Математическая величина площади известна со времен древней Греции. Еще в те далекие времена греки выяснили, что площадью является сплошная часть поверхности, которая ограничена со всех сторон замкнутым контуром. Это числовая величина, которая измеряется в квадратных единицах. Площадь является численной характеристикой как плоских геометрических фигур (планиметрических), так и поверхностей тел в пространстве (объемных).
В настоящее время она встречается не только в рамках школьной программы на уроках геометрии и математики, но и в астрономии, быту, в строительстве, в конструкторских разработках, в производстве и во многих других человека. Очень часто к вычислению площадей сегментов мы прибегаем на приусадебном участке при оформлении ландшафтной зоны или при ремонтных работах ультрасовременного дизайна помещения. Поэтому знания методов вычисления площади различных пригодятся всегда и везде.
Для вычисления площади кругового сегмента и сегмента сферы необходимо разобраться с геометрическими терминами, которые понадобятся при вычислительном процессе.
Прежде всего, сегментом круга называется фрагмент плоской фигуры круга, который расположен между дугой окружности и отсекающей ее хордой. Не стоит это понятие путать с фигурой сектора. Это совершенно разные вещи.
Хордой называется отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности.
Центральный угол образуется между двумя отрезками - радиусами. Он измеряется в градусах дугой, на которую упирается.
Сегмент сферы образуется при отсекании какой-либо плоскостью части При этом основанием сферического сегмента получается круг, а высотой является перпендикуляр, исходящий от центра круга до пересечения с поверхностью сферы. Эта точка пересечения называется вершиной сегмента шара.
Для того, чтобы определить площадь сегмента сферы, нужно знать отсеченного круга и высоту шарового сегмента. Произведение этих двух составляющих и будет являться площадью сегмента сферы: S=2πRh, где h - высота сегмента, 2πR - длина окружности, а R - радиус большого круга.
Для того, чтобы вычислить площадь сегмента круга, можно прибегнуть к следующим формулам:
1. Чтобы найти площадь сегмента самым простым способом, необходимо вычислить разность между площадью сектора, в который вписан сегмент, и у которого основание является хордой сегмента: S1=S2-S3, где S1 - площадь сегмента, S2 - площадь сектора и S3 - площадь треугольника.
Можно воспользоваться приближенной формулой вычисления площади кругового сегмента: S=2/3*(a*h), где a - основание треугольника или h - высота сегмента, которая является результатом разности между радиусом круга и
2. Площадь сегмента, отличающегося от полукруга, подсчитывается следующим образом: S = (π R2:360)*α ± S3, где π R2 - площадь круга, α - градусная мера центрального угла, которая содержит дугу сегмента круга, S3 - площадь треугольника, который образовался между двумя радиусами круга и хордой, владеющего углом в центральной точке круга и двумя вершинами в местах соприкосновения радиусов с окружностью.
Если угол α < 180 градусов, используется знак минус, если α > 180 градусов, применяется знак плюс.
3. Вычислить площадь сегмента можно и другими методами при помощи тригонометрии. Как правило, за основу берется треугольник. Если центральный угол измеряется в градусах, тогда приемлема следующая формула: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, где R2 - квадрат радиуса круга, α - градусная мера центрального угла.
4. Чтобы рассчитать площадь сегмента с помощью тригонометрических функций, можно воспользоваться и другой формулой при условии, что центральный угол измеряется в радианах: S= R2 * (α - sin α)/2, где R2 - квадрат радиуса круга, α - градусная мера центрального угла.
Определение сегмента круга
Сегмент - это геометрическая фигура, которая получается путем отсечение части круга хордой.
Онлайн-калькулятор
Находится эта фигура между хордой и дугой круга.
ХордаЭто отрезок, лежащий внутри круга и соединяющий две произвольно выбранные точки на нем.
При отсечении части круга хордой можно рассмотреть две фигуры: это наш сегмент и равнобедренный треугольник, боковые стороны которого - радиусы круга.
Площадь сегмента можно найти как разность площадей сектора круга и этого равнобедренного треугольника.
Площадь сегмента можно найти несколькими способами. Остановимся на них более подробно.
Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot s-\frac{1}{2}\cdot h\cdot a S = 2 1 ⋅ R ⋅ s − 2 1 ⋅ h ⋅ a
R R
R
- радиус круга;
s s
s
- длина дуги;
h h
h
- высота равнобедренного треугольника;
a a
a
- длина основания этого треугольника.
Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.
Решение
R = 5 R=5
R
=
5
h = 2 h=2
h
=
2
s = 10 s=10
s
=
1
0
Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:
A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt{h\cdot(2\cdot R-h)}=2\cdot\sqrt{2\cdot(2\cdot 5-2)}=8 a = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8
Теперь можно вычислить площадь сегмента:
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot s-\frac{1}{2}\cdot h\cdot a=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 8=17 S = 2 1 ⋅ R ⋅ s − 2 1 ⋅ h ⋅ a = 2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (см. кв.)
Ответ: 17 см. кв.
Формула площади сегмента круга по радиусу круга и центральном углу
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) S=\frac{R^2}{2}\cdot(\alpha-\sin(\alpha)) S = 2 R 2 ⋅ (α − sin (α ) )
R R
R
- радиус круга;
α \alpha
α
- центральный угол между двумя радиусами, стягивающий хорду, измеряющийся в радианах
.
Найти площадь сегмента круга, если радиус круга равен 7 (см.), а центральный угол 30 градусов.
Решение
R = 7 R=7
R
=
7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ}
α
=
3
0
∘
Переведем сначала угол в градусах в радианы. Поскольку π \pi
π
радиан равен 180 градусов, то:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^{\circ}=30^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{\pi}{6}
3
0
∘
=
3
0
∘
⋅
1
8
0
∘
π
=
6
π
радиан. Тогда площадь сегмента:
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin (π 6)) ≈ 0.57 S=\frac{R^2}{2}\cdot(\alpha-\sin(\alpha))=\frac{49}{2}\cdot\Big(\frac{\pi}{6}-\sin\Big(\frac{\pi}{6}\Big)\Big)\approx0.57 S = 2 R 2 ⋅ (α − sin (α ) ) = 2 4 9 ⋅ ( 6 π − sin ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (см. кв.)
Ответ: 0.57 см. кв.
Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..
Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.
- Окружность — линия, ограничивающая круг.
- Дуга — часть окружности.
- Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
- Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
Интересующие нас величины и их обозначения:
Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.
- Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
- Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
- Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.
Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.
Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).
И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.
И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.
1. Даны диаметр D и длина дуги L
; длина хорды 
;
высота сегмента 
; центральный угол 
.
2. Даны диаметр D и длина хорды X
; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол 
.
Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .
3. Даны диаметр D и центральный угол φ
; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .
4. Даны диаметр D и высота сегмента H
; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .
6. Даны длина дуги L и центральный угол φ
; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .
8. Даны длина хорды X и центральный угол φ
; длина дуги 
;
диаметр ; высота сегмента .
9. Даны длина хорды X и высота сегмента H
; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .
10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H
; диаметр 
;
длина дуги ; длина хорды .
Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:
5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H
Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?
Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем . Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.
Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:
длина окружности ;
площадь круга 
;
площадь сектора 
;
площадь сегмента 
;
И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.
Площадь кругового сегмента равна разности площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами соответствующего сегменту сектора и хордой, ограничивающей сегмент.
Пример 1
Длина хорды, стягивающей окружность равна величине а. Градусная мера дуги, соответствующей хорде, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.
Решение
Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является равнобедренным, поэтому высота, проведенная из вершины центрального угла на сторону треугольника, образованную хордой, будет также являться биссектрисой центрального угла, поделив его пополам и медианой, поделив пополам хорду. Зная, что синус угла в равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, можно вычислить величину радиуса:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Соответственно, S▲=√3/4*a².
Площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:
Sсег = πa²/6 - √3/4*a²
Подставив числовое значение вместо величины a, можно с легкостью вычислить числовое значение площади сегмента.
Пример 2
Радиус окружности равен величине а. Градусная мера дуги, соответствующей сегменту, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.
Решение:
Площадь сектора, соответствующего заданному углу можно вычислить по следующей формуле:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Площадь соответствующего сектору треугольника вычисляется следующим образом:
S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Соответственно, S▲=√3/4*a².
И, наконец, площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:
Sсег = πa²/6 - √3/4*a².
Решения в обоих случаях практически идентичны. Таким образом можно сделать вывод, что для вычисления площади сегмента в простейшем случае достаточно знать величину угла, соответствующего дуге сегмента и один из двух параметров - либо радиус окружности, либо длину хорды, стягивающей дугу окружности, образующую сегмент.
Loading...