पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल कितना है? पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का क्षेत्रफल

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय, छात्रों को बीजगणित और ज्यामिति के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करना होगा। मैं सभी ज्ञात जानकारी को संयोजित करना चाहूंगा, उदाहरण के लिए, पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें। इसके अलावा, आधार और पार्श्व किनारों से शुरू करके संपूर्ण सतह क्षेत्र तक। यदि पार्श्व फलकों के साथ स्थिति स्पष्ट है, क्योंकि वे त्रिभुज हैं, तो आधार हमेशा भिन्न होता है।

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

यह बिल्कुल कोई भी आकृति हो सकती है: एक मनमाना त्रिभुज से लेकर एन-गॉन तक। और यह आधार, कोणों की संख्या में अंतर के अलावा, एक नियमित आकृति या एक अनियमित आकृति भी हो सकती है। एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में, जिनमें स्कूली बच्चों की रुचि होती है, केवल आधार पर सही आंकड़ों वाले कार्य होते हैं। इसलिए हम उन्हीं के बारे में बात करेंगे.

नियमित त्रिकोण

अर्थात् समबाहु। वह जिसमें सभी भुजाएँ समान हों और अक्षर "ए" द्वारा निर्दिष्ट हों। इस मामले में, पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = (ए 2 * √3) / 4.

वर्ग

इसके क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सबसे सरल है, यहाँ "ए" फिर से पक्ष है:

मनमाना नियमित एन-गॉन

बहुभुज के किनारे पर समान अंकन होता है। कोणों की संख्या के लिए लैटिन अक्षर n का प्रयोग किया जाता है।

एस = (एन * ए 2) / (4 * टीजी (180º/एन))।

पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना करते समय क्या करें?

चूँकि आधार एक नियमित आकृति है, पिरामिड के सभी फलक समान हैं। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि पार्श्व किनारे बराबर हैं। फिर, पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको समान मोनोमियल के योग से युक्त एक सूत्र की आवश्यकता होगी। पदों की संख्या आधार की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जिसमें आधार के आधे गुणनफल को ऊँचाई से गुणा किया जाता है। पिरामिड में इस ऊँचाई को एपोटेम कहा जाता है। इसका पदनाम "ए" है। पार्श्व सतह क्षेत्र का सामान्य सूत्र है:

एस = ½ पी*ए, जहां पी पिरामिड के आधार की परिधि है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आधार की भुजाएँ ज्ञात नहीं होती हैं, लेकिन पार्श्व किनारे (सी) और इसके शीर्ष पर समतल कोण (α) दिए जाते हैं। फिर आपको पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

S = n/2 * 2 पाप α में .

कार्य क्रमांक 1

स्थिति।पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसके आधार की भुजा 4 सेमी है और एपोथेम का मान √3 सेमी है।

समाधान।आपको आधार की परिधि की गणना करके शुरुआत करने की आवश्यकता है। चूँकि यह एक नियमित त्रिभुज है, तो P = 3*4 = 12 सेमी। चूँकि एपोथेम ज्ञात है, हम तुरंत संपूर्ण पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: ½*12*√3 = 6√3 सेमी 2।

आधार पर त्रिभुज के लिए, आपको निम्नलिखित क्षेत्र मान मिलता है: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 सेमी 2।

संपूर्ण क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, आपको दो परिणामी मान जोड़ने की आवश्यकता होगी: 6√3 + 4√3 = 10√3 सेमी 2।

उत्तर। 10√3 सेमी 2.

समस्या क्रमांक 2

स्थिति. यहाँ एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड है। आधार पक्ष की लंबाई 7 मिमी है, पार्श्व किनारा 16 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान।चूँकि बहुफलक चतुष्कोणीय और नियमित है, इसका आधार एक वर्ग है। एक बार जब आप आधार और पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल जान लेंगे, तो आप पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करने में सक्षम होंगे। वर्ग का सूत्र ऊपर दिया गया है। और पार्श्व फलकों के लिए, त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात हैं। इसलिए, आप उनके क्षेत्रफल की गणना के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल है और निम्नलिखित संख्या तक ले जाती है: 49 मिमी 2। दूसरे मान के लिए, आपको अर्ध-परिधि की गणना करने की आवश्यकता होगी: (7 + 16*2): 2 = 19.5 मिमी। अब आप एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 मिमी 2। ऐसे केवल चार त्रिभुज हैं, इसलिए अंतिम संख्या की गणना करते समय आपको इसे 4 से गुणा करना होगा।

यह निकला: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 मिमी 2।

उत्तर. वांछित मान 267.576 मिमी 2 है।

समस्या क्रमांक 3

स्थिति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आपको क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है। वर्ग की भुजा 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी ज्ञात होती है।

समाधान।सबसे आसान तरीका परिधि और एपोथेम के गुणनफल के साथ सूत्र का उपयोग करना है। पहला मान ढूँढना आसान है. दूसरा थोड़ा अधिक जटिल है.

हमें पाइथागोरस प्रमेय को याद रखना होगा और विचार करना होगा कि यह पिरामिड की ऊंचाई और एपोथेम, जो कि कर्ण है, से बनता है। दूसरा पैर वर्ग की आधी भुजा के बराबर है, क्योंकि बहुफलक की ऊंचाई इसके मध्य में आती है।

आवश्यक एपोटेम (एक समकोण त्रिभुज का कर्ण) √(3 2 + 4 2) = 5 (सेमी) के बराबर है।

अब आप आवश्यक मान की गणना कर सकते हैं: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (सेमी 2)।

उत्तर। 96 सेमी 2.

समस्या क्रमांक 4

स्थिति।सही पक्ष दिया गया है। इसके आधार की भुजाएँ 22 मिमी हैं, पार्श्व किनारे 61 मिमी हैं। इस बहुफलक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

समाधान।इसमें तर्क वही है जो कार्य संख्या 2 में वर्णित है। केवल वहाँ आधार पर एक वर्ग के साथ एक पिरामिड दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

सबसे पहले, आधार क्षेत्र की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 सेमी 2।

अब आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करना होगा, जो पार्श्व फलक है। (22+61*2):2 = 72 सेमी। ऐसे प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरोन के सूत्र का उपयोग करना बाकी है, और फिर इसे छह से गुणा करें और इसे आधार के लिए प्राप्त एक में जोड़ें।

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके गणना: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 सेमी 2. गणना जो पार्श्व सतह क्षेत्र देगी: 660 * 6 = 3960 सेमी 2। पूरी सतह का पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ना बाकी है: 5217.47≈5217 सेमी 2।

उत्तर।आधार 726√3 सेमी2 है, पार्श्व सतह 3960 सेमी2 है, संपूर्ण क्षेत्रफल 5217 सेमी2 है।

भुजाओं की संख्या, भुजाओं की लंबाई और एपोथेम दर्ज करें:

पिरामिड की परिभाषा

पिरामिडएक बहुफलक है, जिसका आधार एक बहुभुज है, और इसके फलक त्रिभुज हैं।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

पिरामिड के कुछ घटकों की परिभाषा पर ध्यान देना उचित है।

वह, अन्य पॉलीहेड्रा की तरह, है पसलियां. वे एक बिंदु पर एकत्रित होते हैं जिसे कहा जाता है शीर्षपिरामिड. यह एक मनमाने बहुभुज पर आधारित हो सकता है। किनाराआधार के एक किनारे और दो निकटतम किनारों से बनी एक ज्यामितीय आकृति है। हमारे मामले में यह एक त्रिकोण है. ऊंचाईपिरामिड उस तल से दूरी है जिसमें इसका आधार बहुफलक के शीर्ष पर स्थित होता है। एक नियमित पिरामिड के लिए भी एक अवधारणा है एपोटेम्स- यह पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक उतरा हुआ एक लंबवत है।

पिरामिड के प्रकार

पिरामिड 3 प्रकार के होते हैं:

1. आयताकार- वह जिसमें कोई भी किनारा आधार के साथ समकोण बनाता है।
2. सही- इसका आधार एक नियमित ज्यामितीय आकृति है, और बहुभुज का शीर्ष स्वयं आधार के केंद्र का प्रक्षेपण है।
3. चतुर्पाश्वीय- त्रिभुजों से बना एक पिरामिड। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक को आधार के रूप में लिया जा सकता है।

पिरामिड के सतह क्षेत्रफल का सूत्र

पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको पार्श्व सतह का क्षेत्रफल और आधार का क्षेत्रफल जोड़ना होगा।

सबसे सरल मामला एक नियमित पिरामिड का मामला है, इसलिए हम इससे निपटेंगे। आइए ऐसे पिरामिड के कुल सतह क्षेत्र की गणना करें। पार्श्व सतह क्षेत्र है:

S पक्ष = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pएस ओर​ = 2 1 ​ ⋅ एल ⋅पी

डालूँगा एल- पिरामिड का एपोटेम;
पी पी पी- पिरामिड के आधार की परिधि.

पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल:

S = S पक्ष + S मुख्य S=S_(\text(side))+S_(\text(main))एस=एस ओर​ + एस बुनियादी​

एस साइड S_(\text(साइड)) एस ओर​ - पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्र;
एस मुख्य एस_(\पाठ(बुनियादी)) एस बुनियादी​ - पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल.

किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण.

उदाहरण

एक त्रिकोणीय पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसका एपोथेम 8 (सेमी) है, और आधार पर भुजा 3 (सेमी) वाला एक समबाहु त्रिभुज है

समाधान

एल = 8 एल=8 एल =8
ए = 3 ए=3 ए =3

आइए आधार का परिमाप ज्ञात करें। चूँकि आधार भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है एक ए ए, फिर इसकी परिधि पी पी पी(इसके सभी पक्षों का योग):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9पी =ए+ए+ए =3 ⋅ ए =3 ⋅ 3 = 9

तब पिरामिड का पार्श्व क्षेत्र है:

S भुजा = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36एस ओर​ = 2 1 ​ ⋅ एल ⋅पी =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (वर्ग देखें)

आइए अब पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल अर्थात त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। हमारे मामले में, त्रिभुज समबाहु है और इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

S मुख्य = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)एस बुनियादी​ = 4 3 ​ ⋅ ए 2 ​

ए ए ए- त्रिभुज की भुजा.

हम पाते हैं:

S मुख्य = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\लगभग3.9एस बुनियादी​ = 4 3 ​ ⋅ ए 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (वर्ग देखें)

कुल क्षेत्रफल:

एस = एस पक्ष + एस मुख्य ≈ 36 + 3.9 = 39.9 एस=एस_(\पाठ(पक्ष))+एस_(\पाठ(मुख्य))\लगभग36+3.9=39.9एस=एस ओर​ + एस बुनियादी​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (वर्ग देखें)

उत्तर: 39.9 सेमी वर्ग.

एक और उदाहरण, थोड़ा अधिक जटिल।

उदाहरण

पिरामिड का आधार एक वर्ग है जिसका क्षेत्रफल 36 (सेमी2) है। एक बहुफलक का एपोथेम आधार की भुजा का 3 गुना होता है एक ए ए. इस आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

S क्वाड = 36 S_(\text(quad))=36एस ट्रैक्टर​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a एल =3 ⋅ ए

आइए आधार की भुजा, अर्थात् वर्ग की भुजा ज्ञात करें। इसका क्षेत्रफल और भुजा की लंबाई संबंधित हैं:

S क्वाड = a 2 S_(\text(quad))=a^2एस ट्रैक्टर​ = ए 2
36 = ए 2 36=ए^2 3 6 = ए 2
ए = 6 ए=6 ए =6

आइए पिरामिड के आधार की परिधि (अर्थात वर्ग की परिधि) ज्ञात करें:

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24पी =ए+ए+ए+ए =4 ⋅ ए =4 ⋅ 6 = 2 4

आइए एपोथेम की लंबाई ज्ञात करें:

एल = 3 ⋅ ए = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18एल =3 ⋅ ए =3 ⋅ 6 = 1 8

हमारे मामले में:

S क्वाड = S मुख्य S_(\text(quad))=S_(\text(basic))एस ट्रैक्टर​ = एस बुनियादी​

जो कुछ बचा है वह पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। सूत्र के अनुसार:

S भुजा = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216एस ओर​ = 2 1 ​ ⋅ एल ⋅पी =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (वर्ग देखें)

कुल क्षेत्रफल:

$एस={एस}^{\text{ओर + एसबुनियादी = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (वर्ग देखें)}}$

उत्तर: 252 सेमी वर्ग.

पिरामिड का सतह क्षेत्र. इस लेख में हम नियमित पिरामिड से जुड़ी समस्याओं पर गौर करेंगे। मैं आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड एक पिरामिड होता है जिसका आधार एक नियमित बहुभुज होता है, पिरामिड का शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

ऐसे पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।एक नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए इस त्रिभुज की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है, एसएफ - एपोथेम:

नीचे प्रस्तुत समस्या के प्रकार में, आपको संपूर्ण पिरामिड का सतह क्षेत्र या उसकी पार्श्व सतह का क्षेत्र ज्ञात करना होगा। ब्लॉग में पहले से ही नियमित पिरामिडों के साथ कई समस्याओं पर चर्चा की गई है, जहां सवाल तत्वों (ऊंचाई, आधार किनारा, पार्श्व किनारा) को खोजने के बारे में था।

एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य आमतौर पर नियमित त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और षट्कोणीय पिरामिडों की जांच करते हैं। मैंने नियमित पंचकोणीय और सप्तकोणीय पिरामिडों के साथ कोई समस्या नहीं देखी है।

संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल का सूत्र सरल है - आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल और उसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का योग ज्ञात करना होगा:

आइए कार्यों पर विचार करें:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 72 हैं, पार्श्व किनारे 164 हैं। इस पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पिरामिड का सतह क्षेत्र पार्श्व सतह और आधार के क्षेत्रों के योग के बराबर है:

*पार्श्व सतह में समान क्षेत्रफल के चार त्रिभुज होते हैं। पिरामिड का आधार एक वर्ग है।

हम इसका उपयोग करके पिरामिड के किनारे के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

इस प्रकार, पिरामिड का सतह क्षेत्र है:

उत्तर: 28224

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 22 के बराबर होती हैं, पार्श्व किनारे 61 के बराबर होते हैं। इस पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आधार एक नियमित षट्भुज होता है।

इस पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र में 61,61 और 22 भुजाओं वाले समान त्रिभुजों के छह क्षेत्र शामिल हैं:

आइए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

इस प्रकार, पार्श्व सतह क्षेत्र है:

उत्तर: 3240

*ऊपर प्रस्तुत समस्याओं में, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल किसी अन्य त्रिभुज सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है, लेकिन इसके लिए आपको एपोथेम की गणना करने की आवश्यकता है।

27155. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का सतह क्षेत्र ज्ञात करें जिसकी आधार भुजाएँ 6 हैं और जिसकी ऊँचाई 4 है।

पिरामिड का सतह क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हमें आधार का क्षेत्रफल और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जानना होगा:

आधार का क्षेत्रफल 36 है क्योंकि यह भुजा 6 वाला एक वर्ग है।

पार्श्व सतह में चार फलक होते हैं, जो समान त्रिभुज होते हैं। ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसका आधार और ऊंचाई (एपोटेम) जानना होगा:

*एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के आधे गुणनफल और इस आधार पर खींची गई ऊँचाई के बराबर होता है।

आधार ज्ञात है, यह छह के बराबर है। आइए ऊंचाई ज्ञात करें। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (पीले रंग में हाइलाइट किया गया):

एक पैर 4 के बराबर है, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है, दूसरा 3 के बराबर है, क्योंकि यह आधार के आधे किनारे के बराबर है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण ज्ञात कर सकते हैं:

इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

इस प्रकार, पूरे पिरामिड का सतह क्षेत्र है:

उत्तर: 96

27069. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 के बराबर हैं, पार्श्व किनारे 13 के बराबर हैं। इस पिरामिड का सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

27070. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 के बराबर होती हैं, पार्श्व किनारे 13 के बराबर होते हैं। इस पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए भी सूत्र हैं। एक नियमित पिरामिड में, आधार पार्श्व सतह का एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है, इसलिए:

पी- आधार परिधि, एल- पिरामिड का एपोटेम

*यह सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र पर आधारित है।

यदि आप इस बारे में अधिक जानना चाहते हैं कि ये सूत्र कैसे प्राप्त होते हैं, तो इसे न चूकें, लेखों के प्रकाशन का अनुसरण करें।बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

एक बहुआयामी आकृति है, जिसका आधार एक बहुभुज है, और शेष फलकों को एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुजों द्वारा दर्शाया गया है।

यदि आधार वर्ग हो तो पिरामिड कहलाता है चौकोर, यदि एक त्रिभुज - तो त्रिकोणीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार तक खींची गई है। क्षेत्रफल की गणना के लिए भी उपयोग किया जाता है एपोटेम- साइड फेस की ऊंचाई, उसके शीर्ष से कम।
पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है, जो एक दूसरे के बराबर होते हैं। हालाँकि, गणना की इस पद्धति का उपयोग बहुत कम किया जाता है। मूल रूप से, पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और एपोथेम के माध्यम से की जाती है:

आइए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि आधार ABCDE और शीर्ष F वाला एक पिरामिड दिया गया है। एबी = बीसी = सीडी = डीई = ईए = 3 सेमी। एपोटेम ए = 5 सेमी। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
आइए परिधि ज्ञात करें। चूँकि आधार के सभी किनारे बराबर हैं, पंचभुज का परिमाप बराबर होगा:
अब आप पिरामिड का पार्श्व क्षेत्र ज्ञात कर सकते हैं:

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का क्षेत्रफल

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एक आधार होता है जिसमें एक नियमित त्रिकोण और तीन पार्श्व फलक होते हैं जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है।
एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के सूत्र की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। आप परिधि और एपोथेम का उपयोग करके सामान्य गणना सूत्र लागू कर सकते हैं, या आप एक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं और इसे तीन से गुणा कर सकते हैं। चूँकि पिरामिड का फलक एक त्रिभुज है, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करते हैं। इसके लिए एक एपोथेम और आधार की लंबाई की आवश्यकता होगी। आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

एपोटेम a = 4 सेमी और आधार फलक b = 2 सेमी वाला एक पिरामिड दिया गया है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, किसी एक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करें। इस मामले में यह होगा:
मानों को सूत्र में रखें:
चूँकि एक नियमित पिरामिड में सभी भुजाएँ समान होती हैं, पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीन चेहरों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होगा। क्रमश:

एक काटे गए पिरामिड का क्षेत्रफल

छंटनी की गईपिरामिड एक बहुफलक है जो एक पिरामिड और आधार के समानांतर उसके अनुप्रस्थ काट से बनता है।
काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र बहुत सरल है। क्षेत्रफल आधारों और एपोथेम की परिमापों के आधे योग के गुणनफल के बराबर है:

इस पाठ में:

• समस्या 1. पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें
• समस्या 2. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें

संबंधित सामग्री भी देखें:
.

टिप्पणी . यदि आपको कोई ज्यामिति समस्या हल करनी है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। समस्याओं में, "वर्गमूल" प्रतीक के बजाय, sqrt() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिसमें sqrt वर्गमूल प्रतीक है, और मूलांक अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया गया है। सरल मौलिक अभिव्यक्तियों के लिए, "√" चिह्न का उपयोग किया जा सकता है.

समस्या 1. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार की ऊंचाई 3 सेमी है, और पार्श्व सतह और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है।
पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

समाधान.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है।
इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम एक नियमित त्रिभुज के गुणों का उपयोग करेंगे:

हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं, जहाँ से हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एच = √3/2 ए
ए = एच / (√3/2)
ए = 3 / (√3/2)
ए = 6 / √3

जहाँ से आधार का क्षेत्रफल बराबर होगा:
एस = √3/4 ए 2
एस = √3/4 (6 / √3) 2
एस = 3√3

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या के अनुसार, कोण OKM 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके/एमके = कॉस 45
आइए त्रिकोणमितीय कार्यों के मानों की तालिका का उपयोग करें और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें।

ठीक / एमके = √2/2

आइए ध्यान रखें कि ओके अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। तब
ठीक = √3/6a
ठीक = √3/6 * 6/√3 = 1

तब
ठीक / एमके = √2/2
1/एमके = √2/2
एमके = 2/√2

फिर पार्श्व फलक का क्षेत्रफल त्रिभुज की ऊँचाई और आधार के आधे गुणनफल के बराबर होता है।
साइड = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

इस प्रकार, पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र बराबर होगा
एस = 3√3 + 3 * 6/√6
एस = 3√3 + 18/√6

उत्तर: 3√3 + 18/√6

समस्या 2. एक नियमित पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊंचाई 10 सेमी और आधार की भुजा 16 सेमी है . पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए .

समाधान.

चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, AO आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।
(यह इस प्रकार है)

हम एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसके गुणों से ज्ञात करते हैं

जहाँ से एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों की लंबाई बराबर होगी:
एएम 2 = एमओ 2 + एओ 2
पिरामिड की ऊँचाई स्थिति (10 सेमी), AO = 16√3/3 से ज्ञात होती है
पूर्वाह्न 2 = 100 + 256/3
एएम = √(556/3)

पिरामिड की प्रत्येक भुजा एक समद्विबाहु त्रिभुज है। हम नीचे प्रस्तुत पहले सूत्र से एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

एस = 1/2 * 16 वर्ग((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
एस = 8 वर्ग((556/3) - 64)
एस = 8 वर्ग(364/3)
एस = 16 वर्ग(91/3)

चूँकि एक नियमित पिरामिड के तीनों फलक बराबर होते हैं, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होगा
3एस = 48 √(91/3)

उत्तर: 48 √(91/3)

समस्या 3. एक नियमित पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की भुजा 3 सेमी है और पार्श्व फलक और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है। पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.

समाधान.
चूँकि पिरामिड नियमित है, इसके आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है। अतः आधार का क्षेत्रफल है


तो = 9 * √3/4

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या के अनुसार, कोण OKM 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके/एमके = कॉस 45
आइए लाभ उठाएं