea unei proporții se reduce adesea la o simplă înmulțire și apoi împărțire. Copiii nu sunt învățați în școli de ce este așa. Deși este important să înțelegem că relațiile proporționale sunt clasice matematice, însăși esența științei. Pentru a rezolva proporțiile, trebuie să fii capabil să gestionezi fracțiile. De exemplu, este adesea necesar să convertiți procentele în fracții obișnuite. Adică, un record de 95% nu va funcționa. Și dacă scrieți imediat 95/100, atunci puteți face reduceri solide fără a începe numărătoarea principală. Merită să spuneți imediat că, dacă proporția dvs. s-a dovedit cu două necunoscute, atunci nu poate fi rezolvată. Nici un profesor nu te poate ajuta aici. Și sarcina ta, cel mai probabil, are un algoritm mai complex pentru acțiuni corecte.

Luați în considerare un alt exemplu în care nu există procente. Șoferul a cumpărat 5 litri de benzină pentru 150 de ruble. S-a gândit cât va plăti pentru 30 de litri de combustibil. Pentru a rezolva această problemă, notăm cu x suma necesară de bani. Puteți rezolva singur această problemă și apoi verificați răspunsul. Dacă încă nu v-ați dat seama cum să faceți o proporție, atunci uitați-vă. 5 litri de benzină înseamnă 150 de ruble. Ca și în primul exemplu, să scriem 5l - 150r. Acum să găsim al treilea număr. Desigur, sunt 30 de litri. De acord că o pereche de 30 l - x ruble este potrivită în această situație. Să trecem la limbajul matematic.

5 litri - 150 de ruble;

30 de litri - x ruble;

Rezolvam aceasta proportie:

x = 900 de ruble.

Asta am decis noi. În sarcina dvs., nu uitați să verificați caracterul adecvat al răspunsului. Se întâmplă ca, cu o decizie greșită, mașinile să atingă viteze nerealiste de 5000 de kilometri pe oră și așa mai departe. Acum știi cum să faci o proporție. De asemenea, o poți rezolva. După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în asta.