При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.
Как быть при нахождении площади основания пирамиды?
Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.
Правильный треугольник
То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:
S = (а 2 * √3) / 4.
Квадрат
Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» - снова сторона:
Произвольный правильный n-угольник
У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.
S = (n * а 2) / (4 * tg (180º/n)).
Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?
Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.
Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение - «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:
S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.
Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:
S = n/2 * в 2 sin α.
Задача № 1
Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.
Решение. Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .
Для треугольника в основании получится такое значение площади: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2 .
Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .
Ответ. 10√3 см 2 .
Задача № 2
Условие . Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.
Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.
Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм 2 . Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.
Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм 2 .
Ответ . Искомое значение 267,576 мм 2 .
Задача № 3
Условие . У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.
Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.
Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.
Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(3 2 + 4 2) = 5 (см).
Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).
Ответ. 96 см 2 .
Задача № 4
Условие. Дана правильная Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?
Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.
Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .
Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.
Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см 2 . Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см 2 .
Ответ. Основания - 726√3 см 2 , боковой поверхности - 3960 см 2 , вся площадь - 5217 см 2 .
Определение пирамиды
Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.
Онлайн-калькулятор
Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.
У нее, как и у других многогранников, есть ребра . Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы - это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.
Виды пирамид
Существуют 3 вида пирамид:
- Прямоугольная - та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
- Правильная - у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
- Тетраэдр - пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.
Формула площади поверхности пирамиды
Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.
Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:
S бок = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p S бок = 2 1 ⋅ l ⋅ p
L l
l
- апофема пирамиды;
p p
p
- периметр основания пирамиды.
Полная площадь поверхности пирамиды:
S = S бок + S осн S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}} S = S бок + S осн
S бок S_{\text{бок}}
S
бок
- площадь боковой поверхности пирамиды;
S осн S_{\text{осн}}
S
осн
- площадь основания пирамиды.
Пример решения задачи.
ПримерНайти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)
Решение
L = 8 l=8
l
=
8
a = 3 a=3
a
=
3
Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной a a a , то его периметр p p p (сумма всех его сторон):
P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9 p = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9
Тогда боковая площадь пирамиды:
S бок = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9=36 S бок = 2 1 ⋅ l ⋅ p = 2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (см. кв.)
Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:
S осн = 3 ⋅ a 2 4 S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4} S осн = 4 3 ⋅ a 2
A a a - сторона треугольника.
Получаем:
S осн = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot 3^2}{4}\approx3.9 S осн = 4 3 ⋅ a 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (см. кв.)
Полная площадь:
S = S бок + S осн ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}\approx36+3.9=39.9 S = S бок + S осн ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (см. кв.)
Ответ: 39.9 см. кв.
Еще один пример, немного сложнее.
ПримерОснованием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания a a a . Найти полную площадь поверхности данной фигуры.
Решение
S квад = 36 S_{\text{квад}}=36
S
квад
=
3
6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a
l
=
3
⋅
a
Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:
S квад = a 2 S_{\text{квад}}=a^2
S
квад
=
a
2
36 = a 2 36=a^2
3
6
=
a
2
a = 6 a=6
a
=
6
Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):
P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24 p = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 2 4
Найдем длину апофемы:
L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18 l = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 1 8
В нашем случае:
S квад = S осн S_{\text{квад}}=S_{\text{осн}} S квад = S осн
Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:
S бок = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 24=216 S бок = 2 1 ⋅ l ⋅ p = 2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (см. кв.)
Полная площадь:
S = S бок + S осн = 216 + 36 = 252 S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=216+36=252
Ответ: 252 см. кв.
Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.
Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:
В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .
В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.
Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:
Рассмотрим задачи:
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:
*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.
Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :
Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:
Ответ: 28224
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.
Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:
Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:
Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
Ответ: 3240
*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.
27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.
Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:
Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.
Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):
*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.
Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):
Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:
Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:
Ответ: 96
27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:
P - периметр основания, l - апофема пирамиды
*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.
Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
– это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.
Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной
, если треугольник – то треугольной
. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема
– высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:
Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.
Пусть дана пирамида с основанием ABCDE
и вершиной F
. AB
=BC
=CD
=DE
=EA
=3 см. Апофема a
= 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды: 
Площадь правильной треугольной пирамиды
Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.
Дана пирамида с апофемой a
= 4 см и гранью основания b
= 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу: 
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:
Площадь усеченной пирамиды
Усеченной
пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:
В этом уроке:
- Задача 1. Найти площадь полной поверхности пирамиды
- Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды
.
Примечание . Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" .
Задача 1 . Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды
Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов.Найти площадь полной поверхности пирамиды
Решение .
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.
Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника: 
Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Откуда площадь основания будет равна:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.
OK / MK = √2/2
Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Тогда
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2
Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Ответ : 3√3 + 18/√6
Задача 2 . Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды
В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности .Решение .
Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности.
(Это следует из )
Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника найдем из его свойств
Откуда длина ребер правильной треугольной пирамиды будет равна:
AM 2 = MO 2 + AO 2
высота пирамиды известна по условию (10 см), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Каждая из сторон пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника найдем из первой формулы, представленной ниже 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)
Поскольку все три грани у правильной пирамиды равны, то площадь боковой поверхности будет равна
3S = 48 √(91/3)
Ответ: 48 √(91/3)
Задача 3. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды
Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды .
Решение
.
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна 
So = 9 * √3/4
Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся
Loading...