Proporții 1 1 ca. Cum se calculează proporția. Cum se calculează proporția

Pentru a rezolva majoritatea problemelor din matematica de liceu, sunt necesare cunoștințe de proporție. Această abilitate simplă vă va ajuta nu numai să efectuați exerciții complexe din manual, ci și să vă adânciți în însăși esența matematicii. Cum se face proporția? Să aruncăm o privire acum.

Cel mai simplu exemplu este o problemă în care se cunosc trei parametri, iar al patrulea trebuie găsit. Proporțiile sunt, desigur, diferite, dar adesea trebuie să găsiți un număr în procente. De exemplu, băiatul avea zece mere în total. I-a dat a patra parte mamei sale. Câte mere i-au rămas băiatului? Acesta este cel mai simplu exemplu care vă va permite să compuneți proporția. Principalul lucru este să o faci. Inițial erau zece mere. Să fie 100%. I-am marcat toate merele. A dat un sfert. 1/4 = 25/100. Aceasta înseamnă că a plecat: 100% (a fost inițial) - 25% (a dat) = 75%. Această cifră arată procentul dintre numărul de fructe rămase față de numărul primelor disponibile. Acum avem trei numere, prin care este deja posibil să rezolvăm proporția. 10 mere - 100%, X mere - 75%, unde x este cantitatea necesară de fructe. Cum se face proporția? Trebuie să înțelegeți ce este. Din punct de vedere matematic, arată așa. Semnul egal este pus pentru înțelegere.

10 mere = 100%;

x mere = 75%.

Se pare că 10 / x = 100% / 75. Aceasta este principala proprietate a proporțiilor. La urma urmei, cu cât x este mai mare, cu atât acest număr este mai mare față de original. Rezolvăm această proporție și obținem că x = 7,5 mere. De ce s-a hotărât băiatul să dea o sumă care nu este întreagă, nu ne știm. Acum știi să proporții. Principalul lucru este să găsiți două relații, dintre care una conține necunoscutul necunoscut.

Rezolvarea proporțiilor se reduce adesea la o simplă înmulțire și apoi la împărțire. În școli, copiilor nu li se explică de ce este exact așa. Deși este important să înțelegem că relațiile proporționale sunt un clasic matematic, este însăși esența științei. Pentru a rezolva proporțiile, trebuie să fii capabil să gestionezi fracțiile. De exemplu, adesea trebuie să convertiți procentele în fracții. Adică, un record de 95% nu va funcționa. Și dacă scrieți 95/100 imediat, atunci puteți face reduceri solide fără a începe numărătoarea principală. Ar trebui spus imediat că dacă proporția ta s-a dovedit a fi cu două necunoscute, atunci nu poate fi rezolvată. Nici un profesor nu te poate ajuta aici. Iar sarcina ta, cel mai probabil, are un algoritm mai complex de acțiuni corecte.

Luați în considerare un alt exemplu în care nu există niciun interes. Șoferul a cumpărat 5 litri de benzină pentru 150 de ruble. Se întreba cât va plăti pentru 30 de litri de combustibil. Pentru a rezolva această problemă, să fie x suma necesară de bani. Puteți rezolva singur această problemă și apoi verificați răspunsul. Dacă încă nu v-ați dat seama cum să faceți proporția, atunci aruncați o privire. 5 litri de benzină înseamnă 150 de ruble. Ca și în primul exemplu, vom nota 5L - 150r. Acum să găsim al treilea număr. Desigur, acesta este de 30 de litri. De acord că o pereche de 30 de litri - x ruble este potrivită în această situație. Să trecem la limbajul matematic.

5 litri - 150 de ruble;

30 de litri - x ruble;

Rezolvam aceasta proportie:

x = 900 de ruble.

Așa că ne-am hotărât. În sarcina dvs., nu uitați să verificați caracterul adecvat al răspunsului. Se întâmplă ca, cu o decizie greșită, mașinile să atingă viteze nerealiste de 5000 de kilometri pe oră și așa mai departe. Acum știi să proporții. O poti si rezolva. După cum puteți vedea, acest lucru nu este dificil.

Formula proporțiilor

Proporția este egalitatea a două rapoarte când a: b = c: d

raportul 1 : 10 este egal cu raportul 7 : 70, care poate fi scris și ca fracție: 1 10 = 7 70 se citește astfel: „unu se referă la zece, precum și șapte se referă la șaptezeci”

Proprietăți de bază ale proporției

Produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor mijlocii (în cruce): dacă a: b = c: d, atunci a⋅d = b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inversarea proporției: dacă a: b = c: d atunci b: a = d: c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutarea termenilor mijlocii: dacă a: b = c: d, atunci a: c = b: d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutarea termenilor extremi: dacă a: b = c: d, atunci d: b = c: a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Rezolvarea proporțiilor cu o necunoscută | Ecuația

1 : 10 = X : 70 sau 1 10 = X 70

Pentru a găsi x, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute încrucișat și să împărțiți la valoarea opusă

X = 1 ⋅ 70 10 = 7

Cum se calculează proporția

Sarcină: trebuie să bei 1 tabletă de cărbune activ la 10 kilograme de greutate. Câte comprimate ar trebui să luați dacă o persoană cântărește 70 kg?

Să facem o proporție: 1 tabletă - 10 kg X tablete - 70 kg Pentru a găsi x, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute în cruce și să împărțiți la valoarea opusă: 1 tabletă X pastile✕ 10 kg 70 Kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Răspuns: 7 tablete

Sarcină: Vasya scrie două articole în cinci ore. Câte articole va scrie în 20 de ore?

Să facem o proporție: 2 articole - 5 ore X articole - 20 de ore X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Răspuns: 8 articole

Pot spune viitorilor absolvenți de școală că abilitatea de a face proporții mi-a fost utilă atât pentru a reduce proporțional imaginile, cât și în aspectul HTML al unei pagini web, cât și în situațiile de zi cu zi.

Baza cercetarea matematică este capacitatea de a dobândi cunoștințe despre anumite mărimi comparându-le cu alte mărimi care sunt fie sunt egale sau Mai mult sau Mai puțin decât cele care fac obiectul cercetării. Acest lucru se face de obicei folosind seria ecuațiiși proporții... Când folosim ecuații, determinăm valoarea necesară prin găsirea acesteia egalitate cu o altă cantitate sau cantități deja cunoscute.

Cu toate acestea, se întâmplă adesea să comparăm o cantitate necunoscută cu altele care nu este egal ea, dar mai mult sau mai puțin din ea. Acest lucru necesită o abordare diferită a procesării datelor. Poate că trebuie să aflăm, de exemplu, cât costă o cantitate este mai mare decât cealaltă, sau De câte ori unul îl conține pe celălalt. Pentru a găsi răspunsul la aceste întrebări, vom afla ce este raport două cantități. Se numește un singur raport aritmetic si celalalt geometric... Este demn de remarcat, totuși, că ambii acești termeni nu au fost adoptați accidental sau doar în scop de distincție. Atât relațiile aritmetice, cât și cele geometrice se aplică atât aritmeticii, cât și geometriei.

Ca componentă a unui subiect vast și important, proporția depinde de proporții, de aceea este necesară o înțelegere clară și completă a acestor concepte.

338. Raportul aritmetic aceasta diferențăîntre două mărimi sau o serie de mărimi... Cantitățile în sine sunt numite membrii ai rapoarte, adică termeni între care există un raport. Astfel, 2 este un raport aritmetic de 5 și 3. Acesta se exprimă prin plasarea unui semn minus între două valori, adică 5 - 3. Desigur, termenul de raport aritmetic și mâzgălirea lui este practic inutil, deoarece doar cuvântul este înlocuit diferență prin semnul minus din expresie.

339. Dacă ambii termeni ai relaţiei aritmetice multiplica sau divide cu aceeași sumă, atunci raport,în cele din urmă, va fi înmulțit sau împărțit la această valoare.
Astfel, dacă avem a - b = r
Apoi înmulțim ambele părți cu h, (Ax. 3.) ha - hb = hr
Și împărțind la h, (Ax. 4.) $ \ frac (a) (h) - \ frac (b) (h) = \ frac (r) (h) $

340. Dacă termenii unui raport aritmetic se adună sau se scad din termenii corespunzători altuia, atunci raportul sumei sau diferenței va fi egal cu suma sau diferența celor două rapoarte.
Dacă a - b
Și d-h,
sunt două relații,
Atunci (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Care în fiecare caz = a + d - b - h.
Și (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Care în fiecare caz = a - d - b + h.
Deci raportul aritmetic 11 - 4 este 7
Și raportul aritmetic de 5 - 2 este 3
Raportul sumei membrilor 16 - 6 este 10, este suma rapoartelor.
Raportul dintre diferența termenilor 6 - 2 este 4, este diferența rapoartelor.

341. Raport geometric este relația dintre cantități, care se exprimă PRIVAT dacă o cantitate este împărțită la alta.
Astfel, raportul de la 8 la 4 poate fi scris ca 8/4 sau 2. Adică, câtul 8 cu 4. Cu alte cuvinte, arată de câte ori 4 este conținut în 8.

La fel, raportul oricărei mărimi la alta poate fi determinat prin împărțirea primei la a doua sau, ceea ce este, în principiu, același, făcând din prima numărător al fracției și al doilea numitor.
Deci raportul dintre a și b este $ \ frac (a) (b) $
Raportul dintre d + h și b + c este $ \ frac (d + h) (b + c) $.

342. Relația geometrică se înregistrează și prin plasarea a două puncte unul deasupra celuilalt între valorile comparate.
Astfel, a: b este o înregistrare a raportului dintre a și b, iar 12: 4 este un raport de 12 la 4. Cele două mărimi formează împreună cupluîn care se numeşte primul termen antecedente iar ultimul este consecvent.

343. Această notație cu ajutorul punctelor și cealaltă, sub formă de fracție, sunt interschimbabile după caz, în timp ce antecedentul devine numărătorul fracției, iar consecventul devine numitorul.
Deci 10: 5 este la fel cu $ \ frac (10) (5) $ și b: d, la fel cu $ \ frac (b) (d) $.

344. Dacă dintre aceste trei valori: antecedent, consecvent și raport, oricare Două apoi al treilea poate fi găsit.

Fie a = antecedent, c = consecință, r = raport.
Prin definiție, $ r = \ frac (a) (c) $, adică raportul este egal cu antecedentul împărțit la consecință.
Înmulțind cu c, a = cr, adică antecedentul este egal cu rezultatul înmulțit cu raportul.
Împărțiți cu r, $ c = \ frac (a) (r) $, adică rezultatul este egal cu antecedentul împărțit la raport.

Corespunzător 1. Dacă două cupluri au antecedente și consecințe egale, atunci și rapoartele lor sunt egale.

Corespunzător 2. Dacă pentru două perechi rapoartele și antecedentele sunt egale, atunci consecințele sunt egale, iar dacă rapoartele și consecințele sunt egale, atunci și antecedentele sunt egale.

345. Dacă două valori comparate sunt egale, atunci raportul lor este egal cu unu sau raportul de egalitate. Raportul 3 * 6: 18 este egal cu unu, deoarece câtul oricărei cantități împărțite la sine este egal cu 1.

Dacă antecedentul perechii Mai mult, decât rezultatul, raportul este mai mare decât unu. Deoarece dividendul este mai mare decât divizorul, coeficientul este mai mare decât unu. Deci raportul de 18: 6 este 3. Acesta se numește raport inegalitate mai mare.

Pe de altă parte, dacă antecedentul Mai puțin decât rezultatul, atunci raportul este mai mic decât unitatea și aceasta se numește raport mai puțină inegalitate... Deci raportul de 2: 3 este mai mic decât unu, deoarece dividendul este mai mic decât divizorul.

346. Reversul raportul este raportul a două reciproce.
Deci raportul invers de la 6 la 3 este k, adică:.
Raportul direct dintre a și b este $ \ frac (a) (b) $, adică antecedentul este împărțit într-o consecință.
Relația inversă este $ \ frac (1) (a) $: $ \ frac (1) (b) $ sau $ \ frac (1) (a). \ Frac (b) (1) = \ frac (b) (a) $.
adică secvența b împărțită la antecedentul a.

Prin urmare, se exprimă relația inversă prin inversarea fracţiei, care afișează un raport direct sau, când înregistrarea este efectuată folosind puncte, inversând ordinea membrilor.
Deci a se referă la b în același mod ca b la a.

347. Raport complex acest raport lucrări termeni corespunzători cu două sau mai multe relaţii simple.
Deci raportul 6: 3 este 2
Și raportul 12: 4 este egal cu 3
Raportul format din ele este 72:12 = 6.

Aici se obține o relație complexă prin înmulțirea între ele a două antecedente și, de asemenea, a două consecințe ale relațiilor simple.
Deci raportul făcut
Din raportul a: b
Și raportul c: d
iar raportul h: y
Acest raport este $ ach: bdy = \ frac (ach) (bdy) $.
Raportul compus nu diferă în ceea ce privește natură din orice alt raport. Acest termen este folosit pentru a arăta originea relației în anumite cazuri.

Corespunzător Un raport complex este egal cu produsul rapoartelor simple.
Raportul a: b este egal cu $ \ frac (a) (b) $
Raportul c: d este egal cu $ \ frac (c) (d) $
Raportul h: y este $ \ frac (h) (y) $
Iar raportul adăugat dintre aceste trei va fi ach / bdy, care este produsul fracțiilor care exprimă rapoarte simple.

348. Dacă în succesiunea rapoartelor din fiecare pereche anterioară rezultatul este antecedentul în următoarea, atunci raportul dintre primul antecedent și ultimul rezultat este egal cu cel obținut din rapoartele intermediare.
Deci într-o serie de relații
a: b
b:c
c: d
d:h
raportul a: h este egal cu raportul adăugat din rapoartele a: b și b: c și c: d și d: h. Deci raportul complex din ultimul articol este $ \ frac (abcd) (bcdh) = \ frac (a) (h) $, sau a: h.

În același mod, toate cantitățile care sunt atât antecedente, cât și consecințe dispărea, când produsul fracțiilor va fi simplificat la termenii săi cei mai mici și în rest raportul complex va fi exprimat prin primul antecedent și ultimul consecvent.

349. O clasă specială de relaţii complexe se obţine prin înmulţirea unei relaţii simple cu eu insumi sau altceva egal raport. Aceste rapoarte se numesc dubla, triplu, quads, și așa mai departe, în funcție de numărul de operații de înmulțire.

Un raport compus din Două rapoarte egale, adică pătrat dubla raport.

Compus din Trei, acesta este, cub sunt numite relații simple triplu, etc.

În mod similar, raportul rădăcini pătrate două mărimi se numește raport rădăcină pătrată si raportul rădăcini cubice- raportul rădăcină cubică, etc.
Deci raportul simplu dintre a și b este a: b
Raportul dublu dintre a și b este egal cu a 2: b 2
Raportul triplu dintre a și b este egal cu a 3: b 3
Raportul dintre rădăcina pătrată a lui a la b este √a: √b
Raportul rădăcinii cubice a lui a la b este 3 √a: 3 √b și așa mai departe.
Termeni dubla, triplu, și așa mai departe nu trebuie amestecat cu dublat, triplat, etc.
Raportul 6 la 2 este 6: 2 = 3
Dubland acest raport, adică raportul de două ori, obținem 12: 2 = 6
Triplăm acest raport, adică acest raport de trei ori, apoi obținem 18: 2 = 9
A dubla raport, adică pătrat raportul este 6 2: 2 2 = 9
ȘI triplu raportul, adică cubul raportului, este 6 3: 2 3 = 27

350. Pentru ca cantitățile să fie corelate între ele, ele trebuie să fie de același fel, astfel încât să se poată afirma cu încredere dacă sunt egale între ele, sau una dintre ele este mai mare sau mai mică. Un picior este ca 12 la 1 în raport cu un inch: este de 12 ori mai mare decât un inch. Dar nu se poate spune, de exemplu, că o oră este mai lungă sau mai scurtă decât un băț, sau un acru este mai mare sau mai mic decât un grad. Totuși, dacă aceste cantități sunt exprimate în numerele, atunci poate exista o relație între aceste numere. Adică, poate exista o relație între numărul de minute pe oră și numărul de pași pe milă.

351. Întorcându-se spre natură raporturile, următorul pas trebuie să luăm în considerare modul în care schimbarea în unul sau doi termeni, care sunt comparați unul cu celălalt, va afecta raportul în sine. Amintiți-vă că raportul direct este exprimat ca o fracție, unde antecedet cupluri întotdeauna asta numărător, A consecvent - numitor... Atunci va fi ușor de obținut din proprietatea fracțiilor că modificările raportului apar prin variarea valorilor comparate. Raportul dintre cele două cantități este același ca sens fracții, fiecare dintre acestea reprezentând privat: numărător împărțit la numitor. (Articol. 341.) Acum s-a arătat că înmulțirea numărătorului unei fracții cu orice valoare este același cu înmulțirea sens cu aceeași cantitate și împărțirea numărătorului este la fel cu împărțirea valorilor unei fracții. Asa de,

352. Înmulțirea antecedentului unei perechi cu orice valoare înseamnă înmulțirea rapoartelor cu această valoare, iar împărțirea antecedentului înseamnă împărțirea acestui raport.
Deci un raport de 6: 2 este 3
Și raportul de 24: 2 este egal cu 12.
Aici antecedentul și raportul din ultima pereche sunt de 4 ori mai mari decât în prima.
Raportul a: b este $ \ frac (a) (b) $
Iar raportul na: b este egal cu $ \ frac (na) (b) $.

Corespunzător Cu o consecință cunoscută, cu atât mai mult antecedente, cu atât mai mult raportși invers, cu cât raportul este mai mare, cu atât antecedentul este mai mare.

353. Înmulțind rezultatul perechii cu orice valoare, ca rezultat, obținem împărțirea raportului cu această valoare, iar împărțind rezultatul înmulțim raportul.Înmulțind numitorul unei fracții, împărțim valoarea, iar prin împărțirea numitorului se înmulțește valoarea.
Deci raportul de 12: 2 este 6
Și raportul de 12: 4 este 3.
Iată consecința celei de-a doua perechi în de două ori mai mult, și raportul de două ori mai putin decat primul.
Raportul a: b este $ \ frac (a) (b) $
Iar raportul a:nb este egal cu $ \ frac (a) (nb) $.

Corespunzător Cu un antecedent dat, cu cât rezultatul este mai mare, cu atât raportul este mai mic. Dimpotrivă, cu cât raportul este mai mare, cu atât este mai mic rezultatul.

354. Din ultimele două articole rezultă că multiplicarea antecedentului pereche cu orice sumă va avea același efect asupra raportului ca împărțirea consecințelor cu această sumă, și împărțirea antecedentului, va avea același efect ca inmultirea consecutiva.
Prin urmare, raportul de 8: 4 este egal cu 2
Înmulțind antecedentul cu 2, raportul de 16: 4 este 4
Împărțind antecedentul la 2, raportul 8: 2 este 4.

Corespunzător Orice factor sau separator poate fi transferat de la antecedentul perechii la consecvent sau de la consecvent la antecedent fără modificarea raportului.

Este demn de remarcat faptul că atunci când un factor este astfel transferat de la un termen la altul, el devine un divizor, iar divizorul transferat devine un factor.
Deci raportul este 3,6: 9 = 2
Preluarea factorului 3, $ 6: \ frac (9) (3) = 2 $
acelasi raport.

Raport $ \ frac (ma) (y): b = \ frac (ma) (prin) $
Preluarea y $ ma: by = \ frac (ma) (by) $
Deplasarea m, a: $ a: \ frac (m) (by) = \ frac (ma) (by) $.

355. După cum reiese din articolele. 352 și 353, dacă antecedentul și consecința sunt ambele înmulțite sau împărțite cu aceeași valoare, atunci raportul nu se modifică.

Corespunzător 1. Raportul celor doi fractii, care au un numitor comun, este același cu raportul lor numărători.
Deci raportul a / n: b / n este același cu a: b.

Corespunzător 2. Direct raportul a două fracții care au un numărător comun este egal cu raportul invers al acestora numitori.

356. Din articol este ușor de determinat raportul dintre oricare două fracții. Dacă fiecare termen este înmulțit cu doi numitori, atunci raportul va fi dat prin expresii integrale. Astfel, înmulțind termenii perechii a / b: c / d cu bd, obținem $ \ frac (abd) (b) $: $ \ frac (bcd) (d) $, care devine ad: bc, prin reducerea valorile comune de la numărători și numitori.

356. b. Raport inegalitate mai mare crește a lui
Fie raportul inegalității mai mari să fie dat ca 1 + n: 1
Și orice raport ca a: b
Raportul compus ar fi (Art. 347,) a + na: b
Care este mai mare decât raportul a: b (Art. 351. resp.)
Dar raportul mai puțină inegalitate pliat cu un raport diferit, reduce a lui.
Fie raportul diferenței mai mici 1-n: 1
Orice raport dat a: b
Raportul complex a - na: b
Care este mai mic decât a: b.

357. Dacă către sau de la membrii oricărei perechiadăuga sau scădeți alte două mărimi care sunt în același raport, atunci sumele sau soldurile vor avea același raport.
Fie raportul a: b
Va fi la fel ca c: d
Apoi relația sume antecedentele la suma consecințelor, și anume, de la a + c la b + d, sunt de asemenea la fel.
Adică $ \ frac (a + c) (b + d) $ = $ \ frac (c) (d) $ = $ \ frac (a) (b) $.

Dovada.

1.Conform ipotezei, $ \ frac (a) (b) $ = $ \ frac (c) (d) $
2. Înmulțiți cu b și d, ad = bc
3. Adăugați cd pe ambele părți, ad + cd = bc + cd
4. Împărțiți la d, $ a + c = \ frac (bc + cd) (d) $
5. Împărțiți la b + d, $ \ frac (a + c) (b + d) $ = $ \ frac (c) (d) $ = $ \ frac (a) (b) $.

Raport diferențe antecedentele deosebirii consecvente sunt și ele aceleași.

358. Dacă în mai multe perechi rapoartele sunt egale, atunci suma tuturor antecedentelor se referă la suma tuturor consecințelor, ca orice antecedent al consecințelor sale.
Astfel, raportul
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Astfel, raportul (12 + 10 + 8 + 6) :( 6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358. b. Raport inegalitate mai marescade adăugând aceeași valoare ambilor membri.
Fie relația dată a + b: a sau $ \ frac (a + b) (a) $
Adăugând x la ambii membri, obținem a + b + x: a + x sau $ \ frac (a + b) (a) $.

Primul devine $ \ frac (a ^ 2 + ab + ax + bx) (a (a + x)) $
Și ultimul este $ \ frac (a ^ 2 + ab + ax) (a (a + x)) $.
Deoarece ultimul numărător este evident mai mic decât celălalt, atunci raport ar trebui să fie mai puțin. (Art. 351. resp.)

Dar raportul mai puțină inegalitate crește prin adăugarea aceleiași sume la ambii termeni.
Fie relația dată (a-b): a, sau $ \ frac (a-b) (a) $.
Adăugând x la ambii termeni, acesta ia forma (a-b + x) :( a + x) sau $ \ frac (a-b + x) (a + x) $
Aducându-le la un numitor comun,
Prima devine $ \ frac (a ^ 2-ab + ax-bx) (a (a + x)) $
Și ultimul, $ \ frac (a ^ 2-ab + ax) (a (a + x)). \ Frac ((a ^ 2-ab + ax)) (a (a + x)) $.

Deoarece ultimul numărător este mai mare decât celălalt, atunci raport Mai Mult.
Dacă în loc să adauge aceeași valoare la pachet din doi termeni, este evident că efectul asupra raportului va fi invers.

Exemple.

1. Care este mai mare: un raport de 11: 9 sau un raport de 44:35?

2. Care este mai mare: raportul $ (a + 3): \ frac (a) (6) $, sau raportul $ (2a + 7): \ frac (a) (3) $?

3. Dacă antecedentul perechii este 65 și raportul este 13, care este consecința?

4. Dacă consecința unei perechi este 7 și raportul este 18, care este antecedentul?

5. Cum arată un raport complex compus din 8: 7 și 2a: 5b și, de asemenea, (7x + 1) :( 3y-2)?

6. Cum arată un raport complex compus din (x + y): b și (x-y) :( a + b) și de asemenea (a + b): h? Resp. (x 2 - y 2): bh.

7. Dacă rapoartele (5x + 7) :( 2x-3) și $ (x + 2): \ stânga (\ frac (x) (2) +3 \ dreapta) $ formează un raport complex, atunci ce raport se va obtine: mai mult sau mai putina inegalitate? Resp. Raportul de inegalitate mai mare.

8. Care este raportul compus din (x + y): a și (x - y): b, și $ b: \ frac (x ^ 2-y ^ 2) (a) $? Resp. Raportul de egalitate.

9. Care este raportul de 7: 5 și de două ori raportul de 4: 9 și de trei ori raportul de 3: 2?
Resp. 14:15.

10. Care este raportul format din 3: 7 și triplu raportul x: y și extracția rădăcinii din raportul 49: 9?
Resp. x 3: y 3.

Un raport (în matematică) este o relație între două sau mai multe numere de același fel. Rapoartele compară valori absolute sau părți ale unui întreg. Ratele sunt calculate și scrise în moduri diferite, dar principiile de bază sunt aceleași pentru toate rapoartele.

Pași

Partea 1

Determinarea rapoartelor

Folosind rapoarte. Rapoartele sunt folosite atât în știință, cât și în viața de zi cu zi pentru a compara valori. Cele mai simple rapoarte raportează doar două numere, dar există rapoarte care compară trei sau mai multe valori. În orice situație în care este prezentă mai mult de o cantitate, se poate scrie un raport. Prin legarea unor valori, rapoartele pot sugera, de exemplu, cum să crească cantitatea de ingrediente dintr-o rețetă sau substanțe într-o reacție chimică.

Determinarea rapoartelor. Un raport este o relație între două (sau mai multe) valori de același fel. De exemplu, dacă aveți nevoie de 2 căni de făină și 1 ceașcă de zahăr pentru a face o prăjitură, atunci raportul dintre făină și zahăr este de 2 la 1.
- Proporțiile pot fi folosite și în cazurile în care cele două cantități nu sunt legate între ele (ca în exemplul cu prăjitura). De exemplu, dacă există 5 fete și 10 băieți într-o clasă, atunci raportul dintre fete și băieți este de 5 la 10. Aceste valori (numărul de băieți și numărul de fete) nu depind una de alta, că adică, valorile lor se vor schimba dacă cineva părăsește clasa sau va veni un nou elev la clasă. Raporturile compară pur și simplu valorile cantităților.
Acordați atenție diferitelor moduri de reprezentare a rapoartelor. Relațiile pot fi exprimate în cuvinte sau folosind simboluri matematice.
- Foarte des, rapoartele sunt exprimate în cuvinte (așa cum se arată mai sus). În special această formă de reprezentare a rapoartelor este folosită în viața de zi cu zi, departe de știință.
- De asemenea, rapoartele pot fi exprimate prin două puncte. Când comparați două numere într-un raport, veți folosi două puncte (de exemplu, 7:13); atunci când comparați trei sau mai multe valori, puneți două puncte între fiecare pereche de numere (de exemplu, 10: 2: 23). În exemplul nostru de clasă, puteți exprima raportul dintre fete și băieți astfel: 5 fete: 10 băieți. Sau cam așa: 5:10.
- Mai rar, rapoartele sunt exprimate folosind o bară oblică. În exemplul clasei, se poate scrie astfel: 5/10. Cu toate acestea, aceasta nu este o fracție și un astfel de raport nu este citit ca o fracție; Mai mult, amintiți-vă că în raport, numerele nu reprezintă o parte a unui întreg.
Partea 2
Folosind rapoarte
1. Simplificați raportul. Raportul poate fi simplificat (similar cu fracțiile) împărțind fiecare termen (număr) al raportului la. Cu toate acestea, nu pierdeți din vedere valorile inițiale ale raportului atunci când faceți acest lucru.
  - În exemplul nostru, în clasă sunt 5 fete și 10 băieți; raportul este de 5:10. Cel mai mare divizor comun al termenilor raportului este 5 (deoarece ambele 5 și 10 sunt divizibile cu 5). Împărțiți fiecare număr de raport la 5 pentru a obține raportul dintre 1 fată la 2 băieți (sau 1: 2). Cu toate acestea, țineți cont de valorile originale atunci când simplificați raportul. În exemplul nostru, în clasă nu sunt 3 elevi, ci 15. Raportul simplificat compară numărul de băieți și numărul de fete. Adică pentru fiecare fată sunt 2 băieți, dar nu sunt 2 băieți și 1 fată în clasă.
  - Unele relații nu sunt simplificate. De exemplu, raportul 3:56 nu este simplificat deoarece aceste numere nu au divizori comuni (3 este un număr prim, iar 56 nu este divizibil cu 3).
2. Utilizați înmulțirea sau împărțirea pentru a crește sau a micșora raportul. Sarcini obișnuite în care este necesară creșterea sau scăderea a două valori proporționale una cu cealaltă. Dacă vi se dă un raport și trebuie să găsiți un raport mai mare sau mai mic corespunzător acestuia, înmulțiți sau împărțiți raportul inițial cu un anumit număr.
  - De exemplu, un brutar trebuie să tripleze cantitatea de ingrediente dată într-o rețetă. Dacă rețeta are un raport făină la zahăr de 2 la 1 (2: 1), atunci brutarul va înmulți fiecare termen în raport cu 3 pentru a obține un raport de 6: 3 (6 căni de făină la 3 căni de zahăr).
  - Pe de altă parte, dacă brutarul trebuie să reducă la jumătate cantitatea de ingrediente din rețetă, atunci brutarul va împărți fiecare termen în raport cu 2 și va obține un raport de 1: ½ (1 cană făină la 1/2 cană zahăr). ).
3. Găsirea unei valori necunoscute atunci când sunt date două echivalente. Aceasta este o problemă în care trebuie să găsiți o variabilă necunoscută într-o relație folosind a doua relație, care este echivalentă cu prima. Pentru a rezolva astfel de probleme, utilizați. Notați fiecare raport ca o fracție obișnuită, puneți un semn egal între ele și înmulțiți-le termenii în cruce.
  - De exemplu, dat un grup de elevi, în care sunt 2 băieți și 5 fete. Care va fi numărul de băieți dacă numărul fetelor va crește la 20 (proporția rămâne aceeași)? În primul rând, notează două rapoarte - 2 băieți: 5 fete și X băieți: 20 fete. Acum scrieți aceste rapoarte sub formă de fracții: 2/5 și x / 20. Înmulțiți în cruce termenii fracțiilor pentru a obține 5x = 40; prin urmare, x = 40/5 = 8.
Partea 3
Greșeli comune
1. Evitați adunarea și scăderea în problemele de cuvinte cu raporturi. Multe probleme cu cuvintele arată cam așa: „În rețetă, trebuie să folosiți 4 tuberculi de cartofi și 5 culturi de rădăcină de morcov. Dacă doriți să adăugați 8 tuberculi de cartofi, de câți morcovi aveți nevoie pentru a menține raportul neschimbat?" Când rezolvă astfel de probleme, elevii fac adesea greșeala de a adăuga aceeași cantitate de ingrediente la numărul inițial. Cu toate acestea, pentru a păstra raportul, trebuie să utilizați înmulțirea. Iată exemple de decizii corecte și greșite:
  - Fals: „8 - 4 = 4 - așa că am adăugat 4 tuberculi de cartofi. Deci, trebuie să luați 5 culturi de rădăcină de morcov și să adăugați încă 4 la ele... Oprește-te! Relațiile nu sunt calculate așa. Merită să încerci din nou.”
  - Este adevărat: „8 ÷ 4 = 2 - deci am înmulțit cantitatea de cartofi cu 2. În consecință, 5 morcovi trebuie înmulțiți cu 2. 5 x 2 = 10 - 10 morcovi trebuie adăugați la rețetă”.