Când se pregătesc pentru examenul de stat unificat la matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, despre cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la marginile de bază și laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația cu fețele laterale este clară, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.
Cum să găsiți aria bazei piramidei?
Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o figură obișnuită sau una neregulată. În sarcinile Unified State Exam care îi interesează pe școlari, există doar sarcini cu cifre corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.
Triunghi regulat
Adică echilateral. Acela în care toate părțile sunt egale și sunt desemnate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Pătrat
Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:
N-gon regulat arbitrar
Latura unui poligon are aceeași notație. Pentru numărul de unghiuri se folosește litera latină n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Ce să faci când calculezi suprafața laterală și totală?
Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. Mai mult, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, veți avea nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.
Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:
S = ½ P*A, unde P este perimetrul bazei piramidei.
Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi, trebuie să utilizați următoarea formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:
S = n/2 * în 2 sin α .
Sarcina nr. 1
Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza ei are o latură de 4 cm și apotema are o valoare de √3 cm.
Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P = 3*4 = 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, putem calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Pentru triunghiul de la bază, obțineți următoarea valoare a ariei: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Răspuns. 10√3 cm 2.
Problema nr. 2
Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii de bază este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Este necesar să-i aflați suprafața.
Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, baza lui este un pătrat. Odată ce cunoașteți aria fețelor de bază și laterale, veți putea calcula aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și pentru fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.
Primele calcule sunt simple și duc la următorul număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.
Rezultă: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.
Problema nr. 3
Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. Se știe că latura pătratului este de 6 cm, iar înălțimea este de 4 cm.
Soluţie. Cel mai simplu mod este să utilizați formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este un pic mai complicat.
Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm Este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.
Apotema necesară (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este egală cu √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Acum puteți calcula valoarea necesară: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Răspuns. 96 cm2.
Problema nr. 4
Condiție. Este dată partea corectă. Laturile bazei sale sunt de 22 mm, marginile laterale sunt de 61 mm. Care este suprafața laterală a acestui poliedru?
Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în sarcina nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.
În primul rând, aria de bază este calculată folosind formula de mai sus: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este fața laterală. (22+61*2):2 = 72 cm. Tot ce rămâne este să folosiți formula lui Heron pentru a calcula aria fiecărui astfel de triunghi, apoi să o înmulțiți cu șase și să o adăugați la cea obținută pentru bază.
Calcule folosind formula lui Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcule care vor da aria suprafeței laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.
Răspuns. Baza este de 726√3 cm2, suprafața laterală este de 3960 cm2, întreaga suprafață este de 5217 cm2.
Definiția piramidei
Piramidă este un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele sale sunt triunghiuri.
Calculator online
Merită să ne oprim asupra definiției unor componente ale piramidei.
Ea, ca și alte poliedre, are coaste. Ele converg către un punct numit top piramide. Se poate baza pe un poligon arbitrar. Margine este o figură geometrică formată din una dintre laturile bazei și două margini cele mai apropiate. În cazul nostru este un triunghi. Înălţime piramida este distanța de la planul în care se află baza sa până la vârful poliedrului. Pentru o piramidă obișnuită, există și un concept apoteme- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârful piramidei până la baza acesteia.
Tipuri de piramide
Există 3 tipuri de piramide:
- Dreptunghiular- una în care orice muchie formează un unghi drept cu baza.
- Corect- baza sa este o figură geometrică regulată, iar vârful poligonului însuși este o proiecție a centrului bazei.
- Tetraedru- o piramidă formată din triunghiuri. Mai mult, fiecare dintre ele poate fi luată ca bază.
Formula pentru suprafața unei piramide
Pentru a găsi suprafața totală a piramidei, trebuie să adăugați aria suprafeței laterale și aria bazei.
Cel mai simplu caz este cazul unei piramide obișnuite, așa că ne vom ocupa de el. Să calculăm suprafața totală a unei astfel de piramide. Suprafața laterală este:
Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS latură = 2 1 ⋅ l ⋅p
Ll l- apotema piramidei;
p p p- perimetrul bazei piramidei.
Suprafața totală a piramidei:
S = partea S + S principal S=S_(\text(side))+S_(\text(main))S=S latură + S de bază
S side S_(\text(side)) S latură
- zona suprafeței laterale a piramidei;
S principal S_(\text(de bază)) S de bază
- zona bazei piramidei.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme.
ExempluAflați aria totală a unei piramide triunghiulare dacă apotema ei este de 8 (cm), iar la bază există un triunghi echilateral cu latura 3 (cm)
Soluţie
L = 8 l=8 l =8
a = 3 a=3 a =3
Să găsim perimetrul bazei. Deoarece baza este un triunghi echilateral cu latura a a A, apoi perimetrul său p p p(suma tuturor laturilor sale):
P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =un +un +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9
Atunci aria laterală a piramidei este:
Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S latură = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (vezi mp)
Acum să găsim aria bazei piramidei, adică aria triunghiului. În cazul nostru, triunghiul este echilateral și aria lui poate fi calculată folosind formula:
S principal = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S de bază = 4 3 ⋅ A 2
A a A- latura triunghiului.
Primim:
S principal = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\aprox3.9S de bază = 4 3 ⋅ A 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (vezi mp)
Suprafata totala:
S = partea S + S principal ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3.9=39.9S=S latură + S de bază ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (vezi mp)
Răspuns: 39,9 cm patrati
Un alt exemplu, un pic mai complicat.
ExempluBaza piramidei este un pătrat cu o suprafață de 36 (cm2). Apotema unui poliedru este de 3 ori latura bazei a a A. Găsiți suprafața totală a acestei figuri.
Soluţie
S quad = 36 S_(\text(quad))=36S quad
=
3
6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3
⋅
A
Să găsim latura bazei, adică latura pătratului. Suprafața și lungimea laterală sunt legate:
S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad
=
A 2
36 = a 2 36=a^2 3
6
=
A 2
a = 6 a=6 a =6
Să găsim perimetrul bazei piramidei (adică perimetrul pătratului):
P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =un +un +un +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4
Să aflăm lungimea apotemului:
L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8
În cazul nostru:
S quad = S principal S_(\text(quad))=S_(\text(basic))S quad = S de bază
Tot ce rămâne este să găsiți zona suprafeței laterale. Conform formulei:
Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S latură = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (vezi mp)
Suprafata totala:
S = partea S + S principal = 216 + 36 = 252 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))=216+36=252
Răspuns: 252 cm patrati.
Suprafața piramidei. În acest articol ne vom uita la problemele cu piramidele obișnuite. Permiteți-mi să vă reamintesc că o piramidă obișnuită este o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, vârful piramidei este proiectat în centrul acestui poligon.
Fața laterală a unei astfel de piramide este un triunghi isoscel.Altitudinea acestui triunghi extras de la vârful unei piramide regulate se numește apotema, SF - apotema:
În tipul de problemă prezentat mai jos, trebuie să găsiți suprafața întregii piramide sau zona suprafeței sale laterale. Blogul a discutat deja mai multe probleme cu piramidele obișnuite, unde întrebarea era despre găsirea elementelor (înălțimea, marginea bazei, marginea laterală).
Sarcinile de examinare de stat unificate examinează, de obicei, piramidele triunghiulare, patrulatere și hexagonale regulate. Nu am văzut probleme cu piramidele pentagonale și heptagonale obișnuite.
Formula pentru suprafața întregii suprafețe este simplă - trebuie să găsiți suma ariei bazei piramidei și a suprafeței sale laterale:
Să luăm în considerare sarcinile:
Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt 72, marginile laterale sunt 164. Aflați aria suprafeței acestei piramide.
Aria suprafeței piramidei este egală cu suma ariilor suprafeței laterale și ale bazei:
*Suprafața laterală este formată din patru triunghiuri de suprafață egală. Baza piramidei este un pătrat.
Putem calcula aria laturii piramidei folosind:
Astfel, aria suprafeței piramidei este:
Răspuns: 28224
Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt egale cu 22, marginile laterale sunt egale cu 61. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.
Baza unei piramide hexagonale regulate este un hexagon regulat.
Suprafața laterală a acestei piramide este formată din șase zone de triunghiuri egale cu laturile 61,61 și 22:
Să găsim aria triunghiului folosind formula lui Heron:
Astfel, aria suprafeței laterale este:
Răspuns: 3240
*În problemele prezentate mai sus, zona feței laterale poate fi găsită folosind o altă formulă de triunghi, dar pentru aceasta trebuie să calculați apotema.
27155. Aflați aria suprafeței unei piramide patruunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt 6 și a cărei înălțime este 4.
Pentru a găsi aria suprafeței piramidei, trebuie să cunoaștem aria bazei și aria suprafeței laterale:
Aria bazei este de 36 deoarece este un pătrat cu latura 6.
Suprafața laterală este formată din patru fețe, care sunt triunghiuri egale. Pentru a găsi aria unui astfel de triunghi, trebuie să-i cunoașteți baza și înălțimea (apotema):
*Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimea trasă la această bază.
Baza este cunoscută, este egală cu șase. Să găsim înălțimea. Luați în considerare un triunghi dreptunghic (evidențiat cu galben):
Un picior este egal cu 4, deoarece aceasta este înălțimea piramidei, celălalt este egal cu 3, deoarece este egal cu jumătate din marginea bazei. Putem găsi ipotenuza folosind teorema lui Pitagora:
Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:
Astfel, suprafața întregii piramide este:
Raspuns: 96
27069. Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt egale cu 10, marginile laterale sunt egale cu 13. Aflați aria suprafeței acestei piramide.
27070. Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt egale cu 10, marginile laterale sunt egale cu 13. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.
Există, de asemenea, formule pentru suprafața laterală a unei piramide obișnuite. Într-o piramidă obișnuită, baza este o proiecție ortogonală a suprafeței laterale, prin urmare:
P- perimetrul de bază, l- apotema piramidei
*Această formulă se bazează pe formula pentru aria unui triunghi.
Dacă doriți să aflați mai multe despre cum sunt derivate aceste formule, nu o ratați, urmați publicarea articolelor.Asta e tot. Multă baftă!
Cu stimă, Alexander Krutitskikh.
P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.
este o figură cu mai multe fațete, a cărei bază este un poligon, iar fețele rămase sunt reprezentate prin triunghiuri cu un vârf comun.
Dacă baza este un pătrat, atunci se numește piramida patruunghiular, dacă un triunghi – atunci triunghiular. Înălțimea piramidei este trasată de la vârful ei perpendicular pe bază. Folosit și pentru a calcula suprafața apotema– înălțimea feței laterale, coborâtă din vârful acesteia.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma suprafețelor fețelor sale laterale, care sunt egale între ele. Cu toate acestea, această metodă de calcul este folosită foarte rar. Practic, aria piramidei este calculată prin perimetrul bazei și apotema:
Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.
Să fie dată o piramidă cu baza ABCDE și vârful F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm.Apotema a = 5 cm.Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Să găsim perimetrul. Deoarece toate marginile bazei sunt egale, perimetrul pentagonului va fi egal cu:
Acum puteți găsi aria laterală a piramidei: 
Aria unei piramide triunghiulare regulate
O piramidă triunghiulară regulată constă dintr-o bază în care se află un triunghi regulat și trei fețe laterale care sunt egale ca suprafață.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide triunghiulare obișnuite poate fi calculată în diferite moduri. Puteți aplica formula obișnuită de calcul folosind perimetrul și apotema sau puteți găsi aria unei fețe și o puteți înmulți cu trei. Deoarece fața unei piramide este un triunghi, aplicăm formula pentru aria unui triunghi. Va necesita o apotema și lungimea bazei. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite.
Având în vedere o piramidă cu apotema a = 4 cm și fața bazei b = 2 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Mai întâi, găsiți zona uneia dintre fețele laterale. In acest caz va fi:
Înlocuiți valorile în formula: 
Deoarece într-o piramidă obișnuită toate laturile sunt aceleași, aria suprafeței laterale a piramidei va fi egală cu suma ariilor celor trei fețe. Respectiv: 
Aria unei piramide trunchiate
Trunchiat O piramidă este un poliedru format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este foarte simplă. Aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema: 
În această lecție:
- Problema 1. Aflați suprafața totală a piramidei
- Problema 2. Aflați aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare regulate
.
Notă . Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. În probleme, în locul simbolului „rădăcină pătrată” se folosește funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicandă este indicată în paranteze. Pentru expresiile radicale simple se poate folosi semnul „√”..
Problema 1. Găsiți suprafața totală a unei piramide obișnuite
Înălțimea bazei unei piramide triunghiulare obișnuite este de 3 cm, iar unghiul dintre fața laterală și baza piramidei este de 45 de grade.Aflați suprafața totală a piramidei
Soluţie.
La baza unei piramide triunghiulare regulate se află un triunghi echilateral.
Prin urmare, pentru a rezolva problema, vom folosi proprietățile unui triunghi obișnuit: 
Cunoaștem înălțimea triunghiului, de unde îi putem găsi aria.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
De unde aria bazei va fi egală cu:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Pentru a găsi aria feței laterale, calculăm înălțimea KM. Conform problemei, unghiul OKM este de 45 de grade.
Prin urmare:
OK / MK = cos 45
Să folosim tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice și să înlocuim valorile cunoscute.
OK / MK = √2/2
Să luăm în considerare că OK este egal cu raza cercului înscris. Apoi
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Apoi
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
Aria feței laterale este apoi egală cu jumătate din produsul înălțimii și bazei triunghiului.
Sside = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Astfel, suprafața totală a piramidei va fi egală cu
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Răspuns: 3√3 + 18/√6
Problema 2. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite
Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, înălțimea este de 10 cm și latura bazei este de 16 cm . Aflați aria suprafeței laterale .Soluţie.
Deoarece baza unei piramide triunghiulare regulate este un triunghi echilateral, AO este raza cercului circumscris bazei.
(Aceasta decurge din)
Din proprietățile sale găsim raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi echilateral
De unde lungimea marginilor unei piramide triunghiulare regulate va fi egală cu:
AM 2 = MO 2 + AO 2
înălțimea piramidei este cunoscută prin condiție (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Fiecare parte a piramidei este un triunghi isoscel. Găsim aria unui triunghi isoscel din prima formulă prezentată mai jos 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)
Deoarece toate cele trei fețe ale unei piramide obișnuite sunt egale, aria suprafeței laterale va fi egală cu
3S = 48 √(91/3)
Răspuns: 48 √(91/3)
Problema 3. Aflați suprafața totală a unei piramide obișnuite
Latura unei piramide triunghiulare obișnuite este de 3 cm, iar unghiul dintre fața laterală și baza piramidei este de 45 de grade. Aflați suprafața totală a piramidei.
Soluţie.
Deoarece piramida este regulată, există un triunghi echilateral la baza ei. Prin urmare, aria bazei este 
Deci = 9 * √3/4
Pentru a găsi aria feței laterale, calculăm înălțimea KM. Conform problemei, unghiul OKM este de 45 de grade.
Prin urmare:
OK / MK = cos 45
Să profităm
Se încarcă...